历年高考数学压轴题集锦

高考数学压轴题集锦

1．椭圆的中心是原点O

，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若0OP OQ ⋅=，求直线PQ 的方程；

（3）设AP AQ λ=（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证

明FM FQ λ=-. (14分)

2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。 （1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。 （2） 证明)(x f 是偶函数。 （3） 试问方程01

log )(4=+x

x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。

3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2

2

=-+y x 。 （1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g

（3） 过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S

4.以椭圆

222

y a

x

+＝1

判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.

5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2

＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0.

（Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围.

6 已知过函数f （x ）=12

3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。 （1） 求a 、b 的值；

（2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立；

（3） 令()()132

++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有

最大值1？

7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→

→

⋅PN PM 的等比中项。

（1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；

（2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的

方程。 8．已知数列{a n }满足a

a a

a b a a a a a a a n n

n n n n +-=+=>=+设,2),0(32211 （1）求数列{b n }的通项公式；

（2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与

8

7

的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称．

（Ⅰ）求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围；

（Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引2

1QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程．

10. )(x f 对任意R x ∈都有.2

1)1()(=

-+x f x f （Ⅰ）求)21

(f 和)( )1

(

)1(N n n

n f n

f ∉-+的值． （Ⅱ）数列{}n a 满足：n a =)0(f +)1()1

(

)2()1(f n

n f n f n f +-+++ ，数列}{n a 是等差数列吗？请给予证明；

（Ⅲ）令.16

32,,1

442

232221n

S b b b b T a b n n n n n -

=++++=-=

试比较n T 与n S 的大小．

11. ：如图，设OA 、OB 是过抛物线y 2

＝2px 顶点O 的两条弦，且OA →·OB

→＝0，求以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点P 的轨迹.(13分)

12.知函数f (x )＝log 3(x 2

－2mx ＋2m 2

＋

9

m 2

－3

)的定义域为R (1)求实数m 的取值集合M ；

(2)求证：对m ∈M 所确定的所有函数f (x )中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m 的值和x 的值.

13.设关于x 的方程2x 2

-tx-2=0的两根为),(,βαβα<函数f(x)=.1

42

+-x t

x (1). 求f()()βαf 和的值。

（2）。证明：f(x)在[],βα上是增函数。 （3）。对任意正数x 1、x 2,求证：βαα

ββα-<++-++2)()(

2

1212121x x x x f x x x x f

14．已知数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项的和.对于任意的*

n N ∈，都有()2

41n n S a =+. I 、求数列{}n a 的通项公式.

II 、若2n n tS ≥对于任意的*

n N ∈恒成立，求实数t 的最大值.

15.( 12分)已知点H （－3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，

且满足HP ·PM =0，PM =－2

3

MQ ， （1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；

（2）过点T （－1，0）作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E （x 0,0），使得△ABE 为等边三角形，求x 0的值.

16.（14分）设f 1(x )=

x

+12,定义f n +1 (x )=f 1［f n (x )］,a n =2)0(1)0(+-n n f f ,其中n ∈N *

.

(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；

(2)若T 2n =a 1+2a 2+3a 3+…+2na 2n ,Q n =1

44422+++n n n n ,其中n ∈N *

,试比较9T 2n 与Q n 的大小

.