统计计算课件7

正态分布，这点可由概率论的极限定理证明。
概述
另一方面，正态分布具有许多良好 的性质，许多分布可用正态分布来近似，
另外一些分布又可以通过正态分布来导
出，因此在理论研究中，正态分布十分
重要 。
概述
由于正态分布在概率计算中的重要 性，利用计算机进行有关正态分布的计 算问题时，经常涉及到其分布函数或分 位数的计算。最好的办法是利用分布函
2 2

2 3 22 5 2k [x x x x 2 k 1 3 35 (2k 1)!!
ex e
x2
2k x 2 k 1 (2k 1)!! k 0
k

(2k 1)!! 1 [1 (1) ] 2 k (2 x ) x k 1
以上近似值，当n 28时，精度可达10 12。
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式计算
误差函数erf ( x )的定义： 称函数erf ( x ) 2


x
0
e dt( x 0)
t 2
为误差函数；erfc ( x) 1 erf ( x ) 2



x
e dt为余误差函数。
位数有以下关系：
u , u p 0, u ,
当0 p 0.5, p 当 p 0 .5 当0.5 p 1, 1 p
以下仅给出0 0.5时，u的近似计算公式。
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u p的近似计算公式 ①Hastings有理近似式（ 1955 年）
正态分布的分布函数 和分位数的计算
太原理工大学数学系 赵丽华
概述
正态分布是概率论中最重要的分布。一
方面，正态分布是自然界中最常见的一种分
布，例如测量的误差、炮弹弹落点的分布、 人的身高体重、农作物的收获量、工厂产品 的尺寸等都近似服从正态分布；一般来说， 若影响某一数量指标的随机因素很多，而每
个因素所起的作用不太大，则这个指标服从
标准正态分布分位数的计算
(2)用二阶展开的迭代求根法 (3)利用分位数展开式的算法 以上两种方法并不常用，如果 想得到精度非常高的分位数值 才使用；如有兴趣，请查阅相 关文献。
n
标准正态分布分布函数的计算
因为( x）是对称函数，只需给出 x 0时，( x）的计算方法；当 x 0时，( x） 1 ( x）计算。 ( x）有三种计算方法。
n
一、连分式逼近法
( x）的两个连分式展开式为： 1 ( x) x x 2 2 x 2 k x2 ( x) 2 1 3 5 ( 1) k (2k 1) ( 1) k 1 ( x) x 1 2 k ( x) 1 x xx x 1 其中： ( x) e 2
t 2
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式计算
( x)与误差函数erf ( x)有以下关系： （ 0.5 1 erf ( ( x) 0.5 1 erf ( （ x )， x 0 2 x )， x 0 2
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ算
利用分部积分法可得出误差函数erf ( x)的幂级数展开式： erf ( x) 2 2 ex
x2 2
。
n
一、连分式逼近法
截有限节连分式作为( x）的近似值： 1 ( x) x x 2 2 x 2 nx2 2 1 3 5 (2n 1) ( x) 1 ( x) x 1 2 n x xx x (0 x 3) ( x 3)
数或分位数的计算公式进行计算。
n
正态分布分布函数和分位数计算
设X ~ N ( , 2 ), 则X的分布函数为： F ( x) ( x ); ( x）是标准正态分

布分布函数。 X的p分位数为：x p u p , u p是 标准正态分布的p分位数。 故仅讨论 标准正态分布分布函数 ( x）和分位数u p的计算方法。
1 3 u y ci y i d i y i 1 , y 2 ln 2 i 0 i 1 其中c0 2.515517 , d1 1.432788 , 2
c1 0.802853 , d 2 0.189269 , c2 0.010328 , d 3 0.001308 . 以上公式的最大绝对误差是4.4 10 。
10 12
b2 0.8364353589 10 3 , b3 0.2250947176 10 3 ,
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u p的近似计算公式 ②Toda近似公式（ 1967 年） b4 0.6841218299 10 5 , b5 0.5824238515 10 5 , b6 0.1045274970 10 5 , b7 0.8360937017 10 7 , b8 0.3231081277 10 8 , b9 0.3657763036 10 10 , b8 0.6936233982 10 12. 以上公式的最大绝对误差是1.2 10 8。
4
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u p的近似计算公式 ②Toda近似公式（ 1967 年） i u y bi y , y ln 4 (1 ) i 0 其中b0 0.1570796288 10, b1 0.3706987906 10 1 ,
7
n
三、利用误差函数的 近似公式计算
4 x i 4 erf ( ) 1 (1 bi x ) ( 2) 2 i 1 其中b1 0.196854 , b2 0.115194 ,
b3 0.000344 , b4 0.019527 , 以上近似公式的最大绝对误差是2.5 10 。 (1)与(2)是最简单且实用的近似公式， 在精度要求不高时使用起来比较方便。
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u p的近似计算公式 ③山内的近似公式（ 1965 年） u

5.7262204 y 2.0611786 y 11 .640595 y ln(4 (1 ))
4

以上公式的相对误差小于4.9 10 。
n
4
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u p的近似计算公式 ( 2)用二阶展开的迭代求根法 (3)利用分位数展开式的算法
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u p的近似计算公式 由分位数的定义，p 满足： (u p ) p. u
令u u1 , u 称为上侧分位数。对给定 的 (0,0.5), u 0, 且p分位数与上侧分
n
三、利用误差函数的 近似公式计算
导出误差函数的近似计算公式的方法很多， 下面介绍两个常用的计算公式： erf ( x) 1 (1 ai x )
i 1 6 i 16
(1)
其中a1 0.0705230784 , a2 0.0422820123 ， a3 0.0092705272 ，a4 0.0001520143 ， a5 0.0002765672 ，a6 0.0000430638 以上近似公式的最大绝对误差是1.3 10 。
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式计算
取以上展开式的前n项，得： (2k 1)!! erf ( x) 1 [1 (1) ] 2 k (2 x ) x k 1 e
n k x2
由以上近似值可计算erf ( x)的值。再 由 ( x)与erf ( x)的关系，计算 ( x)的 近似值。