第六章图与网络分析
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第6章 图与网络分析――基础知识PPT课件
D
E
F
甲
√
√
√
乙
√
√
√
丙
√
√
丁
√
√
戊
√
√
√
己
√
√
√
将研究对象用点表示。对象与对象之间用边表示。依题意，找出不相邻的顺序。
B
C
ACBFED
A
D
36
F
E
类型2. 求最小部分树。避圈法和破圈法
基本定理：图中任一个点i，若j是与i相邻点 中距离最短的，则边[i，j]一定含在该图的 最小部分树内。
推论：把图的所有点分成集合V和它的补集两 个集合，则两集合之间连线的最短边一定 包含在最小部分树内。
A
7
2 2
S
5
B
5
D
5
T
1
1
4
3
7
C
E
4
39
[例2]如图6-2，SABCDET代表村镇，它们中间 连线表明各村镇间现有道路交通情况，连线旁 数字代表道路的长度。现要求沿图中道路架设 电线，使上述村镇全部通上电，应如何架设使 总的长度为最短。
A
7
2 2
S
5
B
5
D
5
T
1
1
4
3
7
C
E
4
40
[例2]如图6-2，SABCDET代表村镇，它们中间 连线表明各村镇间现有道路交通情况，连线旁 数字代表道路的长度。现要求沿图中道路架设 电线，使上述村镇全部通上电，应如何架设使 总的长度为最短。
点边交替序列，点边均不重 复。
点边交替序列，起点和终点 不重复。 点边交替序列，起点和终点 重复。
第六章图与网络分析
e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
图与网络分析
end;
例 1 中 1 到 7 点的最短路是 1-2-5-7
查伴随矩阵 E 的第一行
1234567
10020255 19
hw
小结
• 最短路有广泛的应用 (P176案例) • 最短路的多种形式：无向图，有向图无循环圈，有向
图，混合图，无负边权，有负边权，有负回路，k-最 短路等 • 当存在负权值边时，Floyd算法比Dijkstra算法效率高， 且程序极简单。但Dijkstra算法灵活 • 若图是前向的，则Dijkstra算法也可以求两点间最长路 • 一般情况下，两点间最长路是 NP-complete，但最短 路是 P算法 • 两点间k-最短路：分为边不相交的和边相交的 求边不相交的k-最短路非常容易：先求最短路，将该 最短路中的边从网路删去，再用Dijkstra算法可求次最 短路，以此类推
hw
6.1.4 链，圈，路径，回路，连通图
• 走过图中所有边且每条边仅走一次的闭行走称为欧拉 回路
定理 2：偶图一定存在欧拉回路(一笔画定理) 6.1.4 连通图，子图，成分
• 设有两个图 G1(V1, E1), G2(V2, E2), 若V2 V1, E2 E1， 则 G2 是 G1 的子图
• 无向图中，若任意两点间至少存在一条路径，则称为 连通图(connected graph)，否则为非连通图( disconnected graph)；非连通图中的每个连通子图称为成分 (component)
线表示实体间的关联
A
A D
C
C
D
B
B
2
hw
6.1 图与网络的基本概念
6.1.1图与网络 • 节点 (Vertex)
– 物理实体、事物、概念 – 一般用 vi 表示
运筹学第六章图与网络分析
S
2
4
7
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路线：S AB E D T
最短距离：Lmin=13
2．求任意两点间最短距离的矩阵算法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）
S A B D（0）= C D E T
SABCDET 0 25 4 2 02 7 5 20 1 5 3 4 1 0 4 75 0 15 3 41 0 7 5 7 0
e1 v1
e5
v0 e2
e3
v2
e4
e6 e7
v3
v4
（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能 重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
步骤：
1. 两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；
2. 检查重复走的路线长度，是否不超过其所在 回路总长的一半，若超过，则调整连线，改 走另一半。
v1
4
v4
4
1
4
v2
v5
5
运筹学第6章 图与网络
也就是说| V1 |必为偶数。
定理6.2有学者也称作定理6.1的推论。根据定理6.2，握手定理也可以 表述为，在任何集体聚会中，握过奇次手的人数一定是偶数个。
12 该课件的所有权属于熊义杰
另外，现实中不存在面数为奇数且每个面的边数也是奇数的多面 体，如表面为正三角形的多面体有4个面，表面为正五边形的多面体有 12个面等等，也可以用这一定理予以证明。因为在任意的一个多面体 中， 当且仅当两个面有公共边时，相应的两顶点间才会有一条边，即 任意多面体中的一个边总关联着两个面。所以，以多面体的面数为顶
v j V2
(m为G中的边数）
因式中 2m 是偶数， d (v j ) 是偶数，所以 d (vi ) 也必为偶数
v j V2
vi V1
( 两个同奇同偶数的和差必为偶数 ), 同时,由于 d (vi ) 中的每个加数 d (vi )
均为奇数,因而 d (vi ) 为偶数就表明, d (vi ) 必然是偶数个加数的和 ,
图论、算法图论、极值图论、网络图论、代数图论、随机图论、 模糊图论、超图论等等。由于现代科技尤其是大型计算机的迅 猛发展，使图论的用武之地大大拓展，无论是数学、物理、化 学、天文、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、 经济乃至社会科学的众多问题．都可以应用图论方法子以解决。
1976年，世界上发生了不少大事，其中一件是美国数学家 Appel和Haken在Koch的协作之下，用计算机证明了图论难题— —四色猜想(4CC)：任何地图，用四种颜色，可以把每国领土染 上一种颜色，并使相邻国家异色。4CC的提法和内容十分简朴， 以至于可以随便向一个人(哪怕他目不识丁)在几分钟之内讲清 楚。1852年英国的一个大学生格思里(Guthrie)向他的老师德·摩 根(De Morgan)请教这个问题，德·摩根是当时十分有名的数学家， 他不能判断这个猜想是否成立，于是这个问题很快有数学界流 传开来。1879年伦敦数学会会员Kemple声称，证明了4CC成立， 且发表了论文。10年后，Heawood指出了Kemple的证明中
运筹学第六章图与网络分析a管理精品资料
min T (v j) T （ v j） ,L （ v i） d ij j
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
运筹学课件-第六章图与网络分析
运筹学课件-第六章 图与网络分析
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
第6章图与网络分析
a1
图中
v2 a2 v1
V＝(v1，v2，v3，v4，v5)
a6
A＝{a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9} a4
a5
a3 v3
a7
a8
2020/8/21
v4
a9
v5
10环、多重弧、简单有来自图在有向图的讨论中，类似无向图，可以对多重边、环、简单图、链等概念 进行定义，只是在无向图中，链与路、闭链与回路概念是一致的，而在有向图 中，这两个概念不能混为一谈。概括地说，一条路必定是一条链。然而在有向 图中，一条链未必是一条路，只有在每相邻的两弧的公共结点是其中一条弧的 终点，同时又是另一条弧的始点时，这条链才能叫做一条路。
V＝(v1，v2，v3，v4，v5) E＝{e1，e2，e3，e4，e5，e6，e7，e8}
e1
v2
e2
v1
e6
e4
e5
e3 v3
e7
2020/8/21
v4
e8
v5
3
无向图
点集 V 中元素的个数成为图 G 的点数，记为 p(G)=| V |。如上图中，p(G)=5。 边集 E 中元素的个数成为图 G 的边数，记为 q(G)=| E |。如上图中，q(G)=8。 边 e＝[vi，vj]∈E，称 vi，vj 为 e 的端点，e 为 vi，vj 的关联边。上图中，v1，v2 为 e2 的端点，e2 为 v1，v2 的关联边。 若边 ei，ej 有一公共端点，则称 ei，ej 相邻。如上图中中，e7，e8 相邻。 若点 vi，vj 有边相连，即[vi，vj]∈E，则称 vi，vj 相邻。如上图中中，v3，v5 相 邻。
顶点和边，则称 G1 是 G2 的真子图。
第六章物流运筹学——图与网络分析.
L( )
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
运筹学第六章图与网络分析(ppt文档)
§6.1 图的基本概念和模型
一、概念
（1）图：点V和边E的集合，用以表示对某种现实事物
的抽象。记作 G=｛V,E｝, V=｛v1,v2,···,vn｝, 点：表示所研究的事物对象； E=｛e1,e2,···,em｝
边：表示事物之间的联系。
e0
（2）若边e的两个端点重 合，则称e为环。
（3）多重边：若某两端点之 间多于一条边，则称为多重边。
D 8 64 5 0 15
E 7 53 4 1 0 6
T 14 11 9 10 5 6 0
i
dir（1）
r
drj（1）
j
⑷ 构造任意两点间最多可经过7个中间点到达的最短距 离矩阵 D（3）= dij（3）
其中
dij（3）=
min
r
{
dir（2）+
drj（2）
}
SABCDET
S 0 2 4 4 8 7 13
dir（0）
r i
drj（0）
j
⑶ 构造任意两点间最多可经过3个中间点到达的最短距 离矩阵 D（2）= dij（2）
其中
dij（2）=
min
r
{
dir（1）+
drj（1）}
SABCDET
S 0 2 4 4 8 7 14
A 2 0 2 3 6 5 11
B 4 20 1 43 9 D（2）= C 4 3 1 0 5 4 10
2. 破圈法：
⑴ 任取一圈，去掉其中一条最长的边， ⑵ 重复，至图中不存在任何的圈为止。
2. 破圈法
A
S
5 × B 5× D 5 T
C
4× E
最小部分树长Lmin=14
《图与网络分析》课件
网络的定义与分类
总结词
网络的定义与分类是理解图与网络分析的关键。
详细描述
网络是由节点和边构成的集合，用于描述系统中各个组成部分之间的关系。根据 不同的分类标准，网络可以分为多种类型，如无向网络和有向网络、单层网络和 多层网络等。
图与网络的应用领域
总结词
图与网络的应用领域广泛，包括计算机科学、交通运输、生物信息学等。
从任意一个顶点开始，每次选择一条与已选顶点集合相连的边中权 重最小的边，将其加入最小生成树中。
最短路径算法
Dijkstra算法
01
用于求解图中从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
Bellman-Ford算法
02
用于求解图中所有顶点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法
03
用于求解图中所有顶点之间的最短路径，时间复杂度较低。
网络流算法
01
Ford-Fulkerson算法
用于求解最大网络流问题，通过不断寻找增广路径来增加网络的流量。
02
Dinic算法
基于层次搜索和增广路径的算法，用于求解最大网络流问题。
03
Edmonds-Karp算法
基于广度优先搜索的算法，用于求解最大网络流问题。
03
网络分析与应用
网络中心性分析
节点中心性
社区结构特征
包括社区大小、社区密度、社区连通性等。
社区结构分析的应用
在社交网络中识别用户群体，在组织结构中划分部门和团队等。
网络动态分析
网络动态模型
常见的网络动态模型有随机游走、马尔科夫链和自组 织映射等。
网络动态特征
包括节点的活跃度、网络的演化规律和网络的鲁棒性 等。
网络动态分析的应用
图与网络分析-(共34张PPT)
4、环：某一条孤起点=终点，称为环。 5、基础图：给定一个有向图D=(V,A) ，从D中去掉所有
弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
第九页，共34页。
6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的
一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图G(D)中
所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列
v(f) fij–fji= 0
–v(f)
i=s is，t
i=t
且使v(f)达到最大。
第二十三页，共34页。
3、增广链 给定可行流f={fij}，使fij=cij的弧称为饱和弧，使
fij<cij的弧称为非饱和弧，把fij=0的弧称为零流弧， fij>0
的弧称为非零流弧。
若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定义链
22
21
44
(0，Vvs)1
89
62
31
32 63
45
24
47
(44,V1) v4
37 27
(78,V3)
v6
32
v3 (31, V1) 34
第十九页，共34页。
v5 (62,V1)
第三节 最大流问题
如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧上 的容量，问：该网络的最大流量是多少？
4 vs
3
v1
3
1 2
2
v2
v3 3
2
vt
4 v4
第二十页，共34页。
一、基本概念和基本定理
1、网络与流
定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点 vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧 (vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这 样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。
弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
第九页，共34页。
6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的
一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图G(D)中
所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列
v(f) fij–fji= 0
–v(f)
i=s is，t
i=t
且使v(f)达到最大。
第二十三页，共34页。
3、增广链 给定可行流f={fij}，使fij=cij的弧称为饱和弧，使
fij<cij的弧称为非饱和弧，把fij=0的弧称为零流弧， fij>0
的弧称为非零流弧。
若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定义链
22
21
44
(0，Vvs)1
89
62
31
32 63
45
24
47
(44,V1) v4
37 27
(78,V3)
v6
32
v3 (31, V1) 34
第十九页，共34页。
v5 (62,V1)
第三节 最大流问题
如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧上 的容量，问：该网络的最大流量是多少？
4 vs
3
v1
3
1 2
2
v2
v3 3
2
vt
4 v4
第二十页，共34页。
一、基本概念和基本定理
1、网络与流
定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点 vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧 (vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这 样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。
运筹学基础及应用(第五版),(第六章图与网络分析)
树枝总长最小的部分树，称为该图的最小部分树(也称最小支
撑树)。
定理1. 图中任一个点 i ，若 j 是与 i 相邻点中距离最近的， 则边 [ i , j ] 一定包含在该图的最小部分树中。
给图中的点和边赋以具体的含义和权值，我们称这样的
图为网络图（赋权图）
2020/3/27
6
图中的点用 v 表示，边用 e 表示，对每条边可用它所
联结的点表示，如图，则有：
e1 = [v1 , v1]，
e2 = [v1 , v2]或e2= [v2 , v1]
2020/3/27
用点和点之间的线所构成的图，反映实际生产和生 活中的某些特定对象之间的特定关系。通常用点表 示研究对象,用点与点之间的线表示研究对象之间 的特定关系。一般情况下，图中点的相对位置如何 ，点与点之间线的长短曲直，对于反映研究对象之 间的关系，显的并不重要，因此，图论中的图与几 何图，工程图等本质上是不同的。
§2．树图和最小部分树
树图（简称树，记作 T(V, E)）是无圈的连通图。（无圈， 无多重边）
一. 树的性质
性质1. 任何树中必存在次为1 的点。
次为1的点称为悬挂点，与之关联的边称为悬挂边。 性质2. 具有 n 个顶点的树恰有（n-1）条边。
性质3. 任何具有n 个点、(n - 1)条边连通图是树。
A D
C B
2020/3/27
3
为了寻找答案 ，1736年欧拉 把陆地缩为一点，把桥作为连接点 的边，将这个问题抽象成图形的一 笔画问题。即能否从某一点开始不 重复地一笔画出这个图形，最终回 到原点。欧拉在他的论文中证明了 这是不可能的，因为这个图形中每 一个顶点都与奇数条边相连接，不 可能将它一笔画出，这就是古典图 论中的第一个著名问题。
撑树)。
定理1. 图中任一个点 i ，若 j 是与 i 相邻点中距离最近的， 则边 [ i , j ] 一定包含在该图的最小部分树中。
给图中的点和边赋以具体的含义和权值，我们称这样的
图为网络图（赋权图）
2020/3/27
6
图中的点用 v 表示，边用 e 表示，对每条边可用它所
联结的点表示，如图，则有：
e1 = [v1 , v1]，
e2 = [v1 , v2]或e2= [v2 , v1]
2020/3/27
用点和点之间的线所构成的图，反映实际生产和生 活中的某些特定对象之间的特定关系。通常用点表 示研究对象,用点与点之间的线表示研究对象之间 的特定关系。一般情况下，图中点的相对位置如何 ，点与点之间线的长短曲直，对于反映研究对象之 间的关系，显的并不重要，因此，图论中的图与几 何图，工程图等本质上是不同的。
§2．树图和最小部分树
树图（简称树，记作 T(V, E)）是无圈的连通图。（无圈， 无多重边）
一. 树的性质
性质1. 任何树中必存在次为1 的点。
次为1的点称为悬挂点，与之关联的边称为悬挂边。 性质2. 具有 n 个顶点的树恰有（n-1）条边。
性质3. 任何具有n 个点、(n - 1)条边连通图是树。
A D
C B
2020/3/27
3
为了寻找答案 ，1736年欧拉 把陆地缩为一点，把桥作为连接点 的边，将这个问题抽象成图形的一 笔画问题。即能否从某一点开始不 重复地一笔画出这个图形，最终回 到原点。欧拉在他的论文中证明了 这是不可能的，因为这个图形中每 一个顶点都与奇数条边相连接，不 可能将它一笔画出，这就是古典图 论中的第一个著名问题。
第六章 图与网络分析
v1 1 v8 5 v7 3 4 5 2 v6 2 4 2 v2 1 3 v0 4 4 v5 1 v3 1 v4 5
28
第三节 最短通路问题
29
一、最短通路问题
最短通路问题：就是从给定的网络图中找出 最短通路问题： 任意两点之间权重之和最小的一条路。 权重之和最小的一条路 任意两点之间权重之和最小的一条路。
8
例：图
e1
v1 e2 e4 e5 e3 e6 v3 v5
9
v4
v2
6、子图：图G1=（V1，E1）和图 2=（V2， 、子图： 和图G （ （ E2），如果 V1 ⊆ V2 和 E1 ⊆ E 2 ，称G1是G2的 ），如果 一个子图。 一个子图。 V 的支撑子图。 当V1= V2，1 ⊂ V2 时，称G1是G2的支撑子图。
32
①令P(vs)=0，T(vi)=+∞，i=(1,2,…,n-1,n) ， ， 计算T(vj)=min[T(vj), P(vi)+ ωij] ②计算 比较所有具有T标号的点 把最小者改为P标 标号的点， ③比较所有具有 标号的点，把最小者改为 标 号，即： P(vi)=min[T(vi)] ；当存在两个以上 最小者时，可同时改为P标号 标号， 最小者时，可同时改为 标号，若全部点均 标号则停止计算。 为P标号则停止计算。 标号则停止计算
39
2、流量：弧（vi,vj）实际通过量或安排的通 、流量： 过量，记为f 过量，记为 ij。 3、流：弧集E上所有边的流量所组成的集合， 、 上所有边的流量所组成的集合， 弧集 上所有边的流量所组成的集合 记为f={fij}。 记为 。
40
v1 (8,8)
(9,4)
v3 (5,5) (6,1) (10,8) vt
28
第三节 最短通路问题
29
一、最短通路问题
最短通路问题：就是从给定的网络图中找出 最短通路问题： 任意两点之间权重之和最小的一条路。 权重之和最小的一条路 任意两点之间权重之和最小的一条路。
8
例：图
e1
v1 e2 e4 e5 e3 e6 v3 v5
9
v4
v2
6、子图：图G1=（V1，E1）和图 2=（V2， 、子图： 和图G （ （ E2），如果 V1 ⊆ V2 和 E1 ⊆ E 2 ，称G1是G2的 ），如果 一个子图。 一个子图。 V 的支撑子图。 当V1= V2，1 ⊂ V2 时，称G1是G2的支撑子图。
32
①令P(vs)=0，T(vi)=+∞，i=(1,2,…,n-1,n) ， ， 计算T(vj)=min[T(vj), P(vi)+ ωij] ②计算 比较所有具有T标号的点 把最小者改为P标 标号的点， ③比较所有具有 标号的点，把最小者改为 标 号，即： P(vi)=min[T(vi)] ；当存在两个以上 最小者时，可同时改为P标号 标号， 最小者时，可同时改为 标号，若全部点均 标号则停止计算。 为P标号则停止计算。 标号则停止计算
39
2、流量：弧（vi,vj）实际通过量或安排的通 、流量： 过量，记为f 过量，记为 ij。 3、流：弧集E上所有边的流量所组成的集合， 、 上所有边的流量所组成的集合， 弧集 上所有边的流量所组成的集合 记为f={fij}。 记为 。
40
v1 (8,8)
(9,4)
v3 (5,5) (6,1) (10,8) vt
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V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 }， A = {(v1 , v3 ) , (v2 , v1) , (v2 , v3 ) , ( v 2 , v5 ) , ( v3 , v5 ) , ( v4 , v5 ) ,
v1 v3 v5 v2
v4 v6
( v 5 , v4 ) , ( v5 , v6 ) }
一个图是由点集 V v j 和 V 中元素的无序对的 一个集合 E {ek } 构成的二元组，记为G =(V，E)， 其中 V 中的元素 v j 叫做顶点，V 表示图 G 的点 集合；E 中的元素 ek 叫做边，E 表示图 G 的边 集合。 e1 例
V v1 ,v2 , v3 , v4 , v5 , v6
e9 {v6 , v6 }
4 3 4
e2 e5 e8 e6 v5
v2 e3 e v4 4 e7 v3
e6 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e9
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无 向图，记作 G = (V， E) ， 连接点的边记作 [vi , vj] ， 或 者 [ v j , v i] 。 3、如果一个图是由点和弧所构成的，那么称它为 有向图，记作D=(V, A)，其中V 表示有向图D 的点集合， A 表示有向图D 的弧集合。一条方向从vi指向vj 的弧， 记作(vi , vj)。
有向图中，以 vi 为始点的边数称为点 vi 的出次，用 表示 d (vi )；以 vi 为终点的边数称为点vi 的入次， 用 d (vi ) 表示；vi 点的出次和入次之和就是该点的次。 所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。
9、在实际应用中，给定一个图G=（V，E）或有向图 D=（V，A），在V中指定两个点，一个称为始点（或 发点），记作v1 ，一个称为终点（或收点），记作vn ， 其余的点称为中间点。对每一条弧 (vi , v j ) A ，对应 一个数 w i j ，称为弧上的“权”。通常把这种赋权的图 称为网络。 10、由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列 称为链。 如:v0 ，e1，v1，e2，v2，e3 ， v3 ,…,vn-1 , en ， vn ，记作（ v0 ， v1 ， v2， v3 , …, vn-1 ， vn ），
A (ai j )nn
，其中：
1 ai j 0
(v i , v j ) E (v i , v j ) E
称矩阵A为网络G的邻接矩阵。
例
v6
v1
4
v2
7 3 2 v3 5
3
பைடு நூலகம்
6
3
4 2 v5 v4
权矩阵为：
v1 0 v2 4 v 3 0 A v4 6 v5 4 v6 3 v1 4 0 6 4 3 0 2 7 0 0 2 0 5 0 3 7 5 0 2 0 0 0 2 0 3 0 3 0 3 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
其链长为 n ，其中 v0 ，vn 分别称为链的起点和终点 。 若链中所含的边均不相同，则称此链为简单链；所含的点 均不相同的链称为初等链 , 也称通路。
v2 e4 e5 e7 v5 v4 e9 e8 e10 v3 e6
e1
v1 e2 e3
v6
11、图中任意两点之间均至少有一条通路，则称此图 为连通图，否则称为不连通图。
图中 d(v1)= 4，d(v6)= 4（环计两次）
次为零的点称为弧立点，次为1的点称为悬挂点。悬挂 点的关联边称为悬挂边。次为奇数的点称为奇点，次为偶 数的点称为偶点。
v1 e10 v6 e8 e1
e2 e5 e6
v5
v2
e3 e v4 4 e7 v3
e9
定理1 定理2
任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。 在任一图中，奇点的个数必为偶数。
图2
4、一条边的两个端点是相同的,那么称此边为环。 5、如果两个端点之间有两条以上的边，称为多重边。 6、一个无环，无多重边的图称为简单图，含有多重边 的图称为多重图。 7、每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为完全 图。 有向完全图则是指每一对顶点之间有且仅有一条有 向边的简单图。
8、以点v为端点的边的个数称为点v 的次，记作 d (v ) 。
二、中国邮递员问题
一、欧拉回路与道路
定义 连通图G中，若存在一条道路，经过每边 一次且仅一次，则称这条路为欧拉道路。若存在 一条回路，经过每边一次且仅一次，则称这条回 路为欧拉回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图。 定理 一个多重连通图G是欧拉图的充分必要条 件是G中无奇点。 推论 一个多重连通图G有欧拉道路的充分必要 条件是G有且仅有两个奇点。
v1
E {e1 ， e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 } e10 e1 {v1 , v2 } e2 {v1 , v2 } e3 {v2 , v3 } v6 e {v , v } e5 {v1 , v3 }
e7 {v3 , v5 }
图与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
图与网络的基本知识
中国邮路问题
最短路问题 最大流问题
A
C
D
B
A
哥尼斯堡七桥问题
C D
B
一笔画问题
一、图与网络的基本知识
（一）图与网络的基本概念
E A
D
B
C
1、一个图是由点和连线组成。（连线可带箭头，也 可不带，前者叫弧，后者叫边）
邻接矩阵为：
v1 0 v2 1 v 3 0 B v 4 1 v 5 1 v6 1 v1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
（二）图的矩阵表示 对于网络（赋权图）G=（V，E），其中边 (vi , v j ) 有权 wi j ，构造矩阵 A (ai j )nn ，其中：
wi j ai j 0 (v i , v j ) E (v i , v j ) E
称矩阵A为网络G的权矩阵。
设图G=（V，E）中顶点的个数为n，构造一个 矩阵
v1 v3 v5 v2
v4 v6
( v 5 , v4 ) , ( v5 , v6 ) }
一个图是由点集 V v j 和 V 中元素的无序对的 一个集合 E {ek } 构成的二元组，记为G =(V，E)， 其中 V 中的元素 v j 叫做顶点，V 表示图 G 的点 集合；E 中的元素 ek 叫做边，E 表示图 G 的边 集合。 e1 例
V v1 ,v2 , v3 , v4 , v5 , v6
e9 {v6 , v6 }
4 3 4
e2 e5 e8 e6 v5
v2 e3 e v4 4 e7 v3
e6 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e9
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无 向图，记作 G = (V， E) ， 连接点的边记作 [vi , vj] ， 或 者 [ v j , v i] 。 3、如果一个图是由点和弧所构成的，那么称它为 有向图，记作D=(V, A)，其中V 表示有向图D 的点集合， A 表示有向图D 的弧集合。一条方向从vi指向vj 的弧， 记作(vi , vj)。
有向图中，以 vi 为始点的边数称为点 vi 的出次，用 表示 d (vi )；以 vi 为终点的边数称为点vi 的入次， 用 d (vi ) 表示；vi 点的出次和入次之和就是该点的次。 所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。
9、在实际应用中，给定一个图G=（V，E）或有向图 D=（V，A），在V中指定两个点，一个称为始点（或 发点），记作v1 ，一个称为终点（或收点），记作vn ， 其余的点称为中间点。对每一条弧 (vi , v j ) A ，对应 一个数 w i j ，称为弧上的“权”。通常把这种赋权的图 称为网络。 10、由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列 称为链。 如:v0 ，e1，v1，e2，v2，e3 ， v3 ,…,vn-1 , en ， vn ，记作（ v0 ， v1 ， v2， v3 , …, vn-1 ， vn ），
A (ai j )nn
，其中：
1 ai j 0
(v i , v j ) E (v i , v j ) E
称矩阵A为网络G的邻接矩阵。
例
v6
v1
4
v2
7 3 2 v3 5
3
பைடு நூலகம்
6
3
4 2 v5 v4
权矩阵为：
v1 0 v2 4 v 3 0 A v4 6 v5 4 v6 3 v1 4 0 6 4 3 0 2 7 0 0 2 0 5 0 3 7 5 0 2 0 0 0 2 0 3 0 3 0 3 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
其链长为 n ，其中 v0 ，vn 分别称为链的起点和终点 。 若链中所含的边均不相同，则称此链为简单链；所含的点 均不相同的链称为初等链 , 也称通路。
v2 e4 e5 e7 v5 v4 e9 e8 e10 v3 e6
e1
v1 e2 e3
v6
11、图中任意两点之间均至少有一条通路，则称此图 为连通图，否则称为不连通图。
图中 d(v1)= 4，d(v6)= 4（环计两次）
次为零的点称为弧立点，次为1的点称为悬挂点。悬挂 点的关联边称为悬挂边。次为奇数的点称为奇点，次为偶 数的点称为偶点。
v1 e10 v6 e8 e1
e2 e5 e6
v5
v2
e3 e v4 4 e7 v3
e9
定理1 定理2
任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。 在任一图中，奇点的个数必为偶数。
图2
4、一条边的两个端点是相同的,那么称此边为环。 5、如果两个端点之间有两条以上的边，称为多重边。 6、一个无环，无多重边的图称为简单图，含有多重边 的图称为多重图。 7、每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为完全 图。 有向完全图则是指每一对顶点之间有且仅有一条有 向边的简单图。
8、以点v为端点的边的个数称为点v 的次，记作 d (v ) 。
二、中国邮递员问题
一、欧拉回路与道路
定义 连通图G中，若存在一条道路，经过每边 一次且仅一次，则称这条路为欧拉道路。若存在 一条回路，经过每边一次且仅一次，则称这条回 路为欧拉回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图。 定理 一个多重连通图G是欧拉图的充分必要条 件是G中无奇点。 推论 一个多重连通图G有欧拉道路的充分必要 条件是G有且仅有两个奇点。
v1
E {e1 ， e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 } e10 e1 {v1 , v2 } e2 {v1 , v2 } e3 {v2 , v3 } v6 e {v , v } e5 {v1 , v3 }
e7 {v3 , v5 }
图与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
图与网络的基本知识
中国邮路问题
最短路问题 最大流问题
A
C
D
B
A
哥尼斯堡七桥问题
C D
B
一笔画问题
一、图与网络的基本知识
（一）图与网络的基本概念
E A
D
B
C
1、一个图是由点和连线组成。（连线可带箭头，也 可不带，前者叫弧，后者叫边）
邻接矩阵为：
v1 0 v2 1 v 3 0 B v 4 1 v 5 1 v6 1 v1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
（二）图的矩阵表示 对于网络（赋权图）G=（V，E），其中边 (vi , v j ) 有权 wi j ，构造矩阵 A (ai j )nn ，其中：
wi j ai j 0 (v i , v j ) E (v i , v j ) E
称矩阵A为网络G的权矩阵。
设图G=（V，E）中顶点的个数为n，构造一个 矩阵