现代设计理论与方法 有限元法

密度合理
5.1
2. 单元特性分析
概述
根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数
目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位 移的关系式，这是单元分析中的关键一步。 此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理 方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚
度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。
5.1
2. 单元特性分析
[K ]
(e )
5.2.2
2. 虚功原理法
单元特性的推导方法
变形体在外力作用下处于平衡状态时，若 使它产生任意的、微小的、可能的虚位移，则 力状态的外力沿位移状态的相应位移所作的虚 功，恒等于力状态的内力沿位移状态的相应变 形所作的内力虚功。
5.2.2
2. 虚功原理法
单元特性的推导方法
单元节点位移矩阵：
5.2.2
1. 直接刚度法
单元特性的推导方法
单元节点位移矩阵：{q}( e ) [u , v , , u , v , ]T i i zi j j zj
单元节点力矩阵：F }( e ) [Fxi , Fyi , Mzi , Fxj , Fyj , Mzj ]T {
5.2.2
1. 直接刚度法
来替代对实际结构的分析。
5.1
概述
有限元法的分析过程：
1. 物体离散化
2. 单元特性分析
3. 整体分析
4. 添加约束条件 5. 有限元方程求解 6. 结果分析与讨论
5.1
1. 物体离散化：
概述
将某个工程结构离散为由各种单元组成的计
算模型，这一步称作单元划分。
离散后单元与单元之间利用节点相互连接起
或： {F }( e ) [ K ]( e ) {q}( e ) 单元刚度矩阵
单元有限元方程 （单元刚度方程）
5.2.2
1. 直接刚度法
单元特性的推导方法
5.2.2
1. 直接刚度法
单元特性的推导方法
单元刚度矩阵
EA l 0 0 EA l 0 0 0 12EI l3 6 EI l2 0 12EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l EA l 0 0 EA l 0 0 0 12EI l3 6 EI 2 l 0 12EI l3 6 EI 2 l 6 EI 2 l 2 EI l 0 6 EI 2 l 4 EI l 0
5.1
概述
由求解线性工程问题进展到分析非线性问题
线性理论已经远远不能满足设计的要求。
非线性的数值计算是很复杂的，很难为一 般工程技术人员所掌握。为此近年来国外一些 公司花费了大量的人力和投资开发诸如ABQUS和 ADINA等专长于求解非线性问题的有限元分析软 件，并广泛应用于工程实践。
5.1
概述
5.1
概述
5.1
概述
5.1
概述
5.1
与CAD软件的无缝集成
概述
当今有限元分析系统的另一个特点是与通用 CAD软件的集成使用，即：在用CAD软件完成部件 和零件的造型设计后，自动生成有限元网格并进 行计算，如果分析的结果不符合设计要求则重新 进行造型和计算，直到满意为止，从而极大地提 高了设计水平和效率。
u 1 1 x {d } v 2 0 0
y 0 0 0 1 x
5.2.2
2. 虚功原理法
单元特性的推导方法
位移列阵：
u 1 1 x {d } v 2 0 0 y 0 0 0 1 x
式中：
a i b i 0 ci 0 y 0 0
当今所有的商业化有限元系统都开发了和CAD 软件（例如Pro/ENGINEER、SolidEdge、 SolidWorks、IDEAS和AutoCAD等）的接口。
5.2.1
1. 单元划分原则
单元的划分
1）分清研究对象的性质； 2）单元的几何形状与结构特点和受载有关；
3）单元网格的大小与精度和计算能力有关；
5.1
概述
目前，世界各地的研究机构和大学 发展了一批规模较小但使用灵活、价格 较低的专用或通用有限元分析软件，主 要有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的 SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、 COSMOS、ELAS和STARDYNE等。
5.1
概述
MSC-NASTRAN: 在航空航天领域有着很高的地位，目前世界 上规模最大的有限元分析系统。 ANSYS: 致力于耦合场的分析计算，能够进行结构、 流体、热、电磁四种场的计算。 ADINA: 由于其在非线性求解、流固耦合分析等方面 的强大功能，迅速成为有限元分析软件的后起 之秀，现已成为非线性分析计算的首选软件。
概述
选择位移模式 位移法： 选择节点位移作为基本未知量称为位移法； 力 法： 选择节点力作为基本未知量时称为力法； 混合法： 取一部分节点力和一部分节点位移作为基本 未知量时称为混合法。
5.1
2. 单元特性分析
概述
计算等效节点力 物体离散化后，假定力是通过节点从一个 单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连 续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元 中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面 力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上 去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在 单元上得力。
Fxi k11 Fyi k 21 M zi k 31 Fxj k41 Fyj k51 M zj k61 k12 . . . . .
单元特性的推导方法
k13 . . . . . k14 . . . . . k15 . . . . . k16 u xi v . yi . zi . u xj . v yj k66 zj
增强可视化的前置建模和后置数据处理功能
随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计 算机运算速度的飞速发展，整个计算系统用于 求解运算的时间越来越少，而数据准备和运算 结果的表现问题却日益突出。 目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有 功能很强的前置建模和后置数据处理模块。使用 户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动划 分，生成有限元分析所需数据，并按要求将大量 的计算结果整理成变形图、等值分布云图，便于 极值搜索和所需数据的列表输出。
力学等连续性问题。 有限元是一门以结构力学和弹性力学为理 论基础，以计算机为媒体，以有限元程序为主 体，对大型结构工程的数值计算方法。
5.1
概述
有限元的核心思想是结构的离散化，就是 将实际结构假想地离散为有限数目简单单元的 组合体，实际结构的物理性能可以通过对离散 单元进行分析，得出满足工程精度的近似结果
1
xi
yi yj S ym
5.2.2
2. 虚功原理法
单元特性的推导方法
位移列阵：
u 1 1 x {d } v 2 0 0
y 0 0 0 1 x
ai bi 0 ci y 0 0 0
{q}
(e )
[ui , vi , u j , v j , um , vm ]
T
单元节点力矩阵：
{F }
(e )
[Fxi , Fyi , Fxj , Fyj , Fxm , Fym ]
T
位移函数：（用多项式逼近的线性多项式）
u u( x, y ) 1 2 x 3 y v v( x, y ) 4 5 x 6 y
4）网格疏密布局与载荷情况相协调；
5）相邻单元边界相容；
6）对单元和节点进行顺序编号； 7）整体与设计对象一致。
5.2
5.2.1
单元特性的推导方法
单元的划分
1. 单元的分类 1）根据形状不同：
杆单元、平面单元、多面体单元、壳单元等。
2）根据单元Βιβλιοθήκη Baidu维数不同：
一维单元、二维单元、三维单元等
5.2.2
5.1
3. 整体分析
概述
利用节点变形协调条件和结构力的平衡 条件各个单元按原来的结构重新连接起来， 形成整体的有限元方程。
4. 添加约束条件
上面形成的整体有限元方程，在求解时需 要已知约束以及边界条件，所以准确地添加 约束和边界条件是求解的关键之一。
5.1
5. 有限元方程求解
概述
求解各节点的位移、应力、应变等。
y 0 0 0 1 x
a1 a 2 0 a 3 a [ s ]{ } y 4 a5 a6
5.2.2
2. 虚功原理法
单元特性的推导方法
位移列阵：
a i b i 0 ci 0 y 0 0 0 0 0 ai bi ci aj bi cj 0 0 0 0 0 0 aj bj cj am bm cm 0 0 0 0 ui 0 vi 0 uj am v j bm um cm v m
来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的 性质，描述变形形态的需要和计算进度而定。 如果划分单元数目非常多而又合理，则所获 得
用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。
的结果就与实际情况相符合。
5.1
1. 物体离散化： 单元类型：
概述
二维：三角形、四边形
三维：四面体、五面体、六面体
基本要求：
几何逼近 单元合法
5.1
概述
从单纯结构力学计算发展到求解许多物理场问题 有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发 展而来，逐步推广到梁、壳和实体等连续体固体 力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分 析方法。 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电 传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算，最 近又发展到求解几个交叉学科的问题。
单元特性的推导方法
建立刚度矩阵的方法：
直接刚度法、虚功原理法、能量变分法、 加权残数法。
5.2.2
1. 直接刚度法
单元特性的推导方法
分析对象:桁架,刚架和受剪杆板式结构.
研究的基础:杆,梁以及受剪板 一般情况，研究对象可能并不是由杆、梁板 直接组成，但是在离散化之后，可以将其分解为 这些基本单元。对于结构的分析，是以位移为基 本未知量进行的，位移包括线位移和角位移，而 这种研究的方法称为直接刚度法。 单元分析的实质是建立节点力和节点位移之 间的关系，然后得到单元刚度矩阵，以便进行计 算机分析或者计算。
5.2.2
2. 虚功原理法
单元特性的推导方法
位移函数：（用多项式逼近的线性多项式）
u u( x, y ) 1 2 x 3 y v v( x, y ) 4 5 x 6 y
位移列阵：
u 1 x {d } v 0 0
6. 结果分析与讨论
上面形成的整体有限元方程，在求解时需 要已知约束以及边界条件，所以准确地添加 约束和边界条件是求解的关键之一。
5.1
概述
国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投 入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元 分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局 （NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔 航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。 该系统是目前世界上规模最大、功能最强的有限 元分析系统。
0 0 0 ai bi ci
aj bi cj 0 0 0
0 0 0 aj bj cj
am bm cm 0 0 0
0 ui 0 vi 0 uj am v j bm um cm v m
1 1 xj 2 1 xm
第5章
有限元法
主要内容：
了解有限元的计算原理；
了解有限元计算的一般方法；
了解有限元单元特性。
5.1
概述
有限元法是随着电子计算机的发展而迅速 发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首 先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性 分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后
很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体