八年级下数学第17章《勾股定理小结与复习》
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AC2 AD2 CD2 , BC2 BD2 CD2 ,
AC2 AD2 BC2 BD2 ,
202 25 x2 152 x2,即50x=450，解得x=9.∴BD=9.
转化思想 例2 有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如 图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1 上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最 短路径长(π取3). 解：如图,沿AA1剪开,过Q作QM⊥BB1于M,连接QP. 则PM=8-3-2=3(cm)， QM=A1B1=12×2×π×2=6(cm)， 在Rt△QMP中，由勾股定理得
AC= AB2 BC2 = 202 152 =25, ∵AD2+DC2=625=252=AC2， ∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°， ∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°， ∴∠DAB+∠BCD=180°， 即∠A+∠C=180°．
考点三 勾股定理与折叠问题
2.勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
考点一 勾股定理及其应用
例1 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，
BC=15. （1）求AB的长；（2）求BD的长．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AB AC2 BC2 202 152 25;
（2）方法一：∵S△ABC=
1AC•BC=
2
1 2
AB•CD，
∴20×15=25CD，∴CD=12．
∴在Rt△BCD中，BD BC2 CD2 152 122 9.
方法二：设BD=x,则AD=25-x.
PQ QM 2 PM 2 3 5cm.
答：蜘蛛爬行的最短路径长是3 5 cm．
方法总结
1.对于本题类似的模型，若已知两直角边求斜边上 的高常需结合面积的两种表示法起来考查，若是同 本题(2)中两直角三角形共一边的情况，还可利用 勾股定理列方程求解.
2.化折（曲）为直：长方体（柱体）中求两点之间 的最短距离，展开方法有多种，一般沿（母线）最长 棱展开，距离最短.
45°
∴BC=OC= 500 3米,
AB=AC BC (500 500 3)米.
B
（2）在Rt△BOC中，由勾股定理得
OB OC 2 OB2
2
2
500 3 500 3
500 6(米).
考点二 勾股定理的逆定理及其应用
例4 在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a b c，
的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇
到达哨所东南方向的B处.
（1）此时快艇航行了多少米(即AB 的长)？ 北
解AO：=1（0010）米根. 据∴题A意C=得50∠0米AO，CB=C3=0°OC，. ∠COB=45O°，60°
C
在Rt△AOC中，由勾股定理得
A东
OC 10002 5002 500 3(米).
2.勾股定理的应用条件
在直角三角形中才可以运用
3.勾股定理表达式的常见变形： a2＝c2－b2, b2＝c2－a2，
c a2 b2 , a c2 b2 ,b c2 a2
二、勾股定理的逆定理
A
1.勾股定理的逆定理
c b
如果三角形的三边长a，b，c满足
Ca B
a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形.
2c-b=12，求△ABC的面积．
345
解：由题意可设a=3k，则b=4k，c=5k，
∵2c-b=12，
∴10k-4k8，c=10，
∵62+82=102，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的面积为
1 2
×6×8=24．
针对训练
6.下列各组数中，是勾股数的为（ C ） A．1，2，3 B．4，5，6
C．3，4，5
D．7，8，9
7.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形 的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有 ___(_2_)(_4_)_．
8.如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm， CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C 关系并加以证明．
解：猜想∠A+∠C=180°． 连接AC. ∵∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得
第十七章 勾股定理
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
课堂小结
勾股定理
互逆定理
勾股定理 的逆定理
直角三角形边 长的数量关系
直角三角 形的判定
要点梳理
一、勾股定理
1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边
为c，那么 a2 + b2 = c2
A c
b
Ca B 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
针对训练
1.Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为
（A ）
A.8
B.4
C.6
D.无法计算
2.如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12， 则AD的长为__1_3___．
3.一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边 长的正方形的面积为___1_3_或__5____.
解：如图，设水池的水深AC为x尺，
则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺， D
在直角三角形ABC中，BC=5尺
CB
由勾股定理得BC2+AC2=AB2,
即 52+ x2= (x+1)2
25+ x2= x2+2x+1，
A
2x=24，
∴ x=12， x+1=13.
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
5.在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米
4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a +b=14cm， c=10cm，求△ABC的面积.
解：∵a+b=14， ∴(a+b)2=196. 又∵a2+b2=c2=100， ∴2ab=196-(a2+b2)=96， ∴ 1 ab=24．
2
例3 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有 趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是 一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生 的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸 边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的 深度和这根芦苇的长度各是多少？
AC2 AD2 BC2 BD2 ,
202 25 x2 152 x2,即50x=450，解得x=9.∴BD=9.
转化思想 例2 有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如 图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1 上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最 短路径长(π取3). 解：如图,沿AA1剪开,过Q作QM⊥BB1于M,连接QP. 则PM=8-3-2=3(cm)， QM=A1B1=12×2×π×2=6(cm)， 在Rt△QMP中，由勾股定理得
AC= AB2 BC2 = 202 152 =25, ∵AD2+DC2=625=252=AC2， ∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°， ∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°， ∴∠DAB+∠BCD=180°， 即∠A+∠C=180°．
考点三 勾股定理与折叠问题
2.勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
考点一 勾股定理及其应用
例1 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，
BC=15. （1）求AB的长；（2）求BD的长．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AB AC2 BC2 202 152 25;
（2）方法一：∵S△ABC=
1AC•BC=
2
1 2
AB•CD，
∴20×15=25CD，∴CD=12．
∴在Rt△BCD中，BD BC2 CD2 152 122 9.
方法二：设BD=x,则AD=25-x.
PQ QM 2 PM 2 3 5cm.
答：蜘蛛爬行的最短路径长是3 5 cm．
方法总结
1.对于本题类似的模型，若已知两直角边求斜边上 的高常需结合面积的两种表示法起来考查，若是同 本题(2)中两直角三角形共一边的情况，还可利用 勾股定理列方程求解.
2.化折（曲）为直：长方体（柱体）中求两点之间 的最短距离，展开方法有多种，一般沿（母线）最长 棱展开，距离最短.
45°
∴BC=OC= 500 3米,
AB=AC BC (500 500 3)米.
B
（2）在Rt△BOC中，由勾股定理得
OB OC 2 OB2
2
2
500 3 500 3
500 6(米).
考点二 勾股定理的逆定理及其应用
例4 在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a b c，
的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇
到达哨所东南方向的B处.
（1）此时快艇航行了多少米(即AB 的长)？ 北
解AO：=1（0010）米根. 据∴题A意C=得50∠0米AO，CB=C3=0°OC，. ∠COB=45O°，60°
C
在Rt△AOC中，由勾股定理得
A东
OC 10002 5002 500 3(米).
2.勾股定理的应用条件
在直角三角形中才可以运用
3.勾股定理表达式的常见变形： a2＝c2－b2, b2＝c2－a2，
c a2 b2 , a c2 b2 ,b c2 a2
二、勾股定理的逆定理
A
1.勾股定理的逆定理
c b
如果三角形的三边长a，b，c满足
Ca B
a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形.
2c-b=12，求△ABC的面积．
345
解：由题意可设a=3k，则b=4k，c=5k，
∵2c-b=12，
∴10k-4k8，c=10，
∵62+82=102，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的面积为
1 2
×6×8=24．
针对训练
6.下列各组数中，是勾股数的为（ C ） A．1，2，3 B．4，5，6
C．3，4，5
D．7，8，9
7.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形 的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有 ___(_2_)(_4_)_．
8.如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm， CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C 关系并加以证明．
解：猜想∠A+∠C=180°． 连接AC. ∵∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得
第十七章 勾股定理
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
课堂小结
勾股定理
互逆定理
勾股定理 的逆定理
直角三角形边 长的数量关系
直角三角 形的判定
要点梳理
一、勾股定理
1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边
为c，那么 a2 + b2 = c2
A c
b
Ca B 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
针对训练
1.Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为
（A ）
A.8
B.4
C.6
D.无法计算
2.如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12， 则AD的长为__1_3___．
3.一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边 长的正方形的面积为___1_3_或__5____.
解：如图，设水池的水深AC为x尺，
则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺， D
在直角三角形ABC中，BC=5尺
CB
由勾股定理得BC2+AC2=AB2,
即 52+ x2= (x+1)2
25+ x2= x2+2x+1，
A
2x=24，
∴ x=12， x+1=13.
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
5.在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米
4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a +b=14cm， c=10cm，求△ABC的面积.
解：∵a+b=14， ∴(a+b)2=196. 又∵a2+b2=c2=100， ∴2ab=196-(a2+b2)=96， ∴ 1 ab=24．
2
例3 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有 趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是 一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生 的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸 边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的 深度和这根芦苇的长度各是多少？