江苏省南通市2020-2021学年度高三年级第一学期期初调研数学试题

附公式及表
K2
(a
n(ad bc)2 b)(c d )(a c)(b
d)
，其中 n
a
b
c
d
.
P(K 2 k0 ) 0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
4
19．(12 分)已知椭圆 C 的中心在原点，其焦点与双曲线 2x2 2 y2 1 的焦点重合，点 P(0, 3)
PB ，其中 A 、 B 为切点，
(1)证明:直线 AB 过定点，并求出定点的坐标;
(2)若直线
AB
交椭圆 C2
:
x2 4
y2 3
1 于 C 、D 两点，S1, S2 分别是 △PAB,△PCD
的面积,求
S1 S2
的最小值.
6
5
21．(12 分)已知 f (x) a(x ln x) x2 ，. (1)讨论 f (x) 的单调性; (2)当 a 1时，证明 f (x) f '(x) 3 对于任意的 x [1, 2] 成立，
2
22．(12 分)已知点 P 是抛物线 C1 : y2 4x 的准线上任意一点，过点 P 作抛物线的两条切线 PA 、
在椭圆
C
上，动直线
l
:
y
kx
m
交椭圆于不同两点
A,
B
，且
OA
OB
0
( O 为坐标原点).
()求椭圆的方程; (2)讨论 7m2 12k 2 是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
20．(12 分)已知函数 f (x) x2 bx c ，且 f (x) 0 的解集为 [1, 2] . (1)求函数 f (x) 的解析式； (2)解关于 x 的不等式 mf (x) 2(x m 1), (m 0) ； (3)设 g(x) 2 f (x)3x1 ，若对于任意的 x1, x2 [2,1] 都有 | g(x1) g(x2 ) | M ，求 M 的最小值
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(10 分)已知函数 f (x) 2 3 sin x cos x 2sin 2 x 1 .
(1)求函数 f (x) 的单调递增区间；
(2)在 △ABC
中，内角
A, B,C
所对的边分别为
a,b, c
，若
f
( A)
9．下列说法正确的是(
).
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后，方差也变为原来的 a 倍
B．设有一个回归方程 y 3 5x ，变量 x 增加 1 个单位时， y 平均减少 5 个单位
C．线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N (1, 2 )( 0) ，则 P( 1) 0.5
10．已知抛物线 C : y2 2 px 过点 P(1,1) ，则下列结论正确的是(
).
A．点
P
到抛物线焦点的距离为
3 2
B．过点 P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点 Q ，则 △OPQ 的面积为 5 32
C．过点 P 与抛物线相切的直线方程为 x 2y 1 0
D．过点 P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点 M , N ，则直线 MN 的斜率为定值
对线上教育不满意.
满意
不满意
总计
男生
女生
合计
120
(1)完成 2x2 列联表，并回答能否有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；
(2)从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取 8 名学生，再在 8 名学生
中抽取 3 名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为 .求出 的分布列及期望值
11．在 △ABC
中，已知
b cosC
c cos B
2b
，且
1 tan
A
1 tan B
1 sin C
，则(
).
A． a,b, c 成等比数列
B． sin A : sin B : sin C 2 :1: 2
C．若 a 4 ，则 S△ABC 7
D． A, B,C 成等差数列
12．已知函数 f (x) x ln x ，若 0 x1 x2 ，则下列选项正确的是(
C．90
D．120
5 ． 函 数 f (x) 2sin(x ), ( 0,| | ) 的 部 分 图 像 如 图 所 示 ， 且 f (x) 的 图 像 过
A
2
,1 ,
B
,
1
两点，为了得到
g(x)
2sin x
的图像，只需将
f
(x)
的图像(
).
A．向右平移
5 6
B．向左平移
5 6
C．向左平移
的取值范围是__________.
16．椭圆与双曲线有相同的焦点 F1(c, 0), F2 (c, 0) ，椭圆的一个短轴端点为 B ，直线 F1B 与双
曲线的一条渐近线平行.若椭圆与双曲线的离心率分别为 e1, e2 ，则 e1e2 __________；且
3e12 e22 的最小值为__________.
).
A．[4, )
B． (1, 4]
C． [1, 4)
D． (1, 4)
2．已知 a log5 2,b log7 2,c 0.5a2 ，则 a,b, c 的大小关系为(
).
A． b a c
B． a b c
C． c b a
D． c a b
3．若
cos
3 , sin 5
4
5 ,, 13
6 中女生占一半.现在从该班任选一名同学参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条件下，
选上的是三好学生的概率为__________.
14．曲线 y ln x x 1 的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为__________.
15．已知
P
是边长为
2
的正六边形
ABCDEF
内的一点，则
AP
AB
5 12
D．向右平移
5 12
6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、
兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这
一卦的三根线中恰有 2 根阳线和 1 根阴线的概率为( ).
A． 1 8
B． 1 4
C． 3 8
D． 1 2
1
7．设
F1, F2
分别为双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的左、右焦点，过
F1
的直线
lห้องสมุดไป่ตู้
与
O : x2 y2 a2 相切，l 与 C 的渐近线在第一象限内的交点是 P ，若 PF2 x 轴，则双曲线的
离心率等于( ).
A． 3
B．2
C． 2 2
D．4
8．对于函数 y f (x) ，若存在区间 [a,b] ，当 x [a,b] 时的值域为 [ka, kb](k 0) ，则称 y f (x)
2, C
,c
4
2
，求 △ABC
的
面积.
3
18．(12 分)2020 年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为
了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取 120 名学生对线上教育进行调查，其
中男生与女生的人数之比为 11:13，其中男生 30 人对于线上教育满意，女生中有 15 名表示
2020-2021 学年度高三年级第一学期期初调研
数学
2020.9.2
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．记全集U ，集合 A x | x2 16 ，集合 B x | 2x 2 ，则 ðU A B (
为 k 倍值函数.若 f (x) ex 2x 是 k 倍值函数，则实数 k 的取值范围是(
).
A． e 1,
B． e 2,
C．
e
1 e
,
D．
e
2 e
,
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每个小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
).
A．
f (x1) f (x2 ) x1 x2
0
B． x1 f (x1 ) x2 f (x2 )
2
C． x2 f (x1) x1 f (x2 )
D．当
x2
x1
1 e
时，
x1
f
( x1 )
x2
f
(x2 )
x2
f
( x1 )
x1
f
(x2 )
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．高二某班共有 60 名学生，其中女生有 20 名，三好学生占全班人数的 1 ，而且三好学生
0,
2
，则
cos
4
(
).
A． 33 65
B． 33 65
C． 56 65
D． 16 65
4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配 2~3 艘驱逐舰，1~2 艘核潜艇.
船厂现有 5 艘驱逐舰和 3 艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为( ).
A．30
B．60