§3.2-多元线性回归模型的参数估计

矩方法是工具变量方法(Instrumental Variables,IV) 和广义矩估计方法(Generalized Moment Method, GMM)的基础
• 在矩方法中关键是利用了
E(X’)=0
• 如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1 个工具变量，仍然可以构成一组矩条件。这就是 IV。 • 如果存在＞k+1个变量与随机项不相关，可以构 成一组包含＞k+1方程的矩条件。这就是GMM。
解该（ k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到 (k+1)个待估参数的估计值 j , j 0,1,2, , k 。
正规方程组的矩阵形式
n X 1i X ki
X X

1i 2 1i

X X X
ki
X
ki
X 1i
ˆ 1 0 ˆ X 11 1i ki 1 2 ˆ X ki k X k 1
ˆ 1 ˆ ˆ β 2 ˆ k
在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为
ˆ (xx) 1 xY β
ˆ Y ˆ X ˆ X 0 1 1 k k
⃟随机误差项的方差的无偏估计
可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为
如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ˆ Y i 0 1 1i 2 2i ki Ki
i=1,2…n
根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解
Q0 ˆ 0 Q0 ˆ 1 ˆ Q0 2 Q0 ˆ k
n
e
即为变量Y的似然函数
对数或然函数为
L* Ln( L ) nLn( 2 ) 1 2
2
ˆ ) ( Y Xβ ˆ) ( Y Xβ
对对数或然函数求极大值，也就是对
ˆ ) ( Y Xβ ˆ) ( Y Xβ
求极小值。
因此，参数的最大或然估计为
ˆ ( X X ) 1 X Y β
ˆ ) ( Y Xβ ˆ)0 ( Y Xβ ˆ β
ˆ XY Y Xβ ˆ β ˆ XXβ ˆ)0 (Y Y β ˆ β
ˆ β ˆ XXβ ˆ) 0 (Y Y 2Y Xβ ˆ β
ˆ 0 X Y X Xβ
得到： 于是：
共计
2420
21450 21285
15510
例3.2.1：家庭收入-消费支出 ，
1 ( X ' X) X 1 1 X2 1 X1 1 1 X 2 n X Xn i 1 X n
X X
⃟正规方程组 的另一种写法
对于正规方程组
ˆ XY XXβ
ˆ X e X Xβ ˆ X Xβ
于是
X e 0
或
e
i
(*) (**)
i
0
ji i
X
e 0
(*)或（**）是多元线性回归模型正规方程组的另一 种写法
⃟样本回归函数的离差形式
ˆ x ˆ x ˆ x e yi 1 1i 2 2i k ki i
2、无偏性
ˆ ) E (( X X ) 1 X Y ) E (β E (( X X ) 1 X ( Xβ μ )) β ( X X ) 1 E ( X μ ) β
这里利用了假设: E(X’)=0
3、有效性（最小方差性）
其中利用了
ˆ ( X X ) 1 X Y β
ˆ XY XXβ
ˆ ( X X ) 1 X Y β
表 2.1.1 某社区家庭每月收入与消费支出统计表 每月家庭可支配收入 X（元） 800 每 月 家 庭 消 费 支 出 Y （元） 561 594 627 638 1100 638 748 814 847 935 968 1400 869 913 924 979 1012 1045 1078 1122 1155 1188 1210 1700 1023 1100 1144 1155 1210 1243 1254 1298 1331 1364 1408 1430 1485 2000 1254 1309 1364 1397 1408 1474 1496 1496 1562 1573 1606 1650 1716 2300 2600 2900 1969 1991 2046 2068 2101 2189 2233 2244 2299 2310 3200 2090 2134 2178 2266 2354 2486 2552 2585 2640 3500 2299 2321 2530 2629 2860 2871 1408 1650 1452 1738 1551 1749 1595 1804 1650 1848 1672 1881 1683 1925 1716 1969 1749 2013 1771 2035 1804 2101 1870 2112 1947 2200 2002 4950 11495 16445 19305 23870 25025
( XX) 1 X( Xβ μ ) β ( XX) 1 Xμ
和
) 2I E (μμ
五、样本容量问题 ⒈ 最小样本容量
所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理 和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管 其质量如何，所要求的样本容量的下限。 样本最小容量必须不少于模型中解释变量 的数目（包括常数项）,即 n k+1 因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+1
ˆ , 2 ) P (Y1 , Y2 , , Yn ) L (β 1 ( 2 ) 1 ( 2 )
n 2 n 2
n
1 2
2
e

ˆ ˆ X ˆ X ˆ X )) 2 (Yi ( 0 1 1i 2 2i k ki
1 2
2

ˆ )( Y Xβ ˆ) ( Y Xβ
求期望 :
E(X(Y Xβ )0
E(X(Y Xβ )0
称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了原ห้องสมุดไป่ตู้ 体回归方程所具有的内在特征。
1 ˆ)0 X (Y Xβ n
由此得到正规方程组
ˆ X' Y X' Xβ
解此正规方程组即得参数的MM估计量。
易知MM估计量与OLS、ML估计量等价。
1 X 12 X k2
1 Y1 X 1 n Y 2 X kn Y n
即
ˆ XY (XX)β
由于X’X满秩，故有
ˆ ( X X ) 1 X Y β
将上述过程用矩阵表示如下：
即求解方程组：
2、满足基本要求的样本容量
从统计检验的角度：
n30 时，Z检验才能应用； n-k8时, t分布较为稳定 一般经验认为:
当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足 模型估计的基本要求。
模型的良好性质只有在大样本下才能 得到理论上的证明
六、多元线性回归模型的参数估计实例 例3.2.2 在例2.5.1中，已建立了中国居 民人均消费一元线性模型。这里我们再考 虑建立多元线性模型。
i 2 i
10 21500 21500 53650000
1 X Y X 1
1 X2
Y1 1 Y2 Yi 15674 X n X i Yi 39468400 Y n
i=1,2…n
其矩阵形式为
ˆ e y xβ
其中 ：
y1 y2 y y n
x11 x x 12 x 1n x 21 x 22 x2n x k1 xk 2 x kn
1
可求得
( X X)
0.0003 0.7226 0.0003 1.35 E 07
于是
ˆ 0.7226 0.0003 15674 103.172 1 ˆ β ˆ 0 . 0003 1 . 35 E 07 39648400 0 . 7770 2
结果与参数的普通最小二乘估计相同
*三、矩估计（Moment Method, MM）
OLS估计是通过得到一个关于参数估计值的正 规方程组
ˆ XY (XX)β
并对它进行求解而完成的。
该正规方程组 可以从另外一种思路来导:
Y X β μ X Y X Xβ X μ X(Y Xβ ) Xμ
§3.2 多元线性回归模型的估计
估计方法：OLS、ML或者MM 一、普通最小二乘估计 *二、最大或然估计 *三、矩估计 四、参数估计量的性质 五、样本容量问题 六、估计实例
一、普通最小二乘估计
对于随机抽取的n组观测值
(Yi , X ji ), i 1,2, , n, j 0,1,2, k
e e ˆ n k 1 n k 1
2 2 e i
*二、最大似然估计
对于多元线性回归模型
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki i
易知
Yi ~ N ( X i β , 2 )
Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率
四、参数估计量的性质
在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通 最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有： 线性性、无偏性、有效性。 同时，随着样本容量增加，参数估计量具有： 渐近无偏性、渐近有效性、一致性。 1、线性性
ˆ ( X X ) 1 X Y CY β
其中,C=(X’X)-1 X’ 为一仅与固定的X有关的行向量
n n
其中
ˆ )2 Q e (Yi Y i
i 1
n
2 i
i 1
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X )) (Yi ( 0 1 1i 2 2i k ki
i 1
2
于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) Y ( 0 1 1i 2 2i k ki i ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki ) X 1i Yi X 1i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X Y X ( 0 1 1i 2i 2i k ki 2i i 2i ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki ) X ki Yi X ki
解释变量：人均GDP：GDPP 前期消费：CONSP(-1) 估计区间：1979~2000年
Eviews软件估计结果
LS // Dependent Variable is CONS Sample(adjusted): 1979 2000 Included observations: 22 after adjusting endpoints Variable C GDPP CONSP(-1) Coefficient 120.7000 0.221327 0.451507 0.995403 0.994920 26.56078 13404.02 -101.7516 1.278500 Std. Error 36.51036 0.060969 0.170308 t-Statistic 3.305912 3.630145 2.651125 Prob. 0.0037 0.0018 0.0158 928.4946 372.6424 6.684995 6.833774 2057.271 0.000000