数学文化资料

一、

1、.如果√2是有理数，必有√2=p/q（p、q为互质的正整数）

两边平方：2=p^/q^

p^=2q^

显然p为偶数，设p=2k（k为正整数）

有：4k^=2q^,q^=2k^

显然q也为偶数，与p、q互质矛盾

∴假设不成立，√2是无理数

2、证明素数有无穷多个

假设素数只有p1,p2...pn个

构造p=p1p2p3*....*pn+1

可见p不能被p1,p2....pn整除

所以p是质数

又p不等于p1,p2...pn

所以矛盾

所以素数有无数个

3、反正法

假设人口超过20万的城市中，任何两人的头发数目都不完全相同

又因为头发数目是正整数

因此这20多万人的头发数目应该从1—20多万分布

而科学家说人类的头发每人不超过20万根

与假设相悖

因此假设错误

故，至少有2人的头发根数相同

4、因为n=1时,f(1)=2,n=2时,f(2)=4,

n=3时,f(3)=7,于是可以猜想f(n)=(n^2+n+2)/2

下面证明猜想正确即可

证明:①:n=1时已经证明了其正确性

②:假设n=k时也成立,则f(k)=(k^2+k+2)/2

当n=k+1时,由于多了一条线，就可以多分割出

k+1个面,所以f(k+1)=f(k)+k+1=

(k^2+k+1)/2+(k+1)=[(k+1)^2+(k+1)+2]/2

所以当n=k+1时也成立,由①②得,对于任意n值

都有f(n)=(n^2+n+2)/2

二、

1、当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程

x^n + y^n = z^n. 没有非零整数解

这个定理，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而证明需要利用很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等。而安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。

2、公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:

(a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

(b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

3、四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。被称为邻接的两个区域是指它们有一段公共的边界，而不仅仅是一个公共的交点。例如右图左下角的圆形中，红色部分和绿色部分是邻接的区域，而黄色部分和红色部分则不是邻接区域。四色问题又称四色猜想、四色定理，是世界近代三大数学难题之一。[1](Four color theorem)最先是由一位叫古德里（FrancisGuthrie）的英国大学生提出来的。

4.罗素悖论：Q∈P 还是 Q?P？若Q∈P，则根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，而Q中的任何集合都有A?A的性质，因为Q∈Q，所以Q?Q，引出矛盾。若Q?P，根据第二类集合的定义，A?A，而P中的任何集合都有A∈A的性质，所以Q∈P，还是矛盾。

第三次数学危机：是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

6、黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618或0.618∶1，上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。

三、

等数学讨论“有限”问题，高等数学讨论“无限”问题，简述有限与无限的区别和联系区别：1.在无限中，“部分可以等于整体”

2.“有限”情况成立的许多命题，对“无限”情况不在成立。

联系：数学归纳法；极限；无穷级数；递推公式。

2、囚徒困境：两个共谋犯罪的人被关入监狱，不能互相沟通情况。如果两个人都不揭发对方，则由于证据不确定，每个人都坐牢半年；若一人揭发，而另一人沉默，则揭发者因为立功而立即获释，沉默者因不合作而入狱十年；若互相揭发，则因证据确实，二者都判刑八年。由于囚徒无法信任对方，因此倾向于互相揭发，而不是同守沉默。

博弈论在经济上的应用：X国试图对Y国进行进口贸易限制，比如提高关税，则Y国必然会进行反击，也提高关税，结果谁也没有捞到好处。反之，如X和Y能达成合作性均衡，即从互惠互利的原则出发，双方都减少关税限制，结果大家都从贸易自由中获得了最大利益，而且全球贸易的总收益也增加了。

博弈论在军事上的应用：以二战中的“俾斯麦海战”为例，1943年，一支日本舰队意图通过俾斯麦海开往新几内亚的莱城，这一情报被盟军截获，盟军授意太平洋空军拦截轰炸，有南北两条航线可供日军选择，航程都是3天。天气情况是：未来3天在南路晴好，北路阴雨。由于侦察轰炸力量有限，盟军不可能同时对两条航线进行侦察拦截轰炸，因此这里涉及到盟军对日军航线的判断和决策。对于盟军来说，最理想的情况是：盟军和日军同时选择南线，天气情况好，盟军可以轰炸3天；最坏的情况是：盟军选择南路，而日军选择北路，由

于天气情况较差，加上耽搁的时间，盟军只能轰炸1天；另外两种情况均能轰炸2天。最后都选择了北线。

四、对数学文化课的感想

一段时间来,总有一些人们对学习数学的目的与意义持有怀疑,对这一问题我也曾有过同样的思考,我们的数学究竟要学哪些东西?该如何去学?据说爱因斯坦曾说过:当你从学校毕业几十年后,将你遗忘后所剩下的,就是你在学校里所学的真正有价值的东西.那么这些有价值的东西究竟是什么呢?我想这实际上就是一种文化的积淀,数学也是这样,你要将他作为一种人类文化来传承领悟.

在一学期的数学文化学习中，使我深深的认识到了数学的重要性和通过其所获取的感知。对于个人的发展来说，数学不仅仅是一门工具，还是具有内在价值的精神产物和文明成果，在一个人运用数学进行思维的过程中，所锻炼的不仅仅是我们的思维方法，更重要的是，我们的许多观念也会发生变化，产生新的认识，从而更大和更深刻的领悟人类的自由。课上那所有的定理，比如费尔马大定理、哥德巴赫猜想、四色定理和黄金分割等等。我们会了解所谓的客观的审美标准是什么，并意识到数学中存在的和谐、对称之美的本质及其独特性，我们甚至会根据自然的数学化来重新认识和领会世界，并从而为之高声赞叹。数学文化的辉煌是人类文明灿烂的一个极为重要的组成部分。历史证明了这一点，未来还会继续证明这一点。

人们常常感叹于牛顿从苹果下落的过程中就能领悟天机,可殊不知,就在我们日常生活中也存在着诸多物理天机,就在于我们的思维能否冲破定势,于平常中识破天机,物理学家开普勒曾说过:宇宙间的所有奥秘,上帝是用数学语言告诉人类的!

我认为数学作为一种文化形式主要还是以理性的形式呈现的，这正是和其它文化相区别的地方，拥有了这种文化，人类自然就会变得理性。这种文化对社会贡献是不可忽视的，我们常常讲：掌握科学文化的人也应该掌握社会文化，这样才能走得很远，但反过来呢？是不是一个掌握社会文化的人也该掌握科学文化呢？否则是不是也会很难走远呢？当人类文明高速发展的时候，我们会因为科技与经济的需要而更加重视数学教育，这没有错；如果还因为人自身发展的原因、因为文化的原因而更加重视数学教育了，那也许是把握了更根本的东西。

通过数学文化课的学习，我了解到了数学与人类社会发展的关系；体会到了数学的科学价值；同时它也使我们能够开阔视野，加强对数学的宏观认识和整体把握；能够很好的受到优秀文化的熏陶，领会数学的理性精神，从而提高自身的文化修养。

首先，通过数学文化的学习能够很好的拓展了我的数学知识。在平时的学习中，所掌握的仅仅是一些知识要点和相应的定理公理，数学的知识领域层面了解的很少。可是，在这门课程的学习过程中使我知道了以前未曾了解的知识。数学的历史使我能够更加广泛感悟数学精神和在其背后一些鲜为人知的发展历程；数学家们的故事使我铭记了他们在自己喜欢的领域获取的成就和那光环背后的艰辛；数学的历史性难题使我能够感受到了不懈的探索精神；数学文化向人们展示了数学极富魅力的一面。它不是以往数学课上的定理、公式、计算和题海,而是数学的思想、精神和方法。它让我们用美学的眼光来看待数学,让我们体会到数学中浓郁的人文主义精神。认识数学的科学价值和人文价值,培养数学的意识,崇尚数学思考的理性精神,欣赏数学的美丽,知道数学应用的门径。其实这也是我感到选学这门课的原因。

其次，使我懂得了数学的另一片美丽的领域。数学的美不在于它的计算，而在于人们不断进步的心。从第一节课起我就感觉老师您讲课很有魅力，讲的内容更具魅力。您从古代的数学一直讲到了刚刚解决的费尔马大定理，从不同的领域为我诠释了数学的文化。您总能运用很优美的文字来述说您要讲的内容，还不时地结合美术、科学以及人文等其他领域的知识来阐述数学。从中让我了解了很多以前所不知道的数学，原来数学可以这么美。

我想我们今天学数学,首先要学的不是课本上的死知识,而是用什么样的方法来思考我们的已知世界,探索我们的未知世界.学会前人是如何发现我们今天课本上的这些知识的具体方法.只有这些也许才是真正有价值的东西吧!

知识是死的，人是活的。如果知识单纯的学习那死的知识而不知道去思考，去探索，那么如何去进步？？

总的来说，我感觉这门课很好，我个人是非常地喜欢，教学模式也很适合我们当代大学生。很感谢这门课，让我有了一次对数学深刻体会的经历，并且又再一次感受到了您讲课的精彩乐趣。很希望老师您能够继续这样的授课方式，使以后的同学也能体会到那份真正意义的快乐！