循环平稳过程

内部

循环平稳过程研究

报告

XXXX-XXXX-XXXX-XXXX

V1.0

天津市智能信号与图像处理重点实验室

2013年4月21日

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姓名签字日期电话张慧敏

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姓名签字日期电话刘海涛

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目录

1引言 (4)

1.1 编写目的 (4)

1.2 术语定义 (4)

1.3 参考资料 (4)

1.4 文档组织 (4)

2循环平稳过程理论 (5)

2.1 循环平稳过程定义 (5)

2.2 循环自相关函数 (7)

2.3 循环谱 (8)

2.4 例子 (11)

3总结 (13)

1 引言

1.1 编写目的

本报告详细给出了循环平稳过程的一些基本概念，循环自相关、循环谱的定义以及它们之间的关系。撰写本报告的目的是：了解和掌握循环平稳过程的基本理论和模型，为以后循环平稳信号处理方法的使用奠定基础。

1.2 术语定义

本文档使用以下关键术语和缩略语。

英文缩写英文全称中文名称

1.3 参考资料

[1] DR, WILLIAM, A, GARDNER. INTRODUCTION TO RANDOM PROCESS with

applications to signals and systems[M]. CALIFORNIA:R.R.Donnelley&sons Company, 1989.

323-415

1.4 文档组织

报告第二章给出了循环平稳过程的基本定义；第三章分析了循环自相关函数和循环谱基本理论，第四章介绍了谱相关的基本理论，形象直观的了解循环平稳特性。

2 循环平稳过程理论

在通信、遥测、雷达和声呐系统中，一些人工信号是一类特殊的非平稳信号，它们的非平稳特性表现为周期平稳。以雷达回波为例，若天线指向不变，则地杂波的回波等于照射区域所有散射体的子回波之和，虽然有随机起伏，但整体是平稳的。若天线随时间匀速转动，在一个扫描周期内，地杂波的回波则是非平稳的，但是每经过一个扫描周期后，天线指向原处，回波的非平稳表现为周期平稳。此时平稳过程模型将不再使用于这种信号，因此，这里引入了循环平稳过程模型。

2.1 循环平稳过程定义

一个随机过程()X t ，如果它的均值和自相关具有周期性（周期为T ），即满足：

()()X X m t T m t += （1） ()(),,X X R t T u T R t u ++= （2）

那么这个随机过程叫做广义的循环平稳过程。()X t 的自相关函数，即式子（2）可以写成另一种形式：

,,222

2X X R t T t T R t t τττ

τ⎛⎫⎛⎫++-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （3）

其中，,22X R t t τ

τ⎛

⎫

+

- ⎪⎝

⎭

是一个关于两个独立变量t 和τ的函数，且对于任何一个τ值，,2

2X R t t τ

τ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是关于t 周期为T 的函数。因此，对其傅里叶级数展开得到：

()2,2

2j t X X R t t R e α

παατττ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭∑ （4）

其中，傅里叶系数X R α可以表示为：

()

/22/21,22T j t X X T R R t t e dt T α

πατττ--⎛⎫+- ⎪⎝⎭

⎰ （5） 其中，α可以取1/T 的任意整数倍。

这种模型对于只有一种周期的情况是适用的。对于有多个周期的情况，上述模型必须一般化，即α可以取所有频率的任意整数倍。所以（5）式可以修改为：

()

/2

2/21lim

,2

2Z j t X X Z Z R R t t e dt Z απατ

ττ--→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎰ （6）

上述过程就叫做广义渐近循环平稳过程，同样,22X R t t τ

τ⎛

⎫

+- ⎪⎝

⎭

叫做渐近周期自相关函数。

把上述模型扩展到更一般化，如果一个非平稳过程()X t 存在一个周期性的频率α，使得（6）式中定义的傅里叶系数不等于0，那么该非平稳过程叫做呈循环平稳过程。

2.2 循环自相关函数

对于（6）中定义的傅里叶系数，如果取α为0，那么它就变成了时间平均自相关，即：

()()

0X X R R for αττα== （7）

带入时间平均的定义，可以得到：

()/2

/2

/2/21

1

lim ,lim ,22Z Z X X Z Z Z Z R t t dt R t t dt Z

Z

τ

ττ--→∞→∞⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭

⎰⎰ （8） 上式表明，()

,0X

R for ατα=，随着时间的平移是不变的。那就是说，如果

()()0Y t X t t +，那么

()()

0Y X R R for αα

ττα== （9）

然而，对于（6）中定义的傅里叶系数，如果取0α≠，则它是时变的，并且是循环变化的：

()()0

20j t Y X R R e for πααα

ττα=≠ （10）

其中，()X R ατ叫做循环自相关函数，α叫做循环频率参数。所有使得()0X R ατ≠的α

的值组成的集合叫做循环频率集。