高考数学合情推理与演绎推理

推理与证明

第一节合情推理与演绎推理

1、归纳推理

把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简

称归纳).

简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：

•通过观察个别情况发现某些相同的性质

•从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜

想）

•证明

2、类比推理

由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出

他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特

征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简

称类比）．

类比推理是由特殊到特殊的推理．

类比推理的一般步骤：

•找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

•用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而

得出一个猜想；

•检验猜想。

3、演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种

推理称为演绎推理．

演绎推理是由一般到特殊的推理；

“三段论”是演绎推理的一般模式，

包括

•大前提---已知的一般原理；

•小前提---所研究的特殊情况；

•结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．

题型一用归纳推理发现规律

例1：通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

2

3135sin 75sin 15sin 020202=

++；23150sin 90sin 30sin 020202=++；

23165sin 105sin 45sin 020202=++；2

3

180sin 120sin 60sin 020202=++.

解析：猜想：2

3)60(sin sin )60(sin 02202=

+++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++-

=2

3

)cos (sin 2322=+αα=右边 注；注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共

性”

（1）先猜后证是一种常见题型

（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）

题型二 用类比推理猜想新的命题

例2：已知正三角形内切圆的半径是高的1

3

，把这个结论推广到空间正四面体，

类似的结论是______.

解析：原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 31

21321=⇒⨯==，类比问题的解

法应为等体积法， h r Sr Sh V 41

31431=⇒⨯==即正四面体的内切球的半径是高

4

1

注：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比

（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；圆锥曲线间的类比等

（3）在平面和空间的类比中，三角形对应三棱锥（即四面体），长度对应面积；面积对应体积； 点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。 （4）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等 题型三 利用“三段论”进行推理

例3 某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样

e

d c b a S 1

++=

来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出a b e d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入

e d c b a ,,,,中的某个字母）

解析：因e d c b a ,,,,都为正数，故分子越大或分母越小时， S 的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S 的值增长越多，a b e d c <<<<<0Θ，所以c 增大1个单位会使得S 的值增加最多

注：从分式的性质中寻找S 值的变化规律 ；此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到

1.下列说法正确的是 （ ）

A.类比推理是由特殊到一般的推理

B.演绎推理是特殊到一般的推理

C.归纳推理是个别到一般的推理

D.合情推理可以作为证明的步骤

答案： C

2. 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（ ） A ．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理 C ．使用了“三段论”，但大前提错误 D ．使用了“三段论”，但小前提错误 答案：C

填空题

3.已知 0(1,2,,)i a i n >=L ，考察下列式子：111()1i a a ⋅

≥；1212

11

()()()4ii a a a a ++≥； 123123

111

()()(

)9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a L 也成立的类似不

等式为

答案：21212111

()(

)n n

a a a n a a a ++++++≥L L 4.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方

形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为

2

4

a ．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ． [解析] （见高三复习 步步高） 解法的类比（特殊化）

易得两个正方体重叠部分的体积为8

3

a

5.已知ABC ∆的三边长为c b a ,,，内切圆半径为r （用的面积表示ABC S ABC ∆∆），

则ABC S ∆)(2

1

c b a r ++=；类比这一结论有：若三棱锥BCD A -的内切球半径为R ，

则三棱锥体积=-BCD A V

[解析] )1

(3ABC ABD ACD BCD R S S S S ∆∆∆∆+++

6.在平面直角坐标系中，直线一般方程为0=++C By Ax ，圆心在),(00y x 的圆的一般方程为22020)()(r y y x x =-+-；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在),,(000z y x 的球的一般方程为_______________________.

答案；0Ax By Cz D +++=；2222000()()()x x y y z z r -+-+-=

7.（1）已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．

类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ；

（2） 已知数列{}n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为____________． 答案：（1）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；

（2）318=a ；

8. 对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式： 2213=+ 23135=++ 241357=+++ 3235=+ 337911=++ 3413151719=+++

根据上述分解规律，则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73，则m 的值为