1.26.1二次函数的基本概念(1)教案

26.1 二次函数（1）

教学目标：

（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯

重点难点：

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

教学过程：

一、试一试

1、正方形的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，他们的具体关系是可以表示为什么？

2、多边形的对角线数d与边数n有什么关系？

3、某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x 的值而确定，y与x

之间的关系应怎样表示？

二、、观察；概括

1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2) (3)，提出以下问题让学生思考回答；

(1)函数关系式(1)和(2) (3)的自变量各有几个?

(各有1个)

(2)多项式y=6x2和y=20x2+40x+20分别是几次多项式?

(分别是二次多项式)

(3)函数关系式(1)和(2) (3)有什么共同特点?

(都是用自变量的二次多项式来表示的)

2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫

做x 的二次函数，a 叫做二次函数的系数，b 叫做一次项的系数，c 叫作常数项．注意：1、其中，x 是自变量，ax 2是二次项，a 是二次向系数

bx 是一次项，b 是一次项系数、c 是常数项。

2、函数的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,

但不能没有二次项. 二次函数的一般形式:y=ax 2+bx+c (a 、b 、c 为常数,a ≠0) 3、二次函数的特殊形式：

当b ＝0时， y ＝ax 2＋c

当c ＝0时， y ＝ax 2＋bx

当b ＝0，c ＝0时， y ＝ax 2

三、巩固与运用

提问： (1)它是二次函数?

(2)它是一次函数？

(3)它是正比例函数？

例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c 的值.

(1) y ＝ax 2＋bx ＋c (2)y ＝x(x －5)

(3) y ＝3x(2－x)＋ 3x 2 (4) y ＝ x 4＋2x 2－1

(5)y ＝ (6) y ＝

例2. y=(m+3)x

(1) m 取什么值时,此函数是正比例函数?

(2) m 取什么值时,此函数是反比例函数?

(3) m 取什么值时,此函数是二次函数?

例3、用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地

面积S(m 2)与矩形一边长a(m)之间的关系是什

么？是函数关系吗？是哪一种函数？

四、巩固练习

课堂练习

1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数?

(1)y=5x ＋1 (2)y=4x 2－1

(3)y=2x 3－3x 2 (4)y=5x 4－3x ＋1

2．P3练习第1，2题。

3.幻灯片12、13、

五、小结

1．请叙述二次函数的定义．

2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。

六、作业：

满足什么条件时

当，

是常数其中函数c b,a,)c b,a,c(bx ax y 2++=652++x x m 2－7 12312++x x

课外练习：拓展与提高

1、将进货单价为40元的商品按50元卖出时,就能卖出500个,已知这种商品每涨1元,其销售量就会减少10个,设售价定为X元(x＞50)时的利润为Y元。试求出Y与X的函数关系式，并按所求的函数关系式计算出售定价为80元时所得利润

２、二次函数，当x=0时，y=-2；当y=-2时，x=0，求y=2时，x的值。

y ax c

初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数教案

初中数学人教版九年级上册实用资料第二十二章二次函数 22．1二次函数的图象和性质 22．1.1二次函数 1．结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．阅读教材第28至29页，理解二次函数的概念及意义．自学反馈学生独立完成后集体订正： 1．一般地，形如________________(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为________． 2．现在我们已学过的函数有________、________，它们的表达式分别是____________________、____________________． 3．下列函数中，不是二次函数的是() A．y＝1－2x2B．y＝(x－1)2－1 C．y＝1 2(x＋1)(x－1) D．y＝(x－2) 2－x2 4．二次函数y＝x2＋4x中，二次项系数是____，一次项系数是____，常数项是____． 5．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式． 6．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式．判断二次函数关系要紧扣定义．活动1小组讨论例1若y＝(b－1)x2＋3是二次函数，则b≠1．二次项系数不为0. 例2一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x＋1)cm的小矩形，剩余

部分的面积为y cm2. (1)写出y与x之间的关系式，并指出y是x的什么函数？ (2)当小矩形中x的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是多少？解：(1)y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144. ∴y是x的二次函数． (2)当x＝2和4时，相应的y的值分别为132和104. 几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1．如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，那么k的值为多少？不要忽视k＋2≠0. 2．设y＝y1－y2，若y1与x2成正比例，y2与x成正比例，则y与x的函数关系是() A．正比例函数B．一次函数 C．二次函数D．不确定 3．有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数解析式为________________． 4．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB 边长为x m，则菜园的面积y(m2)与x(m)的函数解析式为______________________(不要求写出自变量x的取值范围)． 5．已知，函数y＝(m＋1)xm2－3m－2＋(m－1)x(m是常数)． (1)m为何值时，它是二次函数？ (2)m为何值时，它是一次函数？注意(2)要分情况讨论． 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，P是BC上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BP＝PQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP＝x cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm2，试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时，

二次函数的图像教学设计

《二次函数的图像（1）》教学设计教学目标： 1、经历描点法画函数图像的过程； 2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征； 3、掌握2ax y =型二次函数图像的特征； 4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。教学重点： 2ax y =型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳教学难点：选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。教学设计：一、回顾知识前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。）引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即 2ax y =入手。因此本节课要讨论二次函数2ax y =（0≠a ）的图像。板书课题：二次函数2ax y =（0≠a ）图像二、探索图像 1、用描点法画出二次函数2x y =和2x y -=图像 ①无论x 取何值，对于2x y =来说，y 的值有什么特征？对于2x y -=来说，又有什么特征？ ②当x 取 1,2 1 ±±等互为相反数时，对应的y 的值有什么特征？（2）描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）. （3）连线，用平滑曲线按照x 由小到大的顺序连接起来，从而分别得到

2x y =和2x y -=的图像。 2、练习：在同一直角坐标系中画出二次函数22x y =和22x y -=的图像。学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评） 3、二次函数2ax y =（0≠a ）的图像由上面的四个函数图像概括出：（1）二次函数的2ax y =图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，（2）这条抛物线关于y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴。（3）对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y 轴的交点。（4）当o a 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x 轴的上方(除顶点外)；当o a 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x 轴的下方(除顶点外)。（最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆）三、课堂练习观察二次函数2x y =和2x y -=的图像 (2)在同一坐标系内，抛物线2x y =和抛物线2x y -=的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数2ax y =和2ax y -=的图像怎样画更简便？ (抛物线2x y =与抛物线2x y -=关于x 轴对称，只要画出2ax y =与2 ax y -=中的一条抛物线，另一条可利用关于x 轴对称来画) 四、例题讲解例题：已知二次函数2ax y =（0≠a ）的图像经过点（-2，-3）。（1）求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。（2）说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。练习：（1）课本第31页课内练习第2题。 (2)已知抛物线y=ax2经过点A （-2，-8）。（1）求此抛物线的函数解析式；

北京版-数学-九年级上册- 二次函数的应用教案

《二次函数的应用》教案教学目标一、知识与技能 1．巩固并熟练掌握二次函数的性质． 2．能够运用二次函数的性质解决实际问题． 3．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．增强解决问题的能力．二、能力目标建立二次函数模型，进一步体会如何应用二次函数的有关知识解决一些生活实际问题，进而提高理解实际问题、从数学角度抽象分析实际问题和运用数学知识解决实际问题的能力．三、情感态度与价值观 1．从实际生活中认识到：数学来源于生活，数学服务于生活． 2．培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成． 3．经历求最大面积的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．教学重点能利用实际问题列出二次函数的解析式，并能利用二次函数的性质求出最大值和最小值．教学难点能利用几何图形的有关知识求二次函数的解析式．教学过程一、相关知识回顾 1．函数223y x x =+-的最值是，是最（填“大”或者“小”）值． 2．说说你是如何做的？ 3．将函数2245y x x =+-化成顶点式，并指出顶点坐标，对称轴．二、新课引入 1．合作讨论，解决问题：如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角的边上．（1）如果设矩形的一边AB =x m ，那么AD 边的长度如何表示？（2）设矩形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？

解：（1）设AD的长度为a m，则：BC=a m BC∥AD（已知） ∴ 40 3040 a x - = ∴ 3 30 4 a x =- 即 3 30 4 AD x =- （2）∵ 2 2 3 (30) 4 3 30 4 3 (20)300(040) 4 y x a x x x x x x =? =?- =-+ =--+<< 当20300 x y == 最大时， 2．变式训练，灵活运用议一议：如果把上题中的矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？小组成员之间相互讨论．解：由勾股定理可得，这个三角形的斜边长为50m 易求得斜边上的高为24m．

二次函数1教案

第12部分二次函数第1课时二次函数的意义课标要求通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义. 中招考点二次函数的概念及意义. 典型例题例1 下列函数中，哪些是二次函数？（1）02=-x y ；（2）2)1()2)(2(---+=x x x y ；（3）x x y 12+=；（4）322-+=x x y . 分析：形如y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 为常数，且a ≠0)的函数是二次函数，在判别某个函数是否为二次函数时，必须先把它化成y=ax 2+bx+c 的形式，如果a ≠0，那么它就是二次函数；否则，就不是二次函数. 例2 m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？分析：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02 ≠-m m ．解：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ．解得0≠m 且1≠m ．因此，当0≠m 且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数．归纳反思形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．探索：若函数)1()(2 2+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？例3 写出下列各函数关系，并判断它们分别是什么类型的函数？（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；

二次函数教案设计(全)

课题：1.1二次函数教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。教学重点：二次函数的概念和解析式教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。教学设计：一、创设情境，导入新课问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题）二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系：（1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) （一）教师组织合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。（1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提出各自看法。 x

二次函数的应用(教学设计)

二次函数在生活中应用浦桂花学习目标: 1、会运用二次函数及其图像的知识解决现实生活中的实际问题。 2、初步体会到数形结合、数学建模以及函数和方程互相转化等数学思想、方法. 3、感悟“数学来源于生活，又指导生活”，激发出学习数学的浓厚兴趣. 一、引入：在日常生活中，我们接触到许多与二次函数有关的实际问题，例如：投篮后篮球运行的路线，推铅球时铅球运行的路线和喷池中水流的路线等等。今天就运用以前学过的二次函数的知识来解决这些实际问题。二、典型例题：例1: 小明参加铅球比赛,已知铅球的运行的路线是一条抛物线.铅球出手时的高度是米,铅球最高处离地面3米,距离出手时的水平距离是4米. 试推测小明这次铅球的比赛成绩. 35

例2：某越江隧道的横断面的轮廓线是一段抛物线．已知隧道的地面宽度为20米，地面离隧道最高点 C 的高度为10米． (1)、请建立适当的平面直角坐标系，并求出这段抛物线所表示的二次函数的解析式. (2)、这隧道设计为双向行驶，现有一辆宽为5米，高为6 米装满货物的卡车，问这辆卡车能否顺利通过？ C A B 三、巩固练习：如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10米，（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥280千米，（桥长忽略不计）货车以每小时 40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时0.25米的速度持续上涨，（货车接到通知时水位在CD处），当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行；

22.1.1二次函数教学设计.doc

课题§22.1.1 二次函数的定义备课日期年月日课型新授 1．能结合具体情景体会二次函数的意义, 理解二次函数的有关概念. 知识与技能 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系. 通过具体问题情境中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式,在类比一教过程与方法次函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0 的重要特征从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的学过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。目情感态度把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会探索数学符号感的现实意与价值观义，并培养钻研精神。标教学重点二次函数的概念和解析式教学难点会建立简单的二次函数的模型教学方法启发、引导、讲练结合教学用具多媒体、导学案课时安排 1 教学内容师生活动设计意图复习旧知,加【图片欣赏，导入新课】教师提出问题，学多媒体演示生回顾旧知，两名学生口答深对函数定义【以旧引新】的理解．强调 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.什么是函数？我们学过哪些函数？ k≠0 的条件，以备与二次函【自主学习合作探究】问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱数中的a 进行长为x，表面积为y，写出y 与x 的关系：问题2：n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛比较．的场次数m 与球队数n 有什么关系？

通过具体事问题3：某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加三个问题学生先

产量．如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的独立思考完成 , 然后合作交流 , 教师例，让学生列关系怎样表示 ? 1 1 2 2+40x+20 2 (2) (3)y=20x m n n （1）y=6x 2 2 思考：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什对个别有困难的学生进行引导。对于 “思考” 中提出关系式，启发学生观察，思考，归纳出么共同特点 ? 出的问题，教师进归纳：二次函数的定义行如下启发： 1. 二次函数与一这几个函数是我 2 +bx+c (a,b,c a 0) 为常数，且 ≠ 的函数叫一般地，形如 y=ax 们已学过的函数二次函数 . 其中,x 是自变量，a,b,c 分别是函数解析式的二次次函数的联系吗？ 2. 这些函数项系数、一次项系数和常数项 . 练习：1.下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？的自变量 x 的最高次数是多少？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． 2 2 ＋2x （1）y ＝1－3x （2）y ＝3x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3 ＋2x 2 3. 比较三个式子， (1) 和（2）缺失了 1 x （5）y ＝x ＋什么项，你能补全吗？4. 三个式子 2. 函数当 a, y 2 ax bx c(其中 a,b, c 是常数 )，可以统一为什么形式？ b,c 满足什么条件时归纳定义，叫一名 (1) 它是二次函数 ? (2) 它是一次函数？ (3) 它是正比例函学生完成，其他学生进行补充数？【合作交流展示讲解】例 1：若函数 y 2 (m 1)x 2 m m 为二次函数，则 m 的值为学生自主完成巩固练习，教师提问理论学习完二多少? 次函数的概念

二次函数的应用教案试讲-推荐下载

二次函数的应用一、教学目标 1、知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解实际问题中的最值问题。 2、过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值问题转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想和数学模型思想。 3、情感态度价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。二、重点、难点教学重点：利用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，求最值问题教学难点：1、正确构建数学模型 2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用三、教学方法与手段的选择由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，因而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。四、教学流程（一）复习引入（1）由二次函数y= -x2 +20x的解析式我们能够想到的图象特征和性质是…？（2）根据同学们描述信息，画出函数的示意图为：

（二）讲解新课 1、在情境中发现问题师：在我们的实际生活中你还遇到过哪些运用二次函数的实例？生：老师，我见过好多。如周长固定时长方形的面积与它的长之间的关系：圆的面积与它的直径之间的关系等。师：好，看这样一个问题你能否解决：活动1：如图34-10，张伯伯准备利用现有的一面墙和40ｍ长的篱笆，把墙外的空地围成矩形养兔场。回答下面的问题： 1．设矩形一边的长为x m，试用x表示矩形的另一边的长。 2．设矩形的总面积为y ，请写出用x表示y的函数表达式。 3．你能利用公式求出所得函数的图像的顶点坐标，并说出y的最大值吗？4．你能画出这个函数的图像，并借助图像说出y的最大值吗？学生思考，并小组讨论。解：已知周长为40m，一边长为x m，看图知，另一边长为（) m。由面积公式得y= 化简得 y= 代入顶点坐标公式，得顶点坐标x=( )，y=( ) 。y的最大值为( ) 。画函数图像：通过图像，我们知道y的最大值为( )。师：通过上面这个例题，我们能总结出几种求y的最值得方法呢？生：两种；一种是画函数图像，观察最高（低）点，可以得到函数的最值；另外一种可以利用顶点坐标公式，直接计算最值。师：这位同学回答的很好，看来同学们是都理解了，也知道如何求函数的最值。总结：由此可以看出，在利用二次函数的图像和性质解决实际问题时，常常需

人教版数学九年级上册22.1.4.1二次函数教案 (1)

二次函数y=ax^2+bx+c 的图象和性质教学设计一、教学目标 (一)知识目标 1．使学生会用描点法画出二次函数2y ax bx c =++的图象； 2．使学生会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴； 3．使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念； 4．使学生会用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式． (二)能力目标 1．培养学生分析问题、解决问题的能力； 2．向学生进行配方法和待定系数法的渗透，使学生能初步掌握； 3．在待定系数法的教学中培养学生的计算能力． (三)情感目标 1．向学生进行事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点教育． 2．通过二次函数的进一步研究，让学生认识到二次函数的对称轴、顶点坐标与二次项系数、一次项系数及常数项之间的内在联系的数学美及和谐的数学美．二、教学方法教师采用比较法、观察法、归纳总结法本节重点是求二次函数解析式及将二次函数的解析式配方，确定抛物线的顶点、对称轴等特征，进而画出这条抛物线，在学习中，学生不要死记硬背，要运用数形结合思想，熟练画出抛物线草图，结合图像研究函数的性质以及不同图像之间的相互关系．三、重点·难点·疑点及解决办法 1．教学重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标求对称轴及用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式．因为它们是画出二次函数的图像的基础． 2．教学难点：配方法的推导过程，因为虽然这种方法在前面学习一元二次方程时介绍过，但是在配方的过程中需要考虑加、减的数，对学生有一定的难度． 3．教学疑点：顶点式与一般式如何转化 4．解决办法：(1)知道一般式到顶点式是通过配方得到的；(2)已知三个点坐标，可用待定系数法求得抛物线一般式．四、教学媒体三角板一体机五、教学设计思路 1．出示三组练习，导入新课． 2．“如何画216212 y x x =-+的图像?”教师提问，让学生去讨论、发现：要写成2()y a x h k =-+的形式，找出对称轴，引入由一般式化成顶点式，推导出顶点坐标公式．

人教版九年级上册二次函数全章教案

26.1.1 二次函数 1. 了解二次函数的有关概念． 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。一、知识链接： 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的，x 叫做。 2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数二、自主学习： 1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为。分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？。 5.归纳：一般地，形如，（,,a b c a 是常数，且）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________．三、合作交流：（1）二次项系数a 为什么不等于0？答：。（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？答： . 四、跟踪练习 1．观察：①2 6y x =；②2 35y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④3 2y x x =-；⑤ 213y x x =-+；⑥()2 21y x x =+-．这六个式子中二次函数有。（只填序号） 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________． 5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

2.2 二次函数的图象与性质(第3课时)教学设计

第二章二次函数《二次函数的图象与性质（第3课时）》教学设计说明深圳市翠园中学初中部黄缨梁成一、学生知识状况分析学生的知识技能基础学生在前几节课中，已学习过了二次函数的概念和函数2ax y =、函数c ax y +=2的图象和性质，学生在此过程中，已学会用列表、描点的方法作出二次函数的图象，并积累了如何从图象的角度研究函数性质的经验.另外，学生在初二学过图形平移变换的知识，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能.因此，在本节课中，他们可以联系初二已学图形平移变换知识，运用图象变换的观点把二次函数2ax y =的图象经过一定的平移变换，从特殊到一般，得到二次函数k h x a y +-=2)( 的图象和性质. 学生活动经验基础在上两节课，学生进行了列表、画图等操作活动，引导了学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；学生已初步具备自已通过画图，直观地探索二次函数图象和性质的方法.在本节课中,学生可以继续沿用上节课的活动经验来进一步探索二次函数的图象和性质. 二、教学任务分析根据教材内容和学生已经具备的知识储备和能力，制定三维目标如下：知识与技能：学生会画出特殊二次函数2)(h x a y -=和k h x a y +-=2)(的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线2ax y =的图象的关系，理解k h a ,,对二次函数图象的影响. 过程与方法：经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生动手

作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力. 情感态度与价值观：体会建立二次函数的图象与表达式之间联系的必要性，发展几何直观.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．教学重点：二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质. 教学难点：二次函数k h x a y +-=2)(图象与图象2ax y =之间的关系，k h a ,,对二次函数图象的影响. 三、教学过程分析学习数学的过程是一个不断探索、发现、验证的过程,根据“以人为本，以学定教”的教学理念, 在本节课的教学过程中，设计了5个环节：①提出问题,引入新课；②合作探究,发现和验证；③启发引导,形成结论；④巩固提高,拓展延伸；⑤当堂检测.这五个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动学生的参与性. 第一环节: 提出问题,引入新课 1、回忆一下：二次函数22x y =的开口方向，对称轴，顶点坐标 . 二次函数322+=x y 的开口方向，对称轴，顶点坐标 .它图象可以由22x y =的图象向平移个单位得到. 2、提出问题：我们已学习过两种类型的二次函数，2ax y =与 c ax y +=2，知道它们都是轴对称图形，对称轴是y 轴，顶点都是原点．还知道 c ax y +=2的图象是函数2ax y =的图象经过上下移动得到的，那么如果将函数2 ax y =的图象左右移动呢?它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢?本节课我们就来研究有关问题．

二次函数的应用_教案1

二次函数的应用【教学目标】知识与技能： 1.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．过程与方法： 1.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力． 2.通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．情感与态度： 1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值． 2.能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格． 3.进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．【教学重难点】重点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题. 难点：把实际问题转化成函数模型. 【教学过程】一、创设情境，引入新知(放幻灯片2、3、4） 1.(1)请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园. (2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？设计意图：通过学生所熟悉的图形，引入新课，使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路. 2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为米，面积为S平方米. (1)求S与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？

(3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 . 设计意图：在上一个问题的基础上对问题情境进行变化，增大难度，同时板书解题过程，让学生明确规范的书写过程. 二、探究新知(放幻灯片5、6、7）探究一：如图,在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AN=40m，AM=30m. (1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为,当取何值时,的最大值是多少? 探究二：在上一个问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？探究三：如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料，AB=AC=20cm, BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、G 分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少? 设计意图：通过由学生讨论怎样用直角三角形剪出一个最大面积的矩形入手，由学生动手画出两种方法，和同学一起从问题中抽象出二次函数的模型，并求其最值，同时通过两种情况的分析，训练学生的发散思维能力，关键是教会学生方法，也是这类问题的难点所在，即怎样设未知数，怎样转化为我们熟悉的数学问题.在此基础上对变式三进行探究，进而总结此类题型，得出解决问题的一般方法.

人教版九年级数学上册22.1.1二次函数教案

第二十二章二次函数 22．1二次函数的图象和性质 22．1.1二次函数 1．结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．阅读教材第28至29页，理解二次函数的概念及意义．自学反馈学生独立完成后集体订正： 1．一般地，形如________________(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为________． 2．现在我们已学过的函数有________、________，它们的表达式分别是____________________、____________________． 3．下列函数中，不是二次函数的是() A．y＝1－2x2B．y＝(x－1)2－1 C．y＝1 2(x＋1)(x－1) D．y＝(x－2)2－x2 4．二次函数y＝x2＋4x中，二次项系数是____，一次项系数是____，常数项是____． 5．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式． 6．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式．判断二次函数关系要紧扣定义．活动1小组讨论例1若y＝(b－1)x2＋3是二次函数，则b≠1．二次项系数不为0. 例2一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x＋1)cm的小矩形，剩余部分的面积为y cm2. (1)写出y与x之间的关系式，并指出y是x的什么函数？ (2)当小矩形中x的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是多少？解：(1)y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144. ∴y是x的二次函数． (2)当x＝2和4时，相应的y的值分别为132和104. 几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1．如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，那么k的值为多少？不要忽视k＋2≠0. 2．设y＝y1－y2，若y1与x2成正比例，y2与x成正比例，则y与x的函数关系是() A．正比例函数B．一次函数 C．二次函数D．不确定 3．有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数解析式为________________． 4．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x m，则菜园的面积y(m2)与x(m)的函数解析式为______________________(不要求写出自变量x的取值范围)．

二次函数优秀教案

二次函数【教学目标】 1．经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义； 2．了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。【教学重难点】体会二次函数意义，确定二次函数关系式中各项的系数。【教学过程】一、情景创设 1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是____________。 2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？设长方形的长为x 米，则宽为____________米，如果将面积记为y 平方米，那么变量y 与x 之间的函数关系式为________________________。 3．要给边长为x 米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y 为多少元？在这个问题中，地板的费用与______有关，为_______元，踢脚线的费用与有关，为____________元；其他费用固定不变为____________元，所以总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是________________________。二、新知探索上述函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？________________________________________________________________。一般地，我们称________________________表示的函数为二次函数。其中____________是自变量，____________函数。一般地，二次函数 c bx ax y ++=2中自变量x 的取值范围是____________，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？三、典例分析例1．判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数A ．B ．C 的值。

二次函数的图像与性质的教案

二次函数的图像与性质的教案（3）【目标】 1. 经历探索二次函数y ＝ax 2(a ≠0)及y ＝a(x-h)2 (a ≠0)的图象作法和性质的过程； 2. 能够理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝ax 2的图象的关系，了解a,h,k 对二次函数图象的影响。 3．能正确说出函数 y ＝a(x-h)2的图象的开口方向，顶点坐标和对称轴。【重点】理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝ax 2的图象的关系及性质；【难点】理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝a x 2的图象的关系及性质；同学们还记得一次函数y=2x 与y=2(x-1)的图象的关系吗？你能由此推测二次函数2 x y =与y =(x-1)2的图象之间的关系吗？那么 2x y =与y=(x-1)2的图象之间又有何关系？动手操作、探究：在同一平面内画出函数2 x y =与y=(x-1)2的图象。比较它们的性质，你可以得到什么结论？【探究问题1】形如的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(2 1-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ 1、在平面直角坐标系中，并画出函数2)1(+=x y 的图象。 2、比较它与函数2 x y =的图象之间的关系。结论：（1）抛物线y=a(x-h)2(a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的形状一样，只是位置不同，因此抛物线y=a(x-h)2可通过平移抛物线y ＝ax 2(a ≠0)得到。当h ＞0时，把抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向左平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2，当h<0时，把抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向右平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2

北师大版2.4 二次函数的应用(1)教案

第二章二次函数 2.4 二次函数的应用（1）一、知识点 1.利用二次函数求几何图形面积最大值的基本思路. 2.求几何图形面积的常见方法. 二、教学目标知识与技能：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．过程与方法： 1.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力． 2.通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．情感与态度： 1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值． 2.能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格． 3.进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．三、重点与难点重点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题. 难点：把实际问题转化成函数模型. 四、创设情境，引入新知(放幻灯片2、3、4） 1.(1)请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园. (2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？设计意图：通过学生所熟悉的图形，引入新课，使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路. 2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米. (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？

二次函数的图像与性质教案

二次函数y= ax 2+bx+c 的图象与性质年级：九年级执教老师：田老师【教学目标】 1. 知识与技能会用配方法确定二次函数y= ax 2+bx+c 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。理解二次函数y= ax 2+bx+c 的性质。 2. 过程与方法让学生经历配方的过程，掌握抛物线的对称轴和顶点坐标。 3. 情感态度与价值观培养学生积极探索、合作交流的意识。【教学重点】理解、掌握对称轴a b x 2-= , 顶点坐标（a b 2- ，a b ac 442-）【教学难点】用配方法确定对称轴、顶点坐标。【教学过程】一、温故知新 1. 耐心填一填

2. 抛物线y =－2(x ＋3)2－6的开口，对称轴是，顶点坐标为。当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，函数y 有最值。 3. 你能说出y =－2x 2＋6x －1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？二、探索新知 1.你能将二次函数 y =－2(x ＋3)2－6化成一般形式吗？ 2. 怎样将二次函数一般式y =－2x 2＋6x －1化成顶点式y=a(x －h)2＋k ？ y =－2x 2＋6x －1 =－2（x 2－3x ＋21 ）提：提取二次项系数 =－2[x 2－3x ＋223）（－223）（＋21 ] 配：括号内配成完全平方 =－2[（x －23）2－47 ] （加上再减去一次项系数一半的平方） =－2（x －23）2＋2 7 化：化成顶点式 3. 提问： ⑴ 对称轴是，顶点坐标是（） ⑵ 当x 等于多少时，函数的值最大？最大值是多少？ 4. 求函数122 12-+-=x x y 的最大值。