第十七章 反比例函数复习(1)

第十七章 反比例函数复习（1）
（一）考察概念
一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成x
k y =或y=kx -1（k 为常数，0k ≠）的形式，
那么称y 是x 的反比例函数。

反比例函数的概念需注意以下几点： （1）k 是常数，且k 不为零； （2）
x
k 中分母x 的指数为1，如，2
2
y x
=
就不是反比例函数。

（3）自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数. （4）自变量y 的取值范围是0y ≠的一切实数。

例1．已知函数 y = （5m — 3）x
n
-2
+ （n+m ）
（1）当m ，n 为何值时，是一次函数？ （2）当m ，n 为何值时，为正比例函数？ （3）当m ，n 为何值时，为反比例函数？
例2．已知y=y 1+y 2 ,y 1与x ＋1成正比例，ｙ2与x ＋1成反比例，当x ＝0时，ｙ＝－5；当x ＝2时，ｙ＝－7。

（1）求ｙ与x 的函数关系式； （2）当ｙ＝5时，求x 的值
练习：1.如果函数2
2
(1)m
y m x -=-为反比例函数，则m 的值是 （ ）
A 、1-
B 、0
C 、2
1 D 、1
2.练习当n 取什么值时，y ＝（n 2+2n ）x
是反比例函数?
（二）考察函数图象和性质
重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用 反比例函数x
k y =
的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四
象限。

它们关于原点对称、反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。

画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；
（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是0x ≠，因此不能把两个分支连接起来。

（3）由于在反比例函数中，x 和y 的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势。

反比例函数的性质
x
k y =
)0k (≠的变形形式为k x y =（常数）所以：
（1）其图象的位置是：
当0k >时，x 、y 同号，图象在第一、三象限； 当0k <时，x 、y 异号，图象在第二、四象限。

（2）若点(m,n)在反比例函数x
k y =
的图象上，则点（-m,-n ）也在此图象上，故反比例函数的图象
关于原点对称。

（3）当0k >时，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；
当0k <时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大； 例1. 在反比例函数y = x
k 3-的图象上，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围
为 。

例2. 反比例函数y =
x
6的图象上有三点（x 1，y 1）、（x 2，y 2
）、（x 3，y 3），其中x 1＜x 2＜0＜x 3，
则y 1，y 2，y 3用“＜”连接 。

例3.如图，函数y ＝
k x
与y ＝-kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图像大致为（ ）
练习：
1、 已知 2(1)m y m x -=+是反比例函数，则函数的图象在 （ ） A 、一、三象限 B 、二、四象限 C 、一、四象限 D 、三、四象限
2、 函数2y kx =-与k y x
=（k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
3、 已知反比例函数x
k y =
的图象经过点P(一l ，2)，则这个函数的图象位于（ ）
A ．第二、三象限
B ．第一、三象限
C ．第三、四象限
D ．第二、四象限
（三）考察反比例函数y ＝
x
k
（k 为常数，且0k ≠）中k 的几何意义
例1.点A 是反比例函数图象上的一点，过A 作AB ⊥y 轴于B 点，若△ABO 面积为2，则反比例函数解
析式为 。

变形1：点A 是反比例函数图象上的一点，过A 作AB ⊥y 轴于B 点，点P 在x 轴上，△ABP 的面积为
2，则反比例函数解析式为 。

变形2：如图，点D 、C 为反比例函数上两点，DF ⊥x 轴于点F ，CE ⊥y 轴于E ，则△DEF 与△CEF 面积
的大小关系为 。

例1
k 的几何含义：反比例函数y ＝k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k
x
(k ≠0)上任
意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 .
练习：
1、如图1，A 、B 是函数2y x
=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面
积记为S ，则（ ）
A ． 2S =
B ． 4S =
C ．24S <<
D ．4S >
2、如图2，A 在反比例函数(0)k
y k x
=≠的图象上，A M x ⊥轴于点M ，A M O △的面积为3，则
k =
3、 如图，正比例函
数y ＝kx （k>0）与反比例函数1y x
=
的图象交于A ，C 两点，过A 点作x 轴的垂线，交x 轴于B ，过C 点作y 轴的垂线交y 轴于D ，连结AB ，BC ，CD ，AD ，则四边形ABCD 的面积为 。

（四）考察反比例函数的实际应用
例1.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x 元与日销售量y 之间有如下关系：
x （元） 3 4 5
6 y （元）
20
15
12
10
（1） 根据表中的数据，在平面直角坐标系中描出实数对（x ，y ）的对应点；
（2） 猜测并确定y 与x 之间的函数关系式，并画出图象；
（3）设经营此卡的销售利润为w 元，试求出w 与x 之间的函数关系式，若物价局规定此卡的售价最
高不超过10元/个，请求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大销售利润？ 解题思路：（1）注意两个变量之间的关系。

（2）观察数据特点xy=60,可知y 与x 之间的反比例函数
关系；（3）注意销售利润=（销售单价-进价）×销售数量即：w=(x-2) y= (x-2)
60x
O
B
x
y
C A 图1
则 w=60-120x
由于x ≤10当w=10时y 最大
（五）反比例函数的综合问题
例1.如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数m y x
的图象交于A(-2，
1)、B(1，n)两点。

(1) 求上述反比例函数和一次函数的表达式；
(2) 观察图象，写出一次函数值小于反比例函数值的x 的取值范围？ (3) 连接AO ，BO ，求△AOB 的面积。

练习：
1.如图，Rt △AOB 的顶点A 是一次函数y =－x +m +3的图象与反比例函数y =x
m 的图象在第二象限的交
点，且S △AOB =1，求点A 的坐标
.。