第一讲数值计算及作图(分布函数)

(2)
泊松分布
( )

k
定义: 若离散型随机变量X 的分布律为
P( X k )
k!
e
k =0，1，2， 其中常数 > 0， 则称 X 服从参数
为的泊松分布, 记为X()。
应用场合
在一定时间间隔内：电话总机接到的电话次数；
一匹布上的疵点个数； 大卖场的顾客数； 市级医院急诊病人数； 一个容器中的细菌数； 等等
定义 设 X 为随机变量, 对每个实数 x ,
F ( x) P( X x)
则称F(x)为X 的分布函数。
分布函数的性质
F ( x ) 单调不减，即
x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 )
x
0 F ( x) 1 且 lim F ( x ) 1, lim F ( x ) 0
2、当( n + 1)p 整数时，在 k = [( n + 1)p ]
处的概率取得最大值
例3：Y ~ B( 20,0.2) 求Y分布率的值，并划出图形
在Matlab中输入以下命令： binopdf(10,20,0.2) x=0:1:20; y=binopdf(x,20,0.2) plot(x,y,’r.’) 结果： ans = 0.0020 y =0.0115 0.0576 0.1369 0.2054 0.2182 0.1746 0.1091 0.0545 0.0222 0.0074 0.0020 0.0005 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
则称E为古典概型试验，简称古典概型。
2．事件概率的计算公式 设随机实验E的样本空间S含有n个样本点， 事件A包含k个样本点，定义 P(A) = k/n 3、排列组合 ①阶乘 n! 的计算函数 例1、求 factorial(n)
7!
5040
factorial(7)
n! ②排列 A n ( n 1)( n k 1) ( n k )!
描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即
P ( X xk ) pk , k 1,2,
概率分布的性质
pk 0, k 1,2,
p
k 1

k
1
离散型随机变量的分布函数
F ( x) P( X x)
xk x
P( X x
k
)
xk x
p
k
pk P ( X xk ) F ( xk ) F ( xk 1 )
F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值 xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间 断点处有跃度 pk
3、连续型随机变量
定义 设 X 是一随机变量，F(x)是它的分布函数若 存在一个非负可积函数 f ( x ), 使得
d c
1 d c dx ba ba
即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间 的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正 比. 这正是几何概型的情形.
密度函数：f=unifpdf(x,a,b) 分布函数：f=unifcdf(x,a,b)
例8: 画出均匀分布U(2,5)的概率密度函数和分布函 数的图形. 在Matlab中输入以下命令： x=0:0.01:7; y=unifpdf(x,2,5); z=unifcdf(x,2,5); plot(x,y,x,z)
可用泊松分布进行近似计算，此时
5000 0.001 5
5 5 5 5 (1) 1 e e 0.9596 0! 1!
0 1
精确值：命令： （1）=1-bionpdf(0,5000,0.001)-bionpdf(1,5000,0.001) =0.95963968904183 近似值：命令： （1）=1-poisspdf(0,5)-poisspdf(1,5) = 0.95957231800549
k n
编辑pailie.m文件 function y=pailie(n,k) y=factorial(n)/factorial(n-k) r An n! r ③组合 C n r! ( n r )! r! 编辑zuhe.m文件 function y=zuhe(n,r) y=pailie(n,r)/factorial(r)
k
k!
e

例6 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，
他独立射击了5000次，试求他至少命中两次的概 率。 解：设命中次数为X，则
X ~ B(5000,0.001)
P ( X 2) 1 P ( X 0) P ( X 1)
0 1 1 C 5000 0.0010 0.9995000 C 5000 0.00110.9994999
随机变量X在1到N上的N各自然数之间等可能取值 在Matlab中输入以下命令： x=1:1:10; y=unidpdf(x,10) 结果：y = 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 在Matlab中输入以下命令： x=0:1:10; y=unidcdf(x,10) 结果：y = 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000
0.2 0.15 0.1 0.05
5
10
15
20
Y 例4 ： ~ B( 20,0.2) 求Y分布函数的值画出函数图像
在Matlab中输入以下命令： binocdf(10,20,0.2) x=0:1:20; y=binocdf(x,20,0.2) ezplot('binocdf(t,20,0.3)',[0,20]) 结果： ans = 0.9994 y = 0.0115 0.0692 0.2061 0.4114 0.6296 0.8042 0.9133 0.9679 0.9900 0.9974 0.9994 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
(2) 指数分布 若 X 的密度函数为
1 x / e , x0 f ( x ) 0, 其他
则称 X 服从 参数为的指数分布
> 0 为常数
记作
X ~ E ( )
应用场合 用指数分布描述的实例有：
(4)二项分布与泊松分布的关系 设有一列二项分布Xn～B(n , pn)，n=1, 2 , ..., 如果
lim npn
n
是与n无关的正常数，则对任意固定的非负整数
k，均有
lim PX
n
n
k lim C p (1 pn )
n k n k n
n k

x
F ( x ) 右连续，即
F ( x 0) lim F (t ) F ( x)
t x 0
P (a X b) F (b) F (a )
2、离散型随机变量及其概率分布
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量
函数名 binocdf chi2cdf expcdf fcdf gamcdf geocdf hygecdf normcdf poisscdf
对应分布的分布函数 二项分布的分布函数 卡方分布的分布函数 指数分布的分布函数 f分布的分布函数 伽玛分布的分布函数 几何分布的分布函数 超几何分布的分布函数 正态分布的分布函数 泊松分布的分布函数
命Байду номын сангаас：
分布率： poisspdf(k,λ)
分布函数：poisscdf(k, λ)
例5、假设电话交换台每小时接到的呼叫次数X服从 参数=3的泊松分布，求
(1) 每小时恰有4次呼叫的概率 (2) 一小时内呼叫不超过5次的概率 （3）画出分布律图像
解：
(1)
P ( X 4)
5
4
4!
e
tcdf unidcdf unifcdf
学生氏t分布的分布函数 离散均匀分布的分布函数 连续均匀分布的分布函数
常见的离散型随机变量的分布
(1) 二项分布
B(n, p)
背景：n 重伯努力试验中，每次试验感兴趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 —X 是一离散型随机变量
若P ( A ) = p , 则
常见的连续性随机变量的分布
(1) 均匀分布
若 X 的密度函数为 f (x)，则称 X 服从区间
( a , b)上的均匀分布 其中 记作 X ~ U (a, b)
1 , a xb f ( x ) b a 0, 其他
(c, d ) (a, b)
P (c X d )
例2、一盒中有10只产品，其中有7只正品，3 只次品。任取3只，求恰好有1只次品的概率。 解： 设事件A=“任取3只，恰有1只次品”
程序如下：
C C P ( A) 3 C10
2 7
1 3
p=zuhe(7,2)*zuhe(3,1)/zuhe(10,3)
p=0.5250
二、随机变量与概率分布 1、随机变量的分布函数 (cdf:Cumulative Distribution Function)
P (a X b) P (a X b)
P (a X b)
f ( x)
0.08 0.06 0.04 0.02
P (a X b)
f ( x )d x
a
b
-10
a
-5
5
b
x
4、常见分布的计算
函数名 binopdf chi2pdf exppdf fpdf gampdf geopdf hygepdf normpdf poisspdf tpdf unidpdf unifpdf 对应分布的概率密度函数 二项分布的概率密度函数 卡方分布的概率密度函数 指数分布的概率密度函数 f分布的概率密度函数 伽玛分布的概率密度函数 几何分布的概率密度函数 超几何分布的概率密度函数 正态分布的概率密度函数 泊松分布的概率密度函数 学生氏t分布的概率密度函数 离散均匀分布的概率密度函数 连续均匀分布的概率密度函数
34 3 e 4!
5
3k 3 ( 2) P ( X 5) P ( X k ) e k 0 k 0 k! 在Matlab中输入以下命令： (1)P1= poisspdf(4,3) (2)p2= poisscdf(5,3) (3)x=0:1:20;y=poisspdf(x,3);plot(x,y)
F ( x)
x

f (t ) d t
x
则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的概率密度 函数( p.d.f. )，简称为密度函数或概率密度
p.d.f. f ( x )的性质 1、 f ( x ) 0
2、



f ( x ) d x F () 1
k Pn ( k ) P ( X k ) C n p k (1 p)n k , k 0,1,, n
称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作
X ~ B( n, p)
二项分布的最有可能取值 1、当( n + 1)p = 整数时，在 k = [( n + 1)p ]与 [( n + 1)p ] – 1 处的概率取得最大值
例7：X~B(200,0.02)，Y 服从参数为4的泊松分布， 划出分布率图像 x=0:20; y1=binopdf(x,200,0.02); y2=poisspdf(x,4); plot(x,y1,’r.’,x,y2,’b.’)
（5） 离散均匀分布的分布函数和累积函数的值 命令：unidpdf(X,N) unidcdf(X,N)
概率论与数理统计实验
数值计算及作图
实验目的
学习计算机概率计算的基本过程与方法
实验内容
1、计算古典概型、分布率、概率密度函 数、分布函数和逆累计分布函数的命令。
2、计算实例。
3、实验作业。
一. 古典概率
1．古典概型 若随机实验E满足：
① 样本空间S 只含有有限个元素 S={ω1,…, ωn}
② 试验中，每个基本事件发生是等可能的.