初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数教案

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人教版九年级上册数学 22.1.1二次函数教案

例1．判断下列函数是否为二次函数，并指出二次项系数，一次项系数和常数项。

例2、当m 取什么值时，函数是二次函数？当m 取什么值时，函数是二次函数（请自编一个函数并解决）一般地，二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）中自变量x 的取值范围可以是任意实数，但如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个数量，那么的它取值要受到实际意义的限制。

上述问题中自变量的取值范围分别是什么？四、实际应用如图，我校想开垦一个生物实验基地，用50m 长的护栏围成一块靠墙的矩形菜地，墙长16m 。

试写出矩形菜地的面积y （m2）与垂直于墙一边的长x （m ）之间的函数表达式与自变量的取值范围。

五、课堂小结与反思函数思想方法是一种重要的数学思想方法，二次函数是初中函数学习的重要内容，与二次函数与一元二次方程有着密切的联系。

本节课的公开课的设计意图：一是在学生已有的函数经验的基础上，从身边的生活情景出发，感受二次函数来源于生活，并类比一次函数与反比例函数，引导学生主动归纳二次函数的特点，给出二次函数的定义；二是结合实际问题讨论二次函数的自变量的取值范围，为后面研究二次函数的性质作铺垫；最后用二次函数的知识解决简单的实际问题，体现数学来源与生活，应用于生活。

考察知识点：整式，化简后最高次为2次，二次项系数不为0引导学生确定简单实际问题中函数自变量的取值范围学以致用，感受数学来源于生活，并应用于生活，体现数学的应用价值52)1(2-=x y 21(2)1y x =+),,()3(2是常数c b a cbx ax y ++=22)1()4(x x y --=12321)5(2+-=x x y 12)6(24-+=x x y 3222-+=-x x y m。

九年级数学上册22.1.1二次函数教案(新版)新人教版

22.1.1 二次函数一、教学目标1.结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.二、课时安排1课时三、教学重点体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.四、教学难点能够表示简单变量之间的二次函数关系.五、教学过程（一）导入新课情景问题：正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y.显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为 y=6x2. （1）（二）讲授新课问题1：n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系？分析：每个队要与其他（n-1）支球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数是1(1)2n n-（2）问题2：某种产品现在的年常量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？分析：这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1+x) t，再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x) t，即两年后的产量2220(1)204020y x x x=+=++（3）活动2：探究归纳函数（1）（2）（3）有什么共同点？明确：一般地，形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数.（三）重难点精讲例1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m ²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？ 2(602)30.2a S a a a -=∙=-+ 例2（1）m 取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m 取什么值时，此函数是二次函数？解：由（1）可知, 271,30,m m ⎧-=⎨+≠⎩解得：=m ±由（2）可知，272,30,m m ⎧-=⎨+≠⎩解得m=3归纳：本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题紧扣概念的特征进行解题.尤其第2问要保证二次项系数m+3≠0.例3 下列函数中，（x 是自变量），哪些是二次函数？为什么？① y=ax 2+bx+c ② s=3-2t ² ③y=x 2 ④21y x= ⑤y=x ²+x ³+25 ⑥ y=(x +3)²-x ² 明确：②③①不一定是，缺少a ≠0的条件；④不是，右边是分式；⑤不是，x 的最高次数是3；⑥可以化成y=6x+9。

22.1.1二次函数教案

二次函数22.1.1教学目标：(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

教学难点：求出函数的自变量的取值范围。

教学过程：一、情境引入●如果改变正方体的棱长，那么正方体的表面积Y会随之改变，Y与X之间的有什么函数关系？●Y=●n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？●要给边长为xm的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8m，那么总费用y为多少元？●（1）地板费用为_________；●（2）踢脚线费用为________ _；●（3）其他费用为_________；（4）总费用y为________________.●请找一找我们的共同点●观察上面函数关系式，并思考：●这些函数有哪些共同特征？二、二次函数定义：●指出下列格式哪些是二次函数，哪些不是？● 1、函数（m为常数）●当时，这个函数为二次函数？●当时，这个函数为一次函数？2、函数中，m为何值时，该函数为二次函数？三、能力提升：●问题1：●问题2：●已知在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s 的速度，P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到达终点时，运动停止，用S表示图形的面积,x表示移动的时间（x＞0）.●（1）几秒后S△PQB=8cm2；●（2）求S△PQD与x之间的函数关系式，●并写出x的取值范围.四、课堂练习(1) (口答)下列函数中，哪些是二次函数?(1)y=5x+1 (2)y=4x2-1(3)y=2x3-3x2 (4)y=5x4-3x+1(2).P3练习第1，2题。

人教版数学九年级上册教案22.1.1《二次函数》

人教版数学九年级上册教案22.1.1《二次函数》一. 教材分析人教版数学九年级上册第22章是关于二次函数的学习。

二次函数是中学数学中的重要内容，也是高考中的热点之一。

本章内容主要包括二次函数的定义、图象与性质，以及二次函数的应用。

在学习本章之前，学生已经掌握了函数、方程等基础知识，为本章的学习打下了基础。

二. 学情分析九年级的学生已具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，但对于二次函数这一复杂的概念，仍需要通过具体实例和实际操作来理解和掌握。

在学习过程中，学生可能对二次函数的图象与性质产生困惑，需要教师进行引导和解释。

三. 教学目标1.了解二次函数的定义和一般形式；2.掌握二次函数的图象与性质，并能运用其解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.二次函数的定义和一般形式；2.二次函数的图象与性质；3.二次函数的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的知识；2.使用多媒体辅助教学，展示二次函数的图象与性质；3.学生进行小组讨论和合作交流，提高学生的动手能力和团队协作能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备；2.教学PPT；3.练习题和测试题；4.教学课件。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入二次函数的概念，如：一个物体从地面抛出，其高度与时间的关系可以表示为一个二次函数。

引导学生思考：这个二次函数是什么样子？它的图象是什么样的？呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次函数的一般形式和图象，解释二次函数的定义和性质。

同时，教师可以通过举例来说明二次函数的应用，如：抛物线、顶点坐标的计算等。

操练（10分钟）教师布置一些练习题，让学生动手计算和绘制二次函数的图象。

教师可以学生进行小组讨论，共同解决问题。

巩固（10分钟）教师通过一些实际问题，让学生运用二次函数的知识来解决问题。

教师可以引导学生进行思考和讨论，帮助学生巩固所学知识。

拓展（10分钟）教师可以引导学生思考：二次函数的图象和性质与其他函数有什么不同？如何判断一个函数是否为二次函数？教师可以学生进行小组讨论，引导学生进行拓展思考。

人教版九年级上册数学22.1.1二次函数教案1

22．1.1 二次函数（一）教学目标：1.知识目标理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。

2.能力目标会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。

3.情感目标从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

（二）教学重难点重点：二次函数的概念和解析式难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。

（三）学情分析：（四）方法应用：预习铺垫、自主先行、合作提高、导师点拨、检测升华（五）教具准备：尺子（六）教学过程1、展示目标，以标导航1. 了解二次函数的有关概念．2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。

3. 确定实际问题中二次函数的关系式。

2、预习检测，以测促学；1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的，x 叫做。

2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是函数。

3.归纳：一般地，形如，（,,a b c a 是常数，且）的函数为二次函数。

其中x 是自变量，a 是_____，b 是_______，c 是_____．3、合作解疑，以疑促探引请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系：1.面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm )2．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为。

分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y =，整理为y =.3.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．4.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是。

人教版九年级数学上册(教案)22.1.1 二次函数

22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数教学目标1．理解二次函数及有关概念．2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．教学重点二次函数的概念．教学难点由生活中的实际问题建立二次函数模型．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景明确目标学生观察图片，教师引出课题：河上架起的拱桥，花园的喷水池喷出的水，投篮球或掷铅球时球在空中经过的路线都会形成一条曲线，这些曲线是否能用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？这些都将在新的一章——二次函数中学习．二、自主学习指向目标自学教材第28至29页，完成下列填空：1．教材引言中正方体的表面积问题，问题1及问题2中的函数关系式分别表示为：①__y ＝6x2__、②__m＝1,2n2－1,2n__、③__y＝20x2＋40x＋20__.2．我们把形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的__二次__函数．其中__x__是自变量，__a__叫做二次项系数，__b__叫做一次项系数，__c__叫做常数项．3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，当a__≠0__时，是二次函数，当a__＝0__且b__≠0__时，是一次函数；当a__＝0__，b__≠0__，c__＝0__时，是正比例函数．三、合作探究达成目标探究点一二次函数的概念活动一：上面第1题中的函数①②③有什么共同点？什么样的函数是二次函数？其一般形式是什么样的？【展示点评】二次函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)．【小组讨论】能否抛开“a≠0”理解二次函数的概念？为什么？对于b，c，它们可否等于0?【反思小结】判断一个函数是否为二次函数，关键是看它是否符合二次函数的特征，若形式比较复杂，则要先化简，再作出判断．具体可从如下几点进行：(1)自变量的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)右边是整式；(4)判断时首先将右边化成一般式，不要看表面形式．在a≠0的条件下b，c可以等于0.【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一探究点二列出实际问题中的二次函数解析式活动二：[教学建模]某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的边长为x m，宽为y m，面积为S m2，(x＞y)．(1)如果用18 m的建筑材料来修建绿地的边框(即周长)，求S与x的函数关系，并求出x的取值范围．(2)根据小区的规划要求，所修建的绿地面积必须是18 m2，在满足(1)的条件下，矩形的长和宽各为多少米？思考：题目中蕴涵的公式是什么？第(2)问就是已知__S(函数值)__，求__x(自变量)__的问题．【展示点评】(1)S＝－x2＋9x(4.5<x<9)(2)－x2＋9x＝18，解得x1＝3(不合题意，舍去)，x2＝6【小组讨论】根据实际问题列二次函数关系式的一般步骤有哪些？求自变量的值或二次函数值与以前学过的哪些知识类似？【反思小结】一般地，列实际问题中的二次函数关系式可以按如下步骤进行：(1)审清题意，找出实际问题中的已知量，并分析它们之间的关系，将文字或图形语言转化成数学符号语言；(2)根据实际问题中存在的等量关系或客观存在的某种数量关系(如学过的公式等)，建立二次函数关系式，并将之整理成一般形式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(3)联系实际，写出需要标明的自变量的取值范围．已知二次函数值求自变量的值可以转化为解一元二次方程，而已知自变量的值求二次函数值实际上就是求代数式的值．【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二四、总结梳理内化目标1．我们学过的函数有__一次__函数和__二次__函数．2．一次函数的关系式是y＝__kx＋b__(k≠0)；当__b＝0__时，一次函数就是正比例函数y＝__kx__．3．二次函数的一般形式是：__y＝ax2＋bx＋c__(__a≠0__)，其中__ax2__是二次项，__bx__是一次项，__c__是常数项，__b__是一次项系数，__a__是二次项系数．五、达标检测反思目标1．圆面积公式s＝πr2，s与r之间的关系是( C )A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上答案都不对2．二次函数y＝3x2＋2x＋1中，二次项系数是__3__，一次项系数是__2__，常数项是__1__．3．某农机厂第一个月水泵的产量为50台，若每个月的平均增长率为x，则第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数解析式为__y＝50(1＋x)2__．4．若y＋2与x2成正比例，当x＝－3时，y＝1，则y与x的函数关系式为__y＝1,3x2－2__．5．若y＝(m2＋m)xm2－2m－1是二次函数，求m的值．解：m的值为3.六、布置作业巩固目标1．上交作业教材第41页1、2、8题．2．课后作业见学生用书的“课后作业”部分．教学反思__。

人教版九年级数学上册教学设计《22.1.1二次函数》

二次函数（人教版第二十二章第一节）一、教学目标：1.知识与技能(1)掌握二次函数的定义.(2)运用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系.(3)归纳二次函数特征识别二次函数.2.过程与方法（1）通过对实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义.（2）通过观察和分析，学生归纳出二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数.（3）利用小组合作，共同探究，增强了学生学习数学的兴趣.3.情感态度价值观(1)通过图片欣赏，动手实验，讨论交流，合作探究的过程，感受数学知识的形成与应用价值.(2)增强学习兴趣，获得发现问题，分析问题，解决问题的能力.二、教学重点、难点：重点：(1)认识二次函数，经历探索函数关系.(2)归纳二次函数概念的过程．难点：(1)根据函数解析式的结构特征.(2)归纳出二次函数的概念并能识别二次函数.三、教学过程：教学步骤教学内容设计意图温故知新师：同学们，上学期我们学习了一次函数与正比例函数，大家还记得它们的解析式吗？生：记得！一次函数的解析式：y=kx+b（k≠0）正比例函数的解析式：y=kx（k≠0）师：那么，它们的图像是？生：一条直线.师：真棒！接下来大家欣赏两张图片.师：现实生活中，除了有直线，还有许多的曲线，那么在这些曲线中又蕴含了怎样的函数奥秘呢？我们一起来学习本节课的知识——《二次函数》.一、创设情景，引出课题.通过两张美丽图片，吸引学生眼球.并通过简单介绍，激发学生学习兴趣,同时也让孩子们感受到数学源于生活，用于生活，在视觉上体验数学之美！活动一：知识小热身师：首先我们进行“活动一：知识小热身”.(ppt展示三个问题)问题 1 正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为x，表面积为y，则y关于x的关系式为y=6x2 .生：6x2师：对吗？师生共答:y=6x2问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行两场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系？师：本题的关键句是？生：每两队之间进行两场比赛.师：它是双循环类型.由此我们可得：)1(-=nnm化简：nnm-=2问题3 某种产品现在的年产量为20t,计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y将随计划所定的x值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？师：本题的关键句是？生：每年都比上一年的产量增加x倍.师：它是增长率类型. 已知产品原产量是20t，依题意：一年后为20(1+x)两年后为20(1+x)2化简：y=20x2+40x+20师：刚才我们得到的三个关系式是函数吗？生：是.师：为什么呢？生：对于任意一个自变量x，都有唯一的y与之相对应，所以它们都是函数.师：掌声！二、实例探究，承上启下.通过问题1：几何问题--正方体的表面积，问题2：双循环问题，问题3：增长率问题这三个实例的分析，让学生通过已学知识列出解析式，并思考所列解析式的结构特征，为概括二次函数的定义打下基础.同时也培养了分析问题，解决问题的能力，体验实际问题“数学化”的过程.通过学生观察发现所列关系式的共同特征，发现三个关系式都为函数，充分肯定学生的探究结果，使其树立“我也能发现数学”的信心.活动二：探索出新知师：认真观察以下三个函数解析式并填空.师：三个函数的共同点是什么？生：它们都是自变量的二次式表示.师：由此我们得到二次函数的定义，大家齐读！定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.师：大家一起观察二次函数一般式：y=ax²+bx+c（a≠0)，它有什么特点？生1：自变量最高次为二次.师：很好，那么为什么一般式要求a≠0？生2：如果a=0，那么二次项就不存在，就不是二次函数了.师：掌声在哪里！回答得真不错！那么大家接下来想想：一次项系数b和常数项c可以为0吗？生3：可以，因为当b=0或c=0，不存在的是一次项和常数项，但二次项仍存在，所以它还是二次函数.师：掌声！大家继续观察等号右边是整式还是分式？生4：整式，因为自变量x不在分母.师：很好，由此得到一般式的三个注意点.注意：（1）自变量最高次为二次（2）二次项系数a≠0（3）等号右边代数式是整式三．归纳总结，获取新知.通过学生自己独立解决运用函数知识表述变量间关系，合作探究环节师生互动，来自主探究新知，从而通过观察，归纳得到二次函数的解析式，获取新知.对已知的二次函数定义，深入挖掘，引导学生归纳总结二次函数的三要素，为接下来的解题提供了方法.活动三：大显身手出题角度1：根据二次函数三要素识别二次函数练习1.下列哪个是二次函数（ D ）出题角度2：应用二次函数的概念求相关字母的取值的值是二次函数，求常数）（：练习ax1-ay21a+=解：依题意，得四．变式训练，巩固新知.练习1考察学生能否应用二次函数的三要素对二次函数的进行识别.练习2通过对二次项的系数与指数的限定，求出相关字母的取值.1a≠-⎩⎨⎧1-a=解得：21a=+xxyDcbxxyCxxxyBxxyA2.a.)123(3.2.22222+-=++=-+-=-=.1-a的值为答：常数活动四：课堂小结通过小结让学生简单回顾一节课的内容，体验知识的产生，发展以及应用的过程.教学反思本课时的内容涉及到初中第二个函数内容，由于前面有了学习一次函数的经验，在以往经验的基础上，创设丰富的现实情境，初步感知二次函数的意义，进而能从实际问题中抽象出数学模型，并列出二次函数的解析式.上课时应注重探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学习经历过程和探究体验，领悟到现实生活中的数学问题，提高研究与应用能力.板书设计22.1.1二次函数复习：正比例函数、一次函数的一般形式定义：二次函数：练习1：练习2：(草稿区)。

九年级数学上册22.1.1二次函数教案1新人教版

22．1。

1 二次函数1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式．2．会利用二次函数的概念解决问题．3．列二次函数表达式解决实际问题．一、情境导入已知长方形窗户的周长为6米,窗户面积为y（米2），窗户宽为x （米），你能写出y与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？二、合作探究探究点一：二次函数的有关概念【类型一】二次函数的识别下列函数哪些是二次函数？（1)y＝2－x2； (2)y＝错误!；（3）y＝2x（1＋4x)； (4）y ＝x2－（1＋x）2。

解析：（1）是二次函数；（2）错误!是分式而不是整式，不符合二次函数的定义式，故y＝错误!不是二次函数;(3)把y＝2x（1＋4x)化简为y＝8x2＋2x，显然是二次函数；(4)y＝x2－（1＋x)2化简后变为y＝－2x－1，它不是二次函数而是一个一次函数．解：二次函数有（1）和（3)．方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准:①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.【类型二】确定二次函数中待定字母的取值如果函数y＝（k＋2）xk2－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？解析:紧扣二次函数的定义求解．注意易错点为忽视k＋2≠0的条件．解：根据题意知错误!解得错误!∴k＝2.方法总结：紧扣定义中的两个特征：①a≠0;②自变量最高次数为2的二次三项式ax2＋bx＋c.【类型三】求函数值当x＝－3时，函数y＝2－3x－x2的值为________．解析：把x＝－3直接代入函数的表达式得y＝2－3×（－3）－(－3）2＝2＋9－9＝2.即函数的值为2。

方法总结：求函数值实际上就是求代数式的值．用所给的自变量的值替换函数关系式中的自变量，然后计算，注意运算顺序不要改变．【类型四】确定自变量的取值当x＝________时，函数y ＝x2＋5x－5的函数值为1.解析:令y＝1，即x2＋5x－5＝1，解这个一元二次方程得x1＝－6,x2＝1。

人教版九年级上22.1.1《二次函数》名师教案(人教版九年级上册数学)

22.1.1 二次函数（刘佳）一、教学目标（一）学习目标1．能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的概念，掌握二次函数的表达形式.2．会写出实际问题的二次函数关系式，并确定它自变量的取值范围.（二）学习重点理解二次函数的概念，掌握二次函数的表达形式.（三）学习难点1．能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系．2．重视二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中a ≠0这一隐含条件．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务我们把形如y= ax 2+bx+c (a,b,c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数，其中 ax 2 为二次项， a 为二次项系数； bx 为一次项， b为一次项系数； c 为常数项.2．预习自测（1）下列函数中是二次函数的有（）（1）234y x =-+ （2）21y x x=+（3）(2)(3)y x x =-+ （4）2(2)(2)(1)y x x x =+---A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】二次函数的概念【解题过程】（1）是二次函数；（2）不是整式，故不是二次函数；（3）展开后易知是二次函数；（4）化简后二次项消掉了，不是二次函数【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】B（2）在圆的面积计算公式S=πR 2中，S 与R 之间的关系是( )A.S 是R 的正比例函数B.S 是R 的一次函数C.S 是R 的二次函数D.以上答案都不对【知识点】二次函数的概念【解题过程】由二次函数概念易知【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】C（3）某物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=4t 2+3t ，则当t=5时，该物体所经过的路程为( )A.115米B.75米C.55米D.35米【知识点】二次函数表达式【解题过程】将t=5代入易求出S=115.【思路点拨】代数式求值【答案】A（4）某商场对原价为800元的某商品进行两次降价，若设平均每次降价的百分比为x ，降价后的价格为y 元，则y 与x 之间的函数关系为( )A.)1(080x y -=B.)21(080x y -= C.)1(0082x y -= D. 2)1(008x y -=【知识点】二次函数表达式【解题过程】由题意平均每次降价百分比为x ，则2)1(008x y -=【思路点拨】此题属增长率类应用问题【答案】D（二）课堂设计1．知识回顾（1）一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c =0 (a,b,c 是常数，a ≠0)（2）正比例函数的一般形式是：y=kx (k ≠0,k 为常数)（3）一次函数的一般形式是：y=kx+b (k ≠0,k 、b 为常数)2．问题探究探究一二次函数的概念及其解析式●活动① 通过实例，引入概念师问：请用适当的函数解析式表示下列问题情景中的两个变量y 与x 之间的关系：（1）面积y(cm 2)与圆的半径x(cm )；（2）菱形的两条对角线长的和为26cm ，其中一条对角线长为xcm ，菱形面积为y cm 2；（3）王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为x ，两年后王先生共得本息和y 元.学生抢答：（1）2y x =π；（2）x x x x y 1321)26(212+-=-=；（3）2220000(1)200004000020000y x x x =+=++师问：上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?归纳：1.二次函数的概念：把形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数，其中：ax 2为二次项，a 为二次项系数；bx 为一次项，b 为一次项系数；c 为常数项.2.二次函数的解析式：二次函数的一般式：y=ax 2+bx+c (a,b,c 是常数，a ≠0).特殊式：(1)y=ax 2 (a ≠0,b=0,c=0,)；(2)y=ax 2+c (a ≠0,b=0,c ≠0)；(3)y=ax 2+bx (a ≠0,b ≠0,c=0).【设计意图】鼓励学生在实际问题中发现数学，并利用已经学过的知识自主类比归纳、发现数学概念，体会从特殊到一般以及分类的思想方法.●活动② 例题讲解，应用概念例1：下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=2x-1； (2)223y x =； (3)y=4x 2-3x+1； (4)23y x=+4； (5)y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数)； (6)y=6x 2-3x(1+2x)-5； (7)y=-3x 2-25x. 【知识点】二次函数的概念【解题过程】解:（1）是一次函数；（2）是二次函数；(3)是二次函数；(4)右边不是整式，不是二次函数；(5)缺条件a ≠0，不是二次函数； (6)整理后为y=-3x-5，不是二次函数；(7)是二次函数.【思路点拨】解答这类问题的一般方法是:先把各关系式整理,然后再根据二次函数的定义进行判断. 判断时要注意:(1)化简后二次项系数不等于0；（2）所表示的函数的关系式为整式.【答案】（2）、（3）、（7）练习：下列函数中是二次函数的有（）（1）234y x =-+ （2）21y x x =+（3）(2)(3)y x x =-+ （4）2(2)(2)(1)y x x x =+---A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】二次函数的概念【答案】B【解题过程】（1）是；（2）右边含分式，不是；（3）展开后为62-+=x x y ，是；（4）整理得y=2x-5，不是，故选B【思路点拨】（1）要看化简后的结果（2）二次函数必须为整式【设计意图】概念是数学的基础，必须牢记，通过对二次函数的判断，让学生准确熟练掌握二次函数的基本概念以及表达式，同时学会注意数学概念需要满足的条件，为后续准确列出二次函数表达式以及研究二次函数的性质打好基础.例2：m 取何值时，函数2(1)(1)32m m y m x x -=--+是二次函数？【知识点】二次函数的表达式2(1)(1)32m m y m x x -=--+【解题过程】解:∵函数2(1)(1)32m m y m x x -=--+是二次函数，∴m 2-m=2, 解得m 1=2, m 2=-1.但当m=-1时, m 2-1=0；而m=2时, m 2-1≠0.综上所述,m=2.【思路点拨】解答这类问题,主要是根据二次函数的定义,二次函数的解析式中,自变量的最高次数是2,同时二次项系数不能为零列方程(方程组或不等式)求解.【答案】m=2练习：已知()22132a a y a x --=--是二次函数,则a=_______.【知识点】二次函数的表达式【思路点拨】由题意得a 2-2a-1=2, 解得a 1=3,a 2=-1;且a-3≠0,即a ≠3.综上所述,a=-1.【答案】a=-1【设计意图】在概念的学习中，要让学生重视二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中a ≠0这一隐含条件．探究二 ●活动① 通过实例，探究归纳例1 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量（果园最多能种150棵橙子树）,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.(1)假设果园增种x 棵橙子树,那么果园共有橙子树______________棵,这时平均每棵树结橙子_______________个.(2)若果园橙子的总产量为y 个,请你写出y 与x 之间的关系式，并注明x 的取值范围.【知识点】用二次函数表示实际问题并求自变量取值范围．【解题过程】解：（1）100+x ；600-5x ；（2）2(6005)(100)510060000y x x x x =-+=-++（0<x ≤50）【思路点拨】认真审题，会用含未知量的式子表示其它的未知量.自变量的取值范围要符合题意.【答案】（1）100+x ；600-5x ；（2）2510060000y x x =-++（0<x ≤50）想一想：确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是什么?归纳：确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是：（1）审清题意，找出实际问题中的已知量（常量）和未知量（变量），并分析它们之间的关系，将文字或图形语言转化为数学符号语言.（2）建立二次函数表达式，注意要将表达式化简为y=ax ²+bx+c(a ≠0)的形式.注意自变量x 的取值范围，在一般情况下，二次函数的自变量可以取任意实数，但在实际问题中，自变量的取值范围要使实际问题有意义.练习：某种品牌的服装进价为每件150元,当售价为每件210元时,每天可卖出20件,现需降价处理,且经市场调查发现:每件服装每降价2元,每天可多卖出1件.在确保盈利的前提下,若设每件服装降价x 元,每天售出服装的利润为y 元,则y 与x 的函数关系式为( ) A.y= 221x -+10x+1200(0<x<60) B.y=221x --10x+1200(0<x<60) C.y= 221x -+10x+1250(0<x<60) D.y= 221x -+10x+1250(x ≤60) 【知识点】用二次函数表示实际问题并求自变量取值范围．【解题过程】解：由题意有:21(210150)(201)10120022x y x x x =--+⨯=-++(0<x<60) ，故选A. 【思路点拨】解答这类问题,根据问题的实际,先把其中包含的数量表示出来,再结合题目所给的基本数量关系(如:路程=速度×时间、总价=单价×数量、面积公式、体积公式等),把相等关系表示出来,最后整理即可.【答案】A【设计意图】构造二次函数来表示实际问题，让学生体会到二次函数与生活紧密相连，数学来源于生活又能应用于生活，同时注意用二次函数模型解决实际问题时，自变量的取值范围要符合实际.●活动② 变式练习，学会应用例2如图所示，一个窗户的上面是半圆，下面是矩形，矩形的一边长1.2m ．(1)窗户透光的面积S （2m ）关于上面半圆半径r （m ）的函数关系式；⑵求当上面半圆直径为1m 时，窗户的面积.（3π≈）【知识点】用二次函数表示实际问题，并代入求值．【解题过程】解：⑴22111.22 2.422S r r r r =⨯+=+ππ ⑵当r=1时，2212.4131 2.4 1.5 3.9()2S m ≈⨯+⨯⨯=+= 【思路点拨】由窗户透光的面积等于半圆面积+矩形面积求【答案】212.42S r r π=+，3.92m 练习：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2∶1,沿前侧内墙保留3 m 宽的空地,其他三侧内墙各保留1 m 宽的通道,请写出蔬菜种植面积与矩形温室的宽之间的函数关系式.【知识点】用二次函数表示实际问题【解题过程】解:设蔬菜种植区域的面积为y m 2，矩形温室的宽为x m,则矩形温室的长为2x m.根据题意得y=(2x-4)(x-2)，即y=2x 2-8x+8.【思路点拨】解答这类问题,根据问题先把因变量用含自变量的数量关系表示出来,再整理即可.【答案】y=2x 2-8x+8【设计意图】渗透函数思想，建立函数模型.让学生感受到当遇到实际问题时，可以设未知数构造二次函数来解决问题.3. 课堂总结【知识梳理】（1）二次函数的概念：把形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0)的函数叫做x的二次函数.（2）确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是：①审清题意，分析已知量和未知量之间的关系，将文字或图形语言转化为数学符号语言；②结合题中的基本数量关系，建立二次函数表达式；③写出自变量x 的取值范围.【重难点突破】（1）学习二次函数的定义，注意：①等号左边是变量y ，右边是关于自变量x的整式；②a,b,c 为常数，且a ≠0；③等式的右边自变量的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；④x 的取值范围是任意实数.（2）判断一个函数是否为二次函数，即要看这个函数的关系式化简后是否同时满足二次函数定义中的三个条件：①所表示的函数的关系式为整式；②函数的关系式有唯一自变量；③关系式自变量的最高次数为2且二次项系数不等于0.（3）当二次项系数是待定字母时，求出字母的值必须满足二次项系数不为0这一条件．（三）课后作业基础型自主突破1.下列函数中，是二次函数的有( ) ①2231x x y -+=；②21y x=；③)2(x x y -=；④(13)13y x x =-+（）.A.1个B.2个C.3个D.4个【知识点】二次函数的概念【解题过程】 ①符合二次函数定义，是；②不是整式，故不是；③展开以后是二次函数；④展开以后是二次函数.【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】C2.若2221()1m m y m m x x --=+--是关于x 的二次函数,则( )A.m=-1或m=3B.m ≠-1且m ≠0C.m=-1D.m=3【知识点】二次函数的概念【解题过程】① 由2212m m --=得m=-1或m=3；②又由20m m +≠得m ≠-1且m ≠0，故m=3【思路点拨】由二次函数的概念，根据自变量的最高次数为2，二次项的系数不能为0，列式求解.【答案】D3.已知Rt ABC ∆中，︒=∠90ACB ，直角边长的和为20，设AC =x ，则=∆ABC S （） A.y=-21x 2+10x B.y=-x 2+20x C.y =21x 2+20x D.y=x 2+20x 【知识点】二次函数的表达式【解题过程】 211(20)1022y x x x x =-=- 【思路点拨】根据三角形面积公式列出函数式【答案】A4.二次函数y=x 2+3x-9的函数值是19，那么对应的x 的值是（）A.-7B.4C.4或-7D.-4或7【知识点】二次函数的表达式，函数值的概念【解题过程】由题意有23919x x +-=，解得4,7x =-【思路点拨】由函数值的概念，利用一元二次方程求解【答案】C5.已知二次函数322+--=mx x y ，当x ＝-2时，y ＝-15，则这个二次函数解析式为．【知识点】二次函数的表达式【解题过程】将x ＝-2，y ＝-15代入322+--=mx x y 得5m =-【思路点拨】代数式求值【答案】3522++-=x x y6.如图，用长36米的竹篱笆围成一个一边靠墙（墙长15米）的矩形养鸡场ABCD ，设AB 边长为x 米，则养鸡场的面积y （m 2）与x （m ）的函数关系式为______________________（写出自变量x 的取值范围）.【知识点】二次函数的表达式【解题过程】 236118(015)22x y x x x x -=∙=-+<< 【思路点拨】根据矩形面积公式列出二次函数关系式，并注意隐含条件是解题的关键【答案】2118(015)2y x x x =-+<<能力型师生共研7.判断下列函数是否为二次函数.如果是，写出其中a 、b 、c 的值.①231x y -=( ) ②)5(-=x x y ( ) ③652++=x x y ( ) ④23)2(3x x x y +-=（） ⑤ 122+-=x x y （） ⑥c bx ax y ++=2（）【知识点】二次函数的概念【解题过程】答：①是，a=-3，b=0，c=1；②是，a=1，b=-5，c=0；③不是，因为不是整式；④不是，因为化简后没有二次项；⑤不是，因为不是整式；⑥不是，因为二次项系数可能为0.【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】①②是，③④⑤⑥不是8.已知函数x m x m y m m )3()2(832+++=--（m 是常数）.①m 为何值时，它是二次函数？②m 为何值时，它是一次函数？【知识点】二次函数、一次函数的概念【解题过程】 ①由2382m m --=得5,2m =-又20m +≠，所以5m =；②情况一：20m +=，即2m =-；情况况二：2381m m --=，解得m = 【思路点拨】牢记二次函数、一次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】①m=5 ；②m=-2或32m ±=探究型多维突破9.某商场销售一批名牌运动服，平均每天可售出18件，每件赢利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件运动服每降价2元，那么商场每天可多售出4件．设每件运动服降价x 元，则降价后每件运动服赢利________元，商场平均每天可售出运动服________件；如果设商场每天赢利y 元，则y 与x 的函数关系是________，y 是x 的________次函数．【知识点】二次函数的应用【解题过程】降价后每件运动服赢利(30)x -元，每天售出(182)x +件，故2(182)(30)242540y x x x x =+-=-++，是二次函数【思路点拨】根据总利润=每件利润×件数列出函数式.【答案】30x -，182x +，2242540y x x =-++，二10.如图，在△ABC 中，∠B =90°，AC =512cm ，BC =2AB ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2 cm/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4 cm/s 的速度移动(不与点C 重合).如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设运动的时间为x s,四边形APQC 的面积为y cm 2.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)求自变量x 的取值范围；(3)四边形APQC 的面积能否等于172 cm 2.若能，求出运动的时间；若不能，说明理由.【知识点】二次函数的综合应用【解题过程】（1）在△ABC 中，∠B =90°，AC =512，BC =2AB ，∴AB =12 ，BC =24 . 由运动可知，AP =2x ，BQ =4x ，则 y=12BC ·AB -12BQ ·BP =12×24×12-12·4x ·(12-2x)，即y=4x 2-24x+144. (2)∵0＜AP ＜AB ，0＜BQ ＜BC ， ∴0<x<6.(3)解：当y=172时，4x 2-24x+144=172. 解得x 1=7，x 2=-1.又∵0<x<6， ∴四边形APQC 的面积不能等于172 cm 2.【思路点拨】根据实际问题分析题意、找出数量关系是列出二次函数的关键；此外，应该注意自变量的取值范围一定要使问题有意义.【答案】(1)y=4x 2-24x+144. (2) 0<x<6 (3)不能自助餐1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A.y ＝3x －1B.y ＝ax 2+bx +cC.s ＝2t 2－2t +1D.y ＝x 2+x1 【知识点】二次函数的概念【解题过程】1、整式；2、二次；3、二次项系数不为0 ，故用排除法选C【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】C2.已知函数y ＝(m 2+m )x 2+mx +4为二次函数，则m 的取值范围是（）A.m ≠0B.m ≠－1C.m ≠0，且m ≠－1D.m ＝－1【知识点】二次函数的概念【解题过程】由题20m m +≠得m ≠0，且m ≠－1【思路点拨】由二次函数的概念，二次系数不能为0，建立不等式求解【答案】C3. 某初级中学有m 个班举行篮球比赛，每班派一个队参赛，采用单循环赛（即每两个球队间都要进行一场比赛）,则比赛的场次数s 与 m 之间的关系式是_____________.【知识点】二次函数的表达式【解题过程】 2(1)11222m m S m m -==- 【思路点拨】由比赛的场次数=参赛队数×（参赛队数-1）÷2列式【答案】21122S m m =-4.如图，在四边形ABCD 中，AB //CD ，∠ADC =90°，AB =12，AD =8，CD =6，点E 、G 分别在线段AD 、DC 上，BF =AE =DG =x ，则四边形CGEF 的面积x y 与之间的函数关系式为，自变量x 的取值范围是 .【知识点】二次函数的表达式【解题过程】1111(612)8(6)(8)(12)83482222y x x x x x x =+⋅------⋅=-+；0<x<6 【思路点拨】用梯形面积减去三个空白三角形面积即为阴影部分面积【答案】1111(612)8(6)(8)(12)83482222y x x x x x x =+⋅------⋅=-+；0<x<65.如图，有一个长为30米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米.(1)求S 与x 的函数关系式；(2)如果要围成面积为63平方米的花圃，AB 的长为多少米?【知识点】二次函数的实际应用【解题过程】(1)S=x(30-3x)，即S=-3x 2+30x.(2)当S=63时，-3x 2+30x=63.解得x 1=3，x 2=7.又∵当x=3时，BC ＞10(舍去)，∴x=7.答：AB 的长为7米.【思路点拨】先列出花圃的长的表达式，再根据矩形面积公式列出函数式；此外，此题方程的解一定要检验是否符合题意.【答案】(1) S =-3x 2+30x. (2) AB 的长为7米6.如图，等腰Rt ΔABC 以2cm/s 的速度沿直线MN 向正方形CDEF 移动，当直线AB 与EF 重合时停止，设x s 时正三角形与正方形重叠部分的面积为yc 2m .（1）写出y 与x 的关系表达式；（2）当x=4、14时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的41时，三角形移动了多长时间？【知识点】二次函数的综合应用【数学思想】分类讨论【解题过程】（1）2211222y x x ==（）（0<x ≤10） x x x y 042)202(2120212222+-=--⨯=（10<x<20）（2）当x=4时，32422=⨯=y ；当x=14时，y=16814041422=⨯+⨯-=y .（3）当重叠部分的面积是正方形面积的41时， 4120222⨯=x ，25=x ；或412004222⨯=+-x x ，25102510-=+=x x 或（舍去）. ∴25=x 或2501+=x 时，重叠部分的面积是正方形面积的41. 【思路点拨】此题是运动型问题，需分类讨论，根据运动后重叠部分的不同情况列出其表达式.求出时间t 后，要检验是否符合题意.【答案】（1）212x y =（0<x ≤10）22240y x x =-+（10<x<20）（4）当x=4时，32=y ；当x=14时，y=168=y .（3）当移动了25s 或（2501+）s 时，重叠部分的面积是正方形面积的14.。

人教版九年级数学上册22.1.1二次函数教案

年级九年级拟授课学校科目数学拟授课班级主备人拟授课教师拟授课时间教学内容22.1.1二次函数教案课时1课时教学准备多媒体教学目标知识与技能能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

过程与方法通过实际问题的探究，认识二次函数，认识二次项、一次项、常数项。

情感态度价值观注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯教学重点能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围教学难点能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围板书设计一、知识回顾四、课堂练习二、函数类型五、课堂小结三、例题讲解六、布置作业教学过程设计教学过程设计意图个性思考栏一、基础回顾什么叫函数?在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。

这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。

对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。

x叫自变量， y叫因变量。

目前，我们已经学习了那几种类型的函数？二、函数的类型实际问题导入，体现新知识的产生源于生活实际的需要。

问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为x，表面积为y，则y 关于x 的关系式为.教学过程设计意图个性思考栏此式表示了正方体表面积y 与正方体棱长x 之间的关系，对于y 的每一个值，x 都有唯一的一个对应值，即y 是x 的函数。

问题２：n 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m 与球队数n 有什么关系？每个球队n 要与其他（n-1）个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次数1(1)2m n n =- 即：21122m n n =-此式表示了比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系，对于n 的每一个值，m 都有唯一的一个对应值，即m 是n 的函数。

问题3：多边形的对角线数d 与边数n 有什么关系？结合实例更利于学生理解和接受新知识的产生与应用，经理探究能更好地运用所学知识解答实际问式子①②③④有什么共同点?一般地，形如2y ax bx c =++(a,b,c 是常数，a ≠ 0)的函数叫做二次函数。

人教版九年级数学上册 22.1.1 二次函数教案

第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数教学目标【知识与技能】1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.【过程与方法】通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征.【情感态度】在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣.教学重点结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念.教学难点1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系；2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件.教学过程一、情境导入，初步认识问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x 之间的关系式可表示为，y是x的函数吗？问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个队要与其他个球队各比赛一场，整个比赛场次数应为，这里m是n的函数吗？问题3 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？二、思考探究，获取新知全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师全场巡视，发现问题可给予个别指导.在同学们基本完成情形下，教师再针对问题2，解释m=12n(n-1)而不是m=n(n-1)的原因；针对问题3，可引导同学们先算出第二年产量为20(1+x)t，第三年产量为20(1+x)(1+x)t，得到y=20（1+x)2.【教学说明】上述活动的目的在于引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式，体会二次函数是刻画实际生活中自变量与因变量的关系的重要模型之一.思考函数y=6x2，m=12n2-12n,y=20x2+40x+20有哪些共同点？【教学说明】在同学们相互交流、发言的过程中，教师应关注：（1）语言是否规范；（2）是否抓住共同点；（3）针对少数同学可能进一步探索出其不同点等问题应及时引导，让同学们在轻松快乐的环境中进入二次函数的学习.【归纳结论】上述三个函数都是用自变量的二次式表示的，从而引出二次函数定义.一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数，一次项系数和常数项.【教学说明】针对上述定义，教师应强调以下几个问题：（1）关于自变量x的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；（2）二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件，若a=0，则它是一次函数；（3）二次项和二次项系数不同，二次项指ax2,二次项系数则仅是指a的值；同样，一次项与一次项系数也不同.教师在学生理解的情况下，引导学生做课本P29练习.三、运用新知，深化理解1.下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是？若是二次函数，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y=(x+2)(x-2);(2)y=3x(2-x)+3x 2; (3)y=21x -2x+1; (4)y=1-3x 2.2.若y=(m+1)xm 2+1-2x+3是y 关于x 的二次函数，试确定m 的值或取值范围.3.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现：这种商品的销售量m(件）与每件商品的销售价x （元）满足一次函数关系m=162-2x ，试写出商场销售这种商品的日销售利润y （元）与每件商品的销售价x （元)之间的函数关系式，y 是x 的二次函数吗？4.如图，用同样规格的正方形白瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：（1）在第n 个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖（均用含n 的代数式表示）；（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与（1）中的n 的函数关系式（不要求写自变量n 的取值范围）.【教学说明】这个环节的教学自主性很强，可让同学们分小组完成，对优胜小组给予鼓励，培养学生团队精神，让部分学生分享成功的快乐，但对题2、3、4，教师应及时给予引导，鼓励学生大胆完成.【答案】1.解：（1）y=(x+2)(x-2)=x 2-4,该函数是二次函数，它的二次项系数为1，一次项系数是0，常数项是-4.（2）y=3x(2-x)+3x 2=6x,该函数不是二次函数.（3）该函数不是二次函数.（4）该函数是二次函数，它的二次项系数为-3，一次项系数为0，常数项为1.2.解：∵()21123m y m x x +=+-+是y 关于x 的二次函数.∴m+1≠0且m 2+1=2,∴m ≠-1且m 2=1，∴m=1.3.解：由题意分析可知，该商品每件的利润为（x-30）元，则依题意可得： y=(162-3x)(x-30)即y=-3x 2+252x-4860由此可知y 是x 的二次函数.4.解：（1）观察图示可知第1、2、3个图形中每一横行瓷砖分别为4，5，6，每一竖列瓷砖分别为3，4，5，由此推断在第n 个图中，每一横行共有（n+3）块瓷砖，每一竖行共有（n+2）块瓷砖；（2）y=(n+3)(n+2)即y=n 2+5n+6.四、师生互动，课堂小结1.二次函数的定义；2.熟记二次函数y=ax 2+bx+c 中a ≠0,a 、b 、c 为常数的条件.【教学说明】本环节设置的目的在于让学生进一步认识二次函数的相关定义，教师可与学生一起回顾.课后作业1.布置作业：教材习题22.1第1、2、7题；2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.教学反思通过建立函数体系回忆二次函数定义及其性质，每一个学生都有一定的知识体验和生活积累，每个学生都会有自己的思维方式和解决问题的策略，我们应该让学生成为学习的主人，自己充当数学学习的组织者，取得了意想不到的效果，学生不但能用一般式，顶点式解决问题，还能深层挖掘，巧妙地用两根式解决问题，我们也要尊重学生，相信学生，依学生的主题教学思想，运用助思，助学，助练的启发式教学方法，启动了师生交流的闸门，使教学过程真正成为师生间的双向活动，总之在实践中获得灵感，在交流中撞出智慧，在反思中调整思路，在坚持中取得进步。

人教版数学九年级上册22.1.1二次函数(教案)

-实际问题应用，如物体抛掷运动，指导学生构建二次函数模型求解最高点、落地时间等。
2.教学难点
-抽象理解二次函数的定义：学生对a、b、c与图像之间的关系的理解可能存在困难。
-图像与性质的综合应用：如何将图像性质与实际问题结合起来，分析解决问题。
-顶点式的转换与计算：从一般式转换为顶点式，以及运用顶点式求解过程中可能出现的运算错误。
在实践活动中，分组讨论和实验操作的部分，我发现学生们积极参与，乐于分享。但也有一些小组在讨论时稍显拘谨，可能是我给予他们的引导不够。在接下来的教学中，我会更加关注这一点，鼓励学生们大胆提出自己的想法，充分调动他们的积极性。
至于学生小组讨论环节，我觉得大家的表现还是不错的。但在分享成果时，有些小组的代表表达不够清晰，可能是因为他们对讨论主题的理解还不够深入。我想在以后的教学中，可以多设置一些类似的讨论活动，提高学生们的表达能力和逻辑思维。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
5.引导学生感悟数学与生活的密切联系，体会数学的应用价值，增强数学学习的兴趣和信心。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次函数的定义：明确二次函数的一般形式y=ax²+bx+c（a≠0），理解a、b、c的数学意义。
-二次函数图像与性质：掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标等核心概念。
-顶点式的应用：熟练运用顶点式y=a(x-h)²+k分析二次函数图像。