函数的间断点及其类型

19
思考题
设 f ( x) sgn x ， g( x) 1 x 2 ，试研
究复合函数 f [g( x)]与g[ f ( x)]的连续性.
1, x 0
解答 g( x) 1 x2
f ( x) 0, x 0
f [g( x)] sgn(1 x2 ) 1
分段函数的分段点可能是间断点,
也
可能是连续点,
需要判定.
4
2. 间断点的分类
第一类间断点
如 果 f ( x)在 点x0处 间 断 ， 且f ( x0 ),
f ( x0 )都 存 在.
如果 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点x0为函数
f ( x)的跳跃间断点.
如果 f ( x0 ) f ( x0 ),则称点x0为函数 f ( x)的可去间断点.
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
11
例 讨论函数 f ( x) x 的间断点. sin x
解 令sin x 0, x k (k Z )为间断点.
当k 0, x 0, lim f ( x) 1, x0 x 0为可去间断点.
当k 0, lim f ( x) , xk x k为无穷间断点.
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0 ) 0, f (0 ) ,
x 0为函数的第二类间断点.
为 无 穷 间断 点.
o
x
8
例 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解 在x 0处没有定义,
且 limsin 1 不存在.
x0
§1.10 函数的间断点 及其类型
1
函数
f ( x)在点 x0处连续
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
1. 间断点的定义
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
(1) f ( x)在 点x0处 有 定 义;
(2) lim f ( x)存在;
x x0
(3) lim x x0
0
1
lim f
x 1
(x)
lim
x1
1
x
e 1x
1
所以 x 1是函数的第一类间断点,
且是跳跃型.
15
sin x
2.设f
(
x)
x a
x0 x 0 问a, b为何值时,
b
x
sin
1 x
x0
(1) lim f ( x)存在; (2) f ( x)在x 0处连续.
x0
解 因为 lim f ( x) 1, lim f ( x) b, 所以
例
讨
论
函
数
f
(
x)
x, 1 x,
解 f (0 ) 0, f (0 ) 1,
x 0,在x 0处的连续性.
x 0,
y
f (0 ) f (0 ),
o
x
x 0为函数的第一类跳跃间断点.
6
例 讨论函数
f
(
x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
1 x, x 1,
y y 1 x
2 y2 x
x0
x0
(1) 要 lim f ( x)存在,必需且只需
x0
lim f ( x) lim f ( x),即 b 1(a可任取).
x0
x0
(2)要f ( x)在x 0处连续, 必需且只需
lim f ( x) lim f ( x) f (0), 即 a b 1.
x0
x0
16
小结
1 、函数间断点的定义.
1
在x 1处的连续性.
o1
x
解 f (1) 1, f (1 ) 2, f (1 ) 2,
lim f ( x) 2 f (1), x1
x 0为函数的第一类可去间断点.
若令 f (1) 2,
则
f
(x)
2
x,
1 Βιβλιοθήκη Baidux,
7
0 x 1, x 1,
在x 1处连续.
例
讨论
函
数
f
(
x)
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
特点 函 数 在 点x0处 的 左 、 右 极 限 都 存 在.
5
第二类间断点
如 果 f ( x)在 点x0处 的 左 、 右 极 限
f ( x0 ), f ( x0 )至 少 有 一 个 不 存在, 则 称 点x0为
函 数 f ( x)的 第 二 类 间 断 点.
12
例 当a取 何 值 时,
函数
f
(x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连 续. x 0,
解 f (0) a,
lim f ( x) lim cos x 1,
x0
x0
lim f ( x) lim (a x) a,
x0
x0
要 使 f (0 ) f (0 ) f (0) a 1,
2、
在点
间断的类型:
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点
左右极限都存在 左右极限至少有一个不存在
(见下图)
17
第
y
一
类
间
断
点
可去型
o x0
x
y
第 二 类 间 断 点
o
x0
x
无穷型
18
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
思考与练习
讨论函数
间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 .
x
y sin 1 x
x 0为第二类间断点.
这 种 情 况 称 为 振 荡 间断 点.
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
9
总结两类间断点: 第一类间断点: 第二类间断点:
跳跃型, 无穷型,
可去型 无穷次振荡型
极限与连续之间的关系:
f(x)在 x0 点连续
f(x)在x0点存在极限
10
判断下列间断点类型:
的 间 断 点,
并指出其类型.
1 e 110x
解 当x 0, x 1时, 函数无定义,
是函数的间断点.
x 0, 由于 lim f ( x) lim 1 x ,
x0
x0 1 e 1x
所以 x 0 是函数的第二类间断点,
且是无穷型.
x 1, 由于
1
lim f
x 1
(x)
lim
x1
x
1 e 1x
故当且仅当a 1时, 函数 f ( x)在 x 0处连续.
13
例
问x
0是
函
数
f
(
x
)
e
1
x的
第
几
类
间
断
点.
解
1
lim f ( x) lim e x 0,
x0
x0
1
lim f ( x) lim e x ,
x0
x0
x
0是
f (x)
e
1
x的
第
二
类
间
断
点.
14
1.求函数f ( x)
1
10x
f (x)
f ( x0 ).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点 x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
2
间断点图形：
函数在一点间断，其图形在该点断开.
y
y
y
2
1
o x0
xo 1
xo
x0
x
y
y
o
3
x0
x
o
x
初等函数无定义的点是间断点.