《平方根》典例分析

《平方根》典例分析

平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一.现以几道典型题目为例谈谈平方根问题的解法，供同学们学习时参考.

一、基本题型

例1 求下列各数的算术平方根

（1）64；（2）2)3(-；（3）49

151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.

解：（1）因为6482

=，所以64的算术平方根是8，即864=；

（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-； （3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 点评：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似7

4149161=的错误. 想一想：如果把例1改为：求下列各数的平方根.你会解吗？请试一试.

例2 求下列各式的值

（1）81±； （2）16-； （3）25

9； （4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；25

9表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.

解：（1）因为8192

=，所以±81=±9.

（2）因为1642=，所以－416-=.

（3）因为2

53⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=5

3. （4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-. 点评：弄清与平方根有关的三种符号±a 、a 、－a 的意义是解决这类问题的关键.±a 表示非负数a 的平方根.a 表示非负数a 的算术平方根，－a 表示非负数a 的

负平方根.注意a ≠±a .在具体解题时，符与“

”的前面是什么符号，其计算结果

也就是什么符号，既不能漏掉，也不能多添.

例3 若数m 的平方根是32+a 和12-a ，求m 的值.

分析：因负数没有平方根，故m 必为非负数，故本题应分两种情况来解.

解： 因为负数没有平方根，故m 必为非负数.

（1）当m 为正数时，其平方根互为相反数，故（32+a ）+（12-a ）=0，解得3=a ，

故32+a =9332=+⨯，912312-=-=-a ，从而8192==a . （2）当m 为0时，其平方根仍是0，故032=+a 且0433=-a ，此时两方程联立无解.

综上所述，m 的值是81.

想一想：如果把例3变为：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.你会解吗？请试一试.

二、创新题型

例4 先阅读所给材料，再解答下列问题：若1-x 与x -1同时成立，则x 的值应是多少？有下面的解题过程：1-x 和x -1都是算术平方根，故两者的被开方数x x --1,1都是非负数,而1-x 和x -1是互为相反数. 两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即1-x =0，x -1=0，故1=x . 问题：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.

解：由阅读材料提供的信息，可得,012=-x 故2

1=x . 进而可得2=y .故y x =41212

=⎪⎭

⎫ ⎝⎛. 点评：这是一道阅读理解题.解这类问题首先要认真阅读题目所给的材料，总结出正确的

结论，然后用所得的结论解决问题.

例5 请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第④、⑤个式子. ①44141411611622=⨯=⨯=⨯=⨯=； ②244242421623222=⨯=⨯=⨯=⨯=； ③344343431634822=⨯=⨯=⨯=⨯=.

分析：要写出第④、⑤个式子，就要知道它们的被开方数分别是什么，为此应认真观察所给式子的特点.通过观察，发现前面三个式子的被开方数分别是序数乘以16得到的，故第④、⑤个式子的被开方数应该分别是64和80.

解：④84244441646422=⨯=⨯=⨯=⨯=； ⑤544545454516580222=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=.

点评：这是一个探究性问题，也是一道发展数感的好题，它主要考查观察、归纳、概括的能力．解这类题需注意分析题目所给的每个式子的特点，然后从特殊的例子，推广到一般的结论，这是数学中常用的方法，同学们应多多体会，好好掌握！

平方根概念解题的几个技巧

平方根在解题中有着重要的应用.同学们想必已经知到.但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用.希望对大家的学习有所帮助.

一、巧用被开方数的非负性求值.

大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数.

例1、若,622=----y x x 求y x

的立方根. 分析 认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2－x ≥0,得x ≤2;x －2≥0,得x ≥2;进一步可得x=2.从而可求出y=－6.

解 ∵⎩⎨

⎧≥-≥-0202x x , ∴⎩⎨⎧≥≤22x x x=2; 当x=2时,y=－6.y x =(－6)2=36. 所以y x 的立方根为336.

二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.

我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a

例2、已知：一个正数的平方根是2a －1与2－a ，求a 的平方的相反数的立方根. 分析 由正数的两平方根互为相反得:(2a －1)+(2－a)=0,从而可求出a=－1,问题就解决了.

解 ∵2a －1与2－a 是一正数的平方根,∴(2a －1)+(2－a)=0, a=－1. a 的平方的相反数的立方根是.113-=-

三、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.

例3、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a

的非算术平方根.

分析 y=)1(32++-b a ,要y 最小，就是要2-a 和)1(3+b 最小， 而2-a ≥0，)1(3+b ≥0，显然是2-a =0和)1(3+b =0，可得a=2,b=－1. 解 ∵2-a ≥0，)1(3+b ≥0，y=)1(32++-b a ，∴2-a =0和)1(3+b =0