工程力学 第7章 习题

习题7-1图

CE

(a)

习题7-2图 C A (kN)N x (a)

习题7-3图

第7章 弹性杆件横截面上的正应力分析

7－1 桁架结构受力如图示，其上所有杆的横截面均为20mm ×50mm 的矩形。试求杆CE 和杆DE 横截面上的正应力。

解：图（a ）中，54

cos =θ （1）

截面法受力图（a ） 0=∑D M ，03)515(4=⨯+-⨯CE F （2） F CE = 15 kN

0=∑x F ，40cos =θDE F （3）

（1）代入（3），得F DE = 50 kN ∴ 1505

.002.010

153

=⨯⨯=

=A F CE CE σMPa 50==A

F DE DE σMPa

7－2 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度p = 10kN/m ，在自由端D 处作用有集中呼F P = 20 kN 。已知杆的横截面面积A = 2.0×10-4m 2，l = 4m 。试求：

1．A 、B 、E 截面上的正应力；

2．杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。

解：由已知，用截面法求得 F N A = 40 kN F N B = 20 kN F N E = 30 kN

（1）200100.2104043

N =⨯⨯==-A F A A σMPa 100N ==A

F

B B σMPa 150N ==A

F

E E σMPa

（2）200max ==A σσMPa （A 截面）

7－3 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷F P 通过两端的刚性板加在杆上。试： 1．写出杆横截面上的正应力与F P 、d 、D 、E c 、E a 的关系式；

2．若已知d = 25mm ，D = 60mm ；铜和铝的单性模量分别为E c = 105GPa 和E a = 70GPa ，F P = 171 kN 。试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。 解：1．变形谐调：

a

a Na c c Nc A E F

A E F = （1） P Na Nc F F F =+ （2）

P a a c c c

c Nc F A E A E A E F +=

P a

a c c a

a Na F A E A E A E F +=

∴ ⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

-+==-⋅+⋅=

+==4)(π4π)

(4

π4π22a

2

c P

a a Na a 22a 2c P a a c c P c c Nc c d D E d E F E A F d D E d E F E A E A E F E A F c σσ

2． 5.83)025.006.0(π1070025.0π10105101711010542

29293

9c =-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=σMPa

6.55105

70

5.83c a c a =⨯

==E E σσMPa 7－4 图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷F P 通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。试：

1．导出复合材料柱横截面上正应力与F P 、b 0、b 1、h 和E a 、E s 之间的关系式；

习题7-4图

习题7-5图

习题7-6图

2．已知F P = 385kN ；E a = 70GPa ，E s = 200GPa ；b 0 = 30mm ，b 1 = 20mm ，h = 50mm 。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。 解：变形谐调：

a a Na s s Ns A E F

A E F = （1）

P Na Ns F F F =+

（2）

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

+=+=P a a s s a a Na

P a

a s s s s Ns F A E A E A E F F A E A E A E F

1． a

1s 0P

s 1a 0s P s s Ns s 22hE b hE b F E h b E h b E F E A F +=⋅+=-=σ a

1s 0P

a a Na a 2hE

b hE b F E A F +-=-=σ 2． 175107005.002.021020005.003.0103850200993

9s -=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=

σMPa （压）

25.61200

70

175175s a a -=-=-=

E E σMPa （压） 7－5 从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。试求下列两种情形下h 与b 的比值：

1．横截面上的最大正应力尽可能小； 2．曲率半径尽可能大。

解：1．)

(66

222b d b M bh M W M z

z z z -=

==σ

03)(d d d d 2232=-=-=b d b bd b

b W z d 3

3

=

b 22223

2d b d h =

-= ∴ 2=b

h

（正应力尽可能小）

2．

z

z z EI M =ρ1

12123

223h h d bh I z -=

= 0d d =h I z ，得224

3

d h = 22224

1

d h d b =-=

∴ 3=b

h

（曲率半径尽可能大）

7－6 梁的截面形状为正方形去掉上、下角，如图所示。梁在两端力偶M z 作用下发生弯曲。设正方形截面时，梁内最大正应力为0σ；去掉上、下角后，最大正应力变为0max σσk =，试求： 1．k 值与h 值之间的关系；

2．max σ为尽可能小的h 值，以及这种情形下的k 值。

解：3400h I zh =

，3

3

00h W z = 30

max 0030h M

W M z z z ===σσ

y y h y h I I I h h

z zh zh d )(223

2024

00

0--=-=⎰