第三节 分支定界法

运筹学教程
例 含有相互排斥的约束条件的问题 设工序B的每周工时约束条件为0.3x1+0.5x2≤150,式(1) 现有一新的加工方式,相应的每周工时约束条件为0.2x1+0.4x2≤120 ,式(2) 如果工序B只能选择一种,那么(1)和(2)变成相互排斥的约束条件.
0, B采用原加工方式 y1 多余的约束 1 , B 不采用原加工方式 y2 0, B采用新加工方式 1, B不采用新加工方式
运筹学教程
每一次分支得到的子问题最优解的目标函数值，都小于 或等于分支前问题的最优解的目标函数值。非整数解的 最大值作为新的上界。 如果某一个子问题的最优解是整数解，就作为整数规划 最优目标函数值的下界。多个时取最大值。最后的下界 为整数规划的最优解。 如果某一个子问题的解还不是整数解，但这个非整数解 的目标函数值已经小于这个下界，那么这个子问题就不 必再进行分支。不然需重复进行分支。
运筹学教程
B12
（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
B2：解 （1，7/3 ） Z21 = 10/3
B1：解 （2，23/9 ） Z11 = 41/9 B12：解 （33/14，2 ） Z12 = 61/14 B121：解 （3，1 ） Z121 = 4
B121
B122
B122：解 （2，2 ） Z122 = 4
消耗 资源 产品
一、0—1规划数学模型
产品1
产品2
产品3
资源量
A
B C
2
2 1
4
3 2 5 150 10
8
4 3 6 200 12
500
300 100
单件费用 4 固定费用 100 单件售价 8
运筹学教程
解：xj是生产第j种产品的产量。 总收益等于销售减去所生产的产品的总费用。建立数学模型时，无法确 定某种产品是否生产，不能确定相应的固定费用是否发生，用0-1变量解 决此问题。
它的可行域为图中OABCDE （示意图），并设最优解位于 C。如果这个最优解中所有的 变量都是整数，则已经得到整 数规划的最优解。如果其中某 X2 一个变量Xr不是整数，则在可 行域中除去一块包含这个最优 E 解但不包含任何整数解的区域 Ir<Xr<Ir+1（其中Ir是变量Xr 的整数部分），线性规划的可 行域被划分成不相交的两部分， 分别以这两部分区域作为可行 域，用原来的目标函数，构造 两个子问题Sub1和Sub2： O
B2
Max
1
2
运筹学教程
B1
Max
（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
B2：解 （1，7/3 ） Z21 = 17/3
B1：解 （2，23/9 ） Z11 = 41/9
B11
B12：解 （33/14，2 ） Z12 = 61/14
B12
Z = X 1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥2 X1 ， X2 ≥ 0 Max Z = X 1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥2 X2 ≥ 3 X1 ， X2 ≥ 0 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥2 X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0
分枝
D C
B
Sub1
Sub2 Ir Xr Ir+1 A
X1
运筹学教程
Sub1
max Z CX AX b st. xr I r X 0
Sub2 max Z CX
AX b st . xr I r 1 X 0 由于这两个子问题的可行域都是原线性规划问题可行域的 子集，这两个子问题的最优解的目标函数值都不会比原线 性规划问题的最优解的目标函数值更大。如果这两个问题 的最优解仍不是整数解，则继续选择一个非整数的变量， 继续将这个子问题分解为两个更下一级的子问题。这个过 程称为“分支（Branch）”。
运筹学教程
（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6 B2：解 （1，7/3 ） Z21 = 10/3 B1：解 （2，23/9 ） Z11 = 41/9
松弛问题 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ， X2 ≥ 0 B1 Max Z = X 1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥2 X1 ， X2 ≥ 0 Z = X 1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≤1 X1 ， X2 ≥ 0
确定整数解目标函数值上下界并不断更新 ，“剪除”目 标函数值小于下界的分支的过程，称为定界（Bound）。
运筹学教程
整数规划问题的求解方法 分支定界法图解整数规划
松弛问题 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ， X2 ≥ 0
该整数规划松弛问题的解为： （X1 ，X2 ）= （3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
当y1=1,y2=0;采用 新工艺,(2)式成立;
0.3 x1 0.5 x2 150 My1 st .0.2 x1 0.4 x2 120 My2 y1 y2 1
运筹学教程
例 选址问题 某公司在城市的东、西、南三区建立门市部。拟议 中有 7 个位置（地点）Ai（i=1，2，…，7）可供选择。 公司规定 在东区，由 A1，A2，A3 三个点中至多选两个； 在南区，由 A4，A5 两个点中至少选一个； 在西区，由 A6，A7 两个点中至少选一个。 如果选用 Ai 点，设备投资估计为 bi 元，每年可获 利润估计为 ci元，但投资总额不能超过 B 元。问公司选 择哪几个点可使年总利润最大？
对于最大化问题，可以按照从小到大的顺序排列；
对于最小化问题，可以按照从大到小的顺序排列；
min Z 3x1 7 x2 x3 x4 3x1 7 x2 x3 x4 1 x 2x 6x 4x 8 1 2 3 4 st. 5 x1 3x2 x4 5 x1 , x2 , x3 , x4 1or0
T (1,1,..., 1)T , 选择（A1,...An） ( x1 ,...xn )T : T (1,1,...,0)T , 选择（A1,...An）
运筹学教程
例：固定费用问题 有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产品单件费用、 资源消耗量以及生产产品的固定费用。要求制定一个生产计 划，总收益最大。
运筹学教程
说明: 1、在B121,B122 的可行域中不可能存在比以上所求解 的2个最优解更好的解。 2、目标函数值maxZ=4作为IP规划的最优解的目标 函数的一个界限（MAX,下界;MIN,上界）；
求极小问题时，LP问题的解是IP问题的下界。每次分支后的子 问题最优解的目标函数值都大于或等于分支前的最优值。如分 支中得到整数解，则最小的整数解为上界。如分支的目标函数 值大于上界，则停止分支。
运筹学教程
解：求解过程可以列表表示：
(x1,x2,x3)
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
Z值
0 5 -2 3 3 8 1 6
约束条件 a b c d
过滤条件
z ≥0 z ≥5
z ≥8
运筹学教程
在求解0-1整数规划问题，为了进一步减少运算量，常按照目标函数中 各个变量系数的大小顺序重新排列各个变量，以便于最优解有可能较早 出现。
运筹学教程
A X1=3/2,X2=10/3 Z=29/6
x1 ≤1 x1 ≥ 2
C X1=1,X2=7/3 Z=10/3
x2 ≤2
B X1=2,X2=23/9 Z=41/9
x2 ≥ 3
D X1=33/14,X2=2 Z=61/14
x1 ≤2 x1 ≥ 3
无可行解
E X1=3,X2=1 Z=4
F X1=2,X2=2 Z=4
1, 生产第j种产品（x j 0） yj 0, 不生产第j种产品（x j 0） max Z 4 x1 5 x2 6 x3 100y1 150y2 200y3
分析：如果生产第j种产品， xj>0. 约束条件xj ≤ Mjyj,yj=1;
2 x1 4 x2 8 x3 500 如果不生产第j种产品， 2 x 3 x 4 x 300 2 3 1 xj=0. x1 2 x2 3 x3 100 x1 M 1 y1 约束条件xj≤Mjyj, st . x2 M 2 y 2 x3 M 3 y3 yj=1或0。当yj=1不利于目 标函数的最大化，因此在最 x j 0且为整数 y j 1或0 优解必然是yj=0。 M j为x j的上界, 例如根据第三个约束条 件，M 1 100, M 2 50, M 3 34
运筹学教程
第三节 分支定界法
（Branch and Bound， 简称B&B）
基本思想如下：
首先不考虑变量的整数约束，求解相应的线性规 划问题，得到线性规划的最优解。 设线性规划问题： max Z CX
AX b st. X 0
最优解为Z。则Z为IP问题解Z*的上界，Z*≤Z。
运筹学教程
运算36次
min Z 7 x2 3x1 x4 x3 3x1 7 x2 x3 x4 1 x 2x 6x 4x 8 1 2 3 4 st. 5 x1 3x2 x4 5 x1 , x2 , x3 , x4 1or0

运筹学教程
第四节
0—1型整数规划
一、0-1变量及其应用 某些特殊问题，只做是非选择，故变量设置简化为0或1， 1代表选择，0代表不选择。
选取某个特定方案 1,当决策选取方案 x 0,当决策不选取方案 问题含有较多的要素， 每项要素有2种选择，用 0 1变量描述。 有限要素E1, E 2,...En , 每项E j 有两种选择A j , A j 1, E j 选择A j xj 0, E j 选择 A j
例：求解0 1整数规划 max Z 3 x1 2 x2 5 x3 (a) x1 2 x2 x3 2 x 4x x 2 (b) 1 2 3 st . x1 2 x2 2 (c ) 4x x 2 (d ) 2 3 x1 , x2 , x3 1or0
运筹学教程
不同的搜索策略会导致不同的搜索树，一般 情况下，同一层的两个子问题，先搜索目标 函数比较大的较有利（如果是极小问题，则 应先搜索目标函数值小的较为有利）。这样 可能得到数值比较大的下界，下界越大被剪 去的分支越多。 分支定界算法对于混合整数规划特别有效， 对没有整数要求的变量就不必分支，这将大 大减少分支的数量。
Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥2 X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥3 X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 2≤ X1 ≤2 X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0
运筹学教程
建立模型 引入 0-1 变量
xi =
1 0
当 Ai 点被选用 （i=1，2，…，7） 当 Ai 没点被选用
max z = ∑cixi ∑bixi ≤ B x1 + x2 + x3 x4 + x5 xi = 0，或1
≤2 ≥1 x6 + x7 ≥ 1
运筹学教程
wenku.baidu.com
二、0-1型整数规划的解法
求解思路： 检测可行解的目标函数值，根据其目标函数值可以产生一个 过滤条件，对于目标函数数值比它差的变量组合删除，这样 有效减少运算次数，使最优解快速找到。