福利-线代模拟答案版

线性代数期末模拟试题

一、填空题 1.(),________________.A m n B n m m n AB ??>=设是阶矩阵，是阶矩阵则 答案：0

因为R(AB) ≤min(R(A),R(B))≤R(A)≤min(m,n)=n,

且AB 为m*m 阶方阵，所以AB 非满秩矩阵→|AB|=0

2．设A,B,C,D 均为n 阶方阵，且ABCD =E ，则(BC )T (DA )T = 。 答案：E

ABCD=E 且ABCD 都为n 阶满秩矩阵→所以BC 和DA 也是满秩矩阵

→两个满秩矩阵的乘积是E →可交换，BCDA=E →C ’B ’和A ’D ’也为满秩矩阵 →所以(BC)’(DA)’=E

3．设A 为4阶方阵，21,ξξ是齐次线性方程组Ax =0的基础解系，则A *= 。 答案：零矩阵

R(A)=n-2=2→A 的所有n-1阶子式为0即A*的所有元素都为0→A*为零矩阵

4．设A 为n 阶方阵，且A 2-5A +6E =0，则A 的特征值只能是 。 答案：2和3

设λ→则λ^2-5λ+6是A 2-5A +6E 的特征值→由于零矩阵的特征值只能是0→所以λ^2-5λ+6=0→解得2和3.

5．设3阶实对称矩阵????? ??=200001010A ，????

? ??-=200020002B ，则存在可逆矩阵

P = ，使得P T AP =B 。

答案：自己算

二、选择题

1．设m ααα,,,21 是m 个n 维向量，则命题“m ααα,,,21 线性无关”与命题( A )不等价。

12112112112.,,,0

.0,0

.,,

,0

.,,,.

m

m i i i m i i m i m i i i m A k k k k B k k k k C k k k k D αααααα===???====

===∑∑∑m 对任意一组不全为零的数必有若则必有不存在不全为零的数使得中没有零向量 解：根据定义：只有A 错

2．设矩阵A 与B 相似，则必有（ A ）。解：性质

A ．A ,

B 同时可逆或不可逆 B ．A ,B 有相同的特征向量

C ．A ,B 均与同一个对角阵相似

D ．矩阵A

E -λ与B E -λ相等

3．设A 为n ?m 矩阵，r (A )= n ，则（ A ）。

A ．AA T 的行列式值不为零

B ．AA T 必与单位阵相似 不一定

C ．A T A 的行列式值不为零 有两种情况

D ．A T A 必与单位阵相似 不一定 解：A 为n*m →AA ’为n*n 阶→R(AA ’)=n →满秩，所以不为0

4．设A 为m ?n 矩阵，r (A )= m ，且方程组Ax =0只有零解，则（A ）。

A ．方程组Ax =b (?b ∈R n )有唯一解

B ．m ≠ n

C ．A 的列向量组线性相关

D ．A 的行向量组线性相关

解：定义&性质

5．设矩阵????

? ??=200021012A ，则在下列矩阵中，与A 合同的的矩阵是（自己算）。

A ????? ??--=1000100011

B B ????? ??-=100010

00

12B C ．????? ??=1000100013B D.????? ??--=1000100014B

三、计算题

1．设矩阵????

? ??-=100010011A ，且满足方程A *BA =2BA -9E ,其中A *为A 的伴随矩阵，

试求矩阵B 。

解：自己算

()()()()2231231232.111,111,0,12,,,,T T T T k k k k k αααββαααβααα-=-=-=１已知＝　问当为何值时可由线性表示，并写出表达式，

当为何值时不能由线性表示。

解：自己算

3．已知A 为3阶实对称矩阵，二次型f =x T Ax 经正交变换x =Qy 得标准型

2322214y y y -+，其中),,(321ααα=Q

，且)3111T α=试求所作的正交变换。 解：自己算

四、证明题

1212121.,,

,,,,,,n n n n n εεεαααααα设维单位向量组可由维向量组线性表示，　证明线性无关。

证明：因为E 可由A 线性表示，且A 也可由E 线性表示

所以它们等价

因为E 线性无关→A 也线性无关

1211221212122.,,

,,,,,,,,,,,n n n n αααβαααβααααααλββλ+设线性无关，可由线性表示，不能由线性表示，

证明线性无关.(为常数）

证明：设k1a1+……+n (λB 1+B2)=0

若n ≠0，则B2= -(∑kiai)/n-λB1

因为B1可由……线性表示，B2不可以

所以如果n ≠0，则与题意矛盾

所以n=0→所以∑kiai=0→又a1……an 线性无关→k1=k2=……kn=0 原题得证