1-多项式-0-基本知识介绍
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2kπ
二 三角函数和差化积,积化和差公式
1. sin(α ± β ) = sinαcosβ ± cosαsinβ, cos(α ± β ) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ 2. 3.
(sin(α + β ) + sin(α − β )) sinαcosβ = 1 2
β β cos α− sinα + sinβ = 2sin α+ 2 2
骤:归纳基础,归纳假设和归纳证明.归结成一句话:递推基础不可少, 归纳 假设要用到,结论写明莫忘掉.
四 连加号和连乘号
1. a1 + a2 + · · · + an = 2. 双重连加号: 3. 多重连加号:
∑ ∑ ∑n
i=1
∑n
i=1
ai
∑m ∑n
j =1 i=1
∑m
j =1
aij =
aij =
∑
3. 另一个一般化的方法叫完整归纳法, 在第二步中我们假定式子不仅
当n = m时成立，当n小于或等于m时也成立. 这样可以设计出这样两 步: 证明当n = 0时式子成立. 证明当n ≤ m时成立，那么当n = m + 1时 式子也成立.
注: 数学归纳法适用的范围是与自然数有关的命题的证明, 总体需要三个步
2. 如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数
或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改： 奇数方面: 第一步，证明当n = 1时命题成立。第二步，证明如果n = m成立，那 么可以推导出n = m + 2也成立. 偶数方面: 第一步，证明当n = 0或2时命题成立. 第二步，证明如果n = m成立， 那么可以推导出n = m + 2也成立.
3. 复数的运算
代数形式 (a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i 2) 乘除法: 三角形式 r eiθ1 r eiθ2 = r r ei(θ1 +θ2 ) 1 2 1 2
1) 加减法:实部和实部相加减,虚部和虚部相加减.
3) 乘方:代数形式,三角形式 √ θ+2kπ 4) 开方:reiθ 的n次方根为: n rei n , 0 ≤ k ≤ n − 1 注: 特别的,1的n次方根为ei n , 0 ≤ k ≤ n − 1,这n个点均匀的分布在单 2kπ 位圆周上,它们是xn −1的n个根.当k 与n互素时, 我们称ei n 为1的n次 单位原根.
2
5. 连乘号和连加号: 这两种符号可以放在一起,只要乘法对加法满足分配
律,这两个符号也可以交换.例如:
∏n
j =1 (
∑m
i=1
aij ) =
∑m ∏n
i=1
i=1
aij .
五 充要条件
如果能从命题P 推出命题Q,那么条件P 是条件Q的充分条件; 如果能从命 题Q推 出 命 题P ,那 么 条 件P 是 条 件Q的 必 要 条 件; 如 果 能 从 命 题P 推 出 命 题Q,且能从命题Q推出命题P ,那么条件Q与条件P 互为充分必要条件,简称充 要条件.
i<j
∑n
i=1
aij +
∑
i≥j
∑n
i=1
aij
ai bj = a1 bt−1 + a2 bt−2 + · · · + at−1 b1 . ∑ ∑ i+r=t j +k=r ai bj ck = i+j +k=t ai bj ck .
i+j =t
4. 连乘号与连加号有类似的性质,只要满足乘法交换律和结合律即可.
cosαsinβ = 1 (sin(α + β ) − sin(α − β )) 2
cosαcosβ = 1 (cos(α + β ) + cos(α − β )) sinαsinβ = − 1 (cos(α + β ) − cos(α − β )) 2 2
β β sinα − sinβ = 2cos α+ sin α− 2 2 β β β β cosα + cosβ = 2cos α+ cos α− cosα − cosβ = −2sin α+ sin α− 2 2 2 2 1−tan α 2 , 1+tan α
Fra Baidu bibliotek
3
基本知识介绍
说明:.
一 复数
1. 定义 复数是指能写成如下形式的数a + bi,这里a和b是实数, a是实部
和b是虚部，i是虚数单位,i2 = −1.
2. 复数的表示
1) 代数形式:a + bi 2) 几何形式:复平面上的点或者向量. √ √ a √ b 3) 三角形式: a + bi = a2 + b2 ( √a2 + i ) = a2 + b2 (cosθ + 2 2 2 +b√ a +b √ isinθ) = a2 + b2 eiθ = reiθ ,其中r = a2 + b2 称为a + bi的模, cosθ = √ a , sinθ = √a2b+b2 , 0 ≤ θ < 2π , θ称为a + bi的主辐角,θ + 2kπ 为a + a2 +b2 bi的所有辐角.
1−cosα 2
三 数学归纳法
1. 最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成
立 归纳推理的过程如下: 首先证明P (1)成立，即公式在n = 1时成立. 然 后证明从P (m)成立可以推导出P (m + 1) 也成立。 （这里实际应用的是 演绎推理法）根据上两条从P (1)成立可以推导出P (1 + 1)也就是P (2)成 立。继续推导，可以知道P (3)成立。从P (3)成立可以推导出P (4)也成 立。不断重复推导下一命题成立的步骤。(这就是所谓“归纳”推理的 地方) 我们便可以下结论:对于任意自然数n,P (n)成立。
2
4. cos2α = 2cos2 α − 1 = cos2 α − sin2 α = 1 − 2sin2 α =
sin2α = 2sinαcosα =
2tanα 2 , tan2α 1+tan α
=
2tanα 2 1−tan α
1
5. cos2 α = 2
1+cosα , sin2 α 2 2
=
二 三角函数和差化积,积化和差公式
1. sin(α ± β ) = sinαcosβ ± cosαsinβ, cos(α ± β ) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ 2. 3.
(sin(α + β ) + sin(α − β )) sinαcosβ = 1 2
β β cos α− sinα + sinβ = 2sin α+ 2 2
骤:归纳基础,归纳假设和归纳证明.归结成一句话:递推基础不可少, 归纳 假设要用到,结论写明莫忘掉.
四 连加号和连乘号
1. a1 + a2 + · · · + an = 2. 双重连加号: 3. 多重连加号:
∑ ∑ ∑n
i=1
∑n
i=1
ai
∑m ∑n
j =1 i=1
∑m
j =1
aij =
aij =
∑
3. 另一个一般化的方法叫完整归纳法, 在第二步中我们假定式子不仅
当n = m时成立，当n小于或等于m时也成立. 这样可以设计出这样两 步: 证明当n = 0时式子成立. 证明当n ≤ m时成立，那么当n = m + 1时 式子也成立.
注: 数学归纳法适用的范围是与自然数有关的命题的证明, 总体需要三个步
2. 如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数
或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改： 奇数方面: 第一步，证明当n = 1时命题成立。第二步，证明如果n = m成立，那 么可以推导出n = m + 2也成立. 偶数方面: 第一步，证明当n = 0或2时命题成立. 第二步，证明如果n = m成立， 那么可以推导出n = m + 2也成立.
3. 复数的运算
代数形式 (a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i 2) 乘除法: 三角形式 r eiθ1 r eiθ2 = r r ei(θ1 +θ2 ) 1 2 1 2
1) 加减法:实部和实部相加减,虚部和虚部相加减.
3) 乘方:代数形式,三角形式 √ θ+2kπ 4) 开方:reiθ 的n次方根为: n rei n , 0 ≤ k ≤ n − 1 注: 特别的,1的n次方根为ei n , 0 ≤ k ≤ n − 1,这n个点均匀的分布在单 2kπ 位圆周上,它们是xn −1的n个根.当k 与n互素时, 我们称ei n 为1的n次 单位原根.
2
5. 连乘号和连加号: 这两种符号可以放在一起,只要乘法对加法满足分配
律,这两个符号也可以交换.例如:
∏n
j =1 (
∑m
i=1
aij ) =
∑m ∏n
i=1
i=1
aij .
五 充要条件
如果能从命题P 推出命题Q,那么条件P 是条件Q的充分条件; 如果能从命 题Q推 出 命 题P ,那 么 条 件P 是 条 件Q的 必 要 条 件; 如 果 能 从 命 题P 推 出 命 题Q,且能从命题Q推出命题P ,那么条件Q与条件P 互为充分必要条件,简称充 要条件.
i<j
∑n
i=1
aij +
∑
i≥j
∑n
i=1
aij
ai bj = a1 bt−1 + a2 bt−2 + · · · + at−1 b1 . ∑ ∑ i+r=t j +k=r ai bj ck = i+j +k=t ai bj ck .
i+j =t
4. 连乘号与连加号有类似的性质,只要满足乘法交换律和结合律即可.
cosαsinβ = 1 (sin(α + β ) − sin(α − β )) 2
cosαcosβ = 1 (cos(α + β ) + cos(α − β )) sinαsinβ = − 1 (cos(α + β ) − cos(α − β )) 2 2
β β sinα − sinβ = 2cos α+ sin α− 2 2 β β β β cosα + cosβ = 2cos α+ cos α− cosα − cosβ = −2sin α+ sin α− 2 2 2 2 1−tan α 2 , 1+tan α
Fra Baidu bibliotek
3
基本知识介绍
说明:.
一 复数
1. 定义 复数是指能写成如下形式的数a + bi,这里a和b是实数, a是实部
和b是虚部，i是虚数单位,i2 = −1.
2. 复数的表示
1) 代数形式:a + bi 2) 几何形式:复平面上的点或者向量. √ √ a √ b 3) 三角形式: a + bi = a2 + b2 ( √a2 + i ) = a2 + b2 (cosθ + 2 2 2 +b√ a +b √ isinθ) = a2 + b2 eiθ = reiθ ,其中r = a2 + b2 称为a + bi的模, cosθ = √ a , sinθ = √a2b+b2 , 0 ≤ θ < 2π , θ称为a + bi的主辐角,θ + 2kπ 为a + a2 +b2 bi的所有辐角.
1−cosα 2
三 数学归纳法
1. 最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成
立 归纳推理的过程如下: 首先证明P (1)成立，即公式在n = 1时成立. 然 后证明从P (m)成立可以推导出P (m + 1) 也成立。 （这里实际应用的是 演绎推理法）根据上两条从P (1)成立可以推导出P (1 + 1)也就是P (2)成 立。继续推导，可以知道P (3)成立。从P (3)成立可以推导出P (4)也成 立。不断重复推导下一命题成立的步骤。(这就是所谓“归纳”推理的 地方) 我们便可以下结论:对于任意自然数n,P (n)成立。
2
4. cos2α = 2cos2 α − 1 = cos2 α − sin2 α = 1 − 2sin2 α =
sin2α = 2sinαcosα =
2tanα 2 , tan2α 1+tan α
=
2tanα 2 1−tan α
1
5. cos2 α = 2
1+cosα , sin2 α 2 2
=