高中数学必修一第三章知识点总结

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第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．

3、函数零点的求法：

○

1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、基本初等函数的零点：

①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。 ②反比例函数(0)k y k x

=

≠没有零点。 ③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。

④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．

⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。

⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.

⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另

个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。

6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。

7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上

连续，且()()0f a f b <②在区间(),a b 上单调。

8、函数零点的性质：

从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；

从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；

若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点； 若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．

9、二分法的定义

对于在区间[a ，]b 上连续不断，且满足()()0f a f b ⋅<的函数

)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，

使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做

二分法．

10、给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤：

（1）确定区间[a ，]b ，验证()()f a f b ⋅0<，给定精度ε；

（2）求区间(a ，)b 的中点1x ；

（3）计算1()f x ：

①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；

②若()f a ⋅1()f x <0，则令b =1x （此时零点01(,)x a x ∈）；

③若1()f x ⋅()f b <0，则令a =1x （此时零点01(,)x x b ∈）；

（4）判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点值a （或b ）；

否则重复步骤（2）~（4）．

11、二分法的条件()f a ·()f b 0<表明用二分法求函数的近似零

点都是指变号零点。

12、解决应用题的一般程序：

① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；

④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．

13、函数的模型

3 14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：

一次函数模型：()(0);f x kx b k =+≠

二次函数模型：2()(0);g x ax bx c a =++≠ 幂函数模型：12

()(0);h x ax b a =+≠

指数函数模型：()x l x ab c =+（0,a b ≠＞0，1b ≠）

利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型