数学问题杂谈 (13)

中考中的数学应用问题
---- 培养学生的数学应用意识
生活离不开数学，数学也不能脱离生活。 生活离不开数学，数学也不能脱离生活。近几年 在教育改革的推动下， 来，在教育改革的推动下，各地的中考数学试卷出现 了大量背景新颖、贴近生活、符合实际的应用问题。 了大量背景新颖、贴近生活、符合实际的应用问题。 应用问题已经成为考查数学知识、方法和思维能力， 应用问题已经成为考查数学知识、方法和思维能力， 培养数学应用意识的重要材料。 培养数学应用意识的重要材料。 数学应用问题是有实际意义或实用背景的数学问 数学应用问题不拘泥于数学学科知识的束缚， 题。 数学应用问题不拘泥于数学学科知识的束缚，更 多着眼于数学学科的一般的思想方法， 多着眼于数学学科的一般的思想方法，着眼于应用所 学的数学知识解决生活、生产中的实际问题。 学的数学知识解决生活、生产中的实际问题。
例 题 分 分析： 表示中间空白正方形 析 分析：用x表示中间空白正方形
的边长， 的边长， 本题的等量关系是
一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石， 一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石， 形成一个宽为3米的正方形边框（如图）。 ）。已知铺这个边框恰 形成一个宽为3米的正方形边框（如图）。已知铺这个边框恰 好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石, 192块边长为0.75米的正方形花岗石 好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石,问标志性建筑底 面的边长是多少米? 面的边长是多少米?
3、运用列表法 、 表格是处理数据的重要工具， 表格是处理数据的重要工具，运用表格可 以直观、简明地梳理复杂的数量关系，寻找隐 以直观、简明地梳理复杂的数量关系， 藏的规律。题目中的各个量在表格中罗列出来， 藏的规律。题目中的各个量在表格中罗列出来， 就可以从表格中的行或列中找出同一研究对象 所涉及的各个量之间的相等关系， 所涉及的各个量之间的相等关系，来构造方程 或方程组，使问题得以解决。 或方程组，使问题得以解决。
验得到的答案是否符合问题的实际， 验得到的答案是否符合问题的实际，思考对原来的解法进 行或尝试用不同的方法，进行举一反三等。 行或尝试用不同的方法，进行举一反三等。
生活实际中的许多应用问题在数学问题中就是列 方程解应用题,而列方程解应用题最关键是如何寻找 方程解应用题 而列方程解应用题最关键是如何寻找 量与量的相等关系.接下来 接下来， 量与量的相等关系 接下来，我们来一起探讨如何寻 找量与量相等关系的方法。 找量与量相等关系的方法。 1、利用基本公式 、 利用基本公式寻找量与量之间的相等关系，是解 利用基本公式寻找量与量之间的相等关系， 决这类问题的一种基本方法。因为公式本身就是一 决这类问题的一种基本方法。 个等量关系，在遇到诸如行程问题、工程问题、 个等量关系，在遇到诸如行程问题、工程问题、增 长率问题、商品销售问题、存款问题等时， 长率问题、商品销售问题、存款问题等时，应首先 考虑利用基本公式解决问题的可能性。 考虑利用基本公式解决问题的可能性。
词汇的含义；分清问题中条件和要求的结论。 词汇的含义；分清问题中条件和要求的结论。
制订计划：在理解问题的基础上， 制订计划：在理解问题的基础上，运用有关的数学知
识和方法拟订出解决问题的思路和方案。 识和方法拟订出解决问题的思路和方案。
执行计划：把已制订的计划具体地进行实施。 执行计划：把已制订的计划具体地进行实施。 回顾：对整个解题过程进行必要检查和反思， 回顾：对整个解题过程进行必要检查和反思，也包括检
2、理解关键词 、 数学应用问题中有许多量并不是直接以数据的形式 给出，而是隐含在题目的语言内，这些能帮助确定各对 给出，而是隐含在题目的语言内， 象所涉及的量相互关系的词，就是所说的关键词， 象所涉及的量相互关系的词，就是所说的关键词，这些 词都有一个共同的特点， 词都有一个共同的特点，就是 全用来表示各量之间的差 别的，常用的如： 别的，常用的如：多、少、和、差、倍、分、增、减、 迟等等，通过对关键词的正确理解， 早、迟等等，通过对关键词的正确理解，就能找出量之 间的相互关系，并最终找出其中的相等关系。 间的相互关系，并最终找出其中的相等关系。 例题分析： 例题分析： 在环保知识竞赛中，某校代表队的平均分是 分 在环保知识竞赛中，某校代表队的平均分是88分，其 中女生的平均分比男生高10%，而男生的人数比女生多 中女生的平均分比男生高 ， 10%，问男女生的平均分各是多少 ，问男女生的平均分各是多少?
例 题 分 析
乙两人从A、 两地同时出发 甲骑自行车， 两地同时出发， 例2：甲、乙两人从 、B两地同时出发，甲骑自行车， ： 乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。出发后经 乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。出发后经3 时两人相遇，已知在相遇时乙比甲多行了90千米 千米， 时两人相遇，已知在相遇时乙比甲多行了 千米，相遇 后再经1时乙到达 时乙到达A地 问甲、乙行驶的速度分别是多少？ 后再经 时乙到达 地，问甲、乙行驶的速度分别是多少？
3
x
3
阴影部分的面积 =192块边长为 块边长为 0.75米的正方形花岗石的面积 米的正方形花岗石的面积
中考数学应用问题的分类探求
（1）方案设计类。此类应用题与现实生活联系紧密，具有强烈 ）方案设计类。此类应用题与现实生活联系紧密， 的时代气息、生活气息。 的时代气息、生活气息。这类题目主要考查学生运用数学知识 来分析、解决实际问题的实践、探索能力，体现学生的主体性， 来分析、解决实际问题的实践、探索能力，体现学生的主体性， 有利于培养学生的创新精神及“用数学”的意识。 有利于培养学生的创新精神及“用数学”的意识。 方案设计类应用题有这么几种类型： 方案设计类应用题有这么几种类型：符合要求的方案创 符合要求的最佳方案设计、选择最优方案设计等， 意、符合要求的最佳方案设计、选择最优方案设计等，不管 是哪种类型的方案设计题，一般都具有应用性（ 是哪种类型的方案设计题，一般都具有应用性（有真实的背 ）、创造性和开放性等特点 因此，这类题综合性强， 创造性和开放性等特点。 景）、创造性和开放性等特点。因此，这类题综合性强，在 考查内容上代数、几何知识兼备；解答方法上计算、 考查内容上代数、几何知识兼备；解答方法上计算、作图并 举。要较好地解决此类问题，不仅要求学生掌握扎实的数学 要较好地解决此类问题， 基础知识和创新实践能力，而且要掌握应用问题的解答策略； 基础知识和创新实践能力，而且要掌握应用问题的解答策略； 学会把实际问题等价转化为数学问题， 学会把实际问题等价转化为数学问题，建立合适的数学基本 模型来巧妙地解答。 模型来巧妙地解答。
例2：在菱形 ：在菱形ABCD中， 中 ∠A = 72，请设计三种不同的分法 将菱形ABCD分割成四个三角形，使得每一个三角形都是 分割成四个三角形， ，将菱形 分割成四个三角形 等腰三角形，（画图工具不限，要求画出分割线段， ，（画图工具不限 等腰三角形，（画图工具不限，要求画出分割线段，标出 能够说明分法所得三角形的度数）。 能够说明分法所得三角形的度数）。
例题分析： 例题分析： 小明把压岁钱按定期一年存入银行， 小明把压岁钱按定期一年存入银行，当时一年期定期 存款的年利率为1.98%,利息税的税率为 利息税的税率为20%,到期支取时 到期支取时, 存款的年利率为 利息税的税率为 到期支取时 扣除利息税后小明实得本利和为507.92元,问小明存入银行 扣除利息税后小明实得本利和为 元 问小明存入银行 的压岁钱为多少元? 的压岁钱为多少元 分析:题中的数量有本金、利息、年利率、 分析 题中的数量有本金、利息、年利率、利息税税率和 题中的数量有本金 实得本利和，它们之间有如下的相等关系： 实得本利和，它们之间有如下的相等关系： 本金×利率 利息 本金×利率=利息 利息×税率 利息税 利息×税率=利息税 本金+利息 利息税 本金 利息-利息税 实得本利和 利息 利息税=实得本利和 如果设本金为x元 那么根据上述前两个数量关系， 如果设本金为 元，那么根据上述前两个数量关系，能 的代数式分别表示利息和利息税， 用x的代数式分别表示利息和利息税，然后利用第三个等 的代数式分别表示利息和利息税 量关系列出方程。 量关系列出方程。
1、以图示意： 、以图示意：
相遇时甲的路程 经 3 时 经 1 时 相遇后乙的路程 相遇时乙的路程 经 3 时
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A
B
2、相遇时甲行驶的路程+90=相遇时乙行驶的路程 、相遇时甲行驶的路程 相遇时乙行驶的路程 相遇后乙行驶的路程=相遇时甲行驶的路程 相遇后乙行驶的路程 相遇时甲行驶的路程
5. 根据不变量构造相等关系 许多数学应用问题常涉及到一些 量的变化,但也有些量是不变的 但也有些量是不变的,在分析 量的变化 但也有些量是不变的 在分析 各个量时,应分清哪些是变化着的量 应分清哪些是变化着的量,哪 各个量时 应分清哪些是变化着的量 哪 些是不变的量,这样 这样,解题的关键就是抓 些是不变的量 这样 解题的关键就是抓 住其中的不变量,根据不变量来构造相 住其中的不变量 根据不变量来构造相 等关系。 等关系。
设应调往甲处x人 设应调往甲处 人，题目中所涉及的有关数量及 其关系可用下表表示： 其关系可用下表表示：
甲处 原有人数 增加人数 增加后的人数
23 x 23 + x
乙处
17 20 - x 17 + 20 - x
4、运用图示法 、 图形直观、形象，一目了然， 图形直观、形象，一目了然，运用各种图形如线 段图、行程图、面积图、比例图等来表示应用题中 段图、行程图、面积图、 的数量关系，有利于从整体上把握题意， 的数量关系，有利于从整体上把握题意，从而寻找 各个量之间的相等关系。 各个量之间的相等关系。 例题分析 某班有学生45人 某班有学生 人，会下象棋的人数是会下围棋 人数的3.5倍 两种棋都会或都不会的人数都是5人 人数的 倍，两种棋都会或都不会的人数都是 人， 求只会下围棋的人数. 求只会下围棋的人数
D
A
C
B
D
720 360 360 360 360 720 360 720 360 360 0 72 360 360
例 题 分 析
学校组织植树活动,已知在甲处植树的有23人 学校组织植树活动,已知在甲处植树的有23人,在乙 23 处植树的有17 17人 现调20人去支援, 20人去支援 处植树的有17人,现调20人去支援,使在甲处植树的人数是 乙处植树人数的2 应调往甲、乙两处各多少人? 乙处植树人数的2倍,应调往甲、乙两处各多少人?
例题分析
今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路， 今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路， 让道路将这块土地分成形状相同而且面积相等的4部分 部分。 让道路将这块土地分成形状相同而且面积相等的 部分。若道 路的宽度可忽略不计，请设计3种不同的修筑方案 种不同的修筑方案。 路的宽度可忽略不计，请设计 种不同的修筑方案。
解决数学应用问题的一般思路： 解决数学应用问题的一般思路：
实际问题 抽象化 数学问题 数学化 数学模型
重 构 模 型
求解 数学结果 回归实际 实践检验 实际结果
问题解决的基本步骤 理解问题：弄清问题的意思,以及问题中涉及的术语、 理解问题：弄清问题的意思 以及问题中涉及的术语、 以及问题中涉及的术语
（二）解数学应用题的一般思路与方法
中考选择的数学应用问题来源于现实生活， 中考选择的数学应用问题来源于现实生活，涉及 的知识面较广，解决方法隐含在问题之中， 的知识面较广，解决方法隐含在问题之中，会让考生 有一种无序、无规律可循的感觉，但需要指出： 有一种无序、无规律可循的感觉，但需要指出：中考 给出的应用问题， 给出的应用问题，是作了适合初中生认知水平调整的 问题，是可以应用所学的数学知识、方法， 问题，是可以应用所学的数学知识、方法，通过思维 活动来解决的问题。因此，求解数学应用问题，是有 活动来解决的问题。因此，求解数学应用问题， 一定规律可循的。 一定规律可循的。