荷载与结构设计方法作业4(可靠度参考答案)

可靠度作业参考答案

1. 已知一伸臂梁如图所示。梁所能承担的极限弯矩为M u ，若梁内弯矩M >M u 时，梁便失败。现已知各变量均服从正态分布，其各自的平均值及标准差为：荷载统计参数，4kN 0.8kN p p μσ==，；跨度统计参数，6m 0.1m l l μσ==，；极限弯矩统计参数，20kN m u

M μ=⋅，2kN m u

M σ=⋅。试用中

心点法计算该构件的可靠指标β。

习题1图

解：（1）荷载效应统计参数

PL M S 31=

= m kN L P M S -=⨯⨯===8643

1

31μμμμ

067.031312

2

2

2=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==L

L P P L P M S μσμσδδδδ m kN S S S -=⨯==535.0067.08.δμσ

（2）抗力统计参数

m kN Mu R -==20μμ m kN Mu R -==2σσ

（3）计算可靠指标

80.5535

.028202

2

22=+-=

+-=

S

R

S R σ

σμμβ

2. 假定钢梁承受确定性的弯矩M =128.8kN ⋅m ，钢梁截面的塑性抵抗矩W 和屈服强度f 都是随机变量，已知分布类型和统计参数为：

抵抗矩W ：正态分布，μW =884.9⨯10-6m 3，δW =0.05； 屈服强度f ：对数正态分布，μf =262MPa ，δf =0.10； 该梁的极限状态方程：Z = Wf -M =0 试用验算点法求解该梁可靠指标。

解： 2

3/4424505.0109.884mm N w =⨯⨯=σ

2/2.2610.0262mm N f =⨯=σ

（1）取均值作为设计验算点的初值

33*109.884mm W W ⨯==μ 2

*/262mm N f f ==μ

（2）计算αi 的值

**

f W

g X

=∂∂

**

W f

g X

=∂∂

447

.0)

2.26109.884()44245262(44245

262)()(2

3

2

2

2*

*

*

=⨯⨯+⨯⨯=

∂∂+∂∂∂∂=

f X

W X

W

X W f

g W

g W

g σσσα

894

.0)

2.26109.884()44245262(2

.26109.884)()(2

3

2

322***=⨯⨯+⨯⨯⨯=

∂∂+∂∂∂∂=

f X W X f

X

f f

g W g f g

σσσα

（3）计算X i *

βββσαμ52.19777109.88444245447.0109.8843

3*-⨯=⨯⨯-⨯=-=W W W W

βββσαμ423.232622.26894.0262*-=⨯⨯-=-=f f f f

(4)求解β值

代入功能函数W*f*-M=0

0108.128)423.23262)(52.19777109.884(63=⨯---⨯ββ

得： β1=4.32 β2=51.60(舍去) （5）求X i *的新值

将β=4.32代入 i X i Xi i X σβαμ-=*

3

33*107.79944245447.031.4109.884mm W W W W ⨯=⨯⨯-⨯=-=σβαμ

2*

/1.1612.26894.031.4262mm N f

f f f =⨯⨯-=-=σβαμ

重复上述计算，有

αW =0.322 αf =0.946

W *=824.1⨯103mm 3 f *=156.3N/mm 2 β=4.262

进行第三次迭代,求得β=4.261，与上次的β=4.262比较接近，已收敛。 取β=4.26，相应的设计验算点

W *=827.4⨯103mm 3 f *=155.7N/mm 2

3. 某随机变量X 服从极值I 型分布，其统计参数为：μX =300，δX =0.12。试计算x *=μX 处的当量正态化参数。

解：3612.0300=⨯==X X X δμσ

0356.0361

616=⋅

=

⋅

=

π

σπX a

7985.2833000356

.05772.05772.0=+-=+-=X a μμ

令5772.0)7985.283300(0356.0)(*

*=-=-=μX a y

有 0114.0*)]e xp (e xp [*)ex p(*)(=---⋅=y y a X f X

5704.0*)]ex p(ex p[*)(=--=y X F X

421.340114.0/)]5704.0([*)(/)]}([{1*1'=Φ=Φ=--ϕϕσX f X F X X X

896.29336)]5704.0(300)]([*1'*1'=⨯Φ-=⋅Φ-=--X X X X F X σμ

4. 某结构体系有4种失效可能，其功能函数分别g 1、g 2、g 3和g 4。经计算对失效模式1，β1=3.32，P f 1=Φ(-3.32)=4.5⨯10-4；失效模式2，β2=3.65，P f 1=Φ(-3.65)=1.33⨯10-4；失效模式3，β3=4.51，P f 3=Φ(-4.51)=3.25⨯10-6；失效模式4，β4=4.51，P f 3=Φ(-4.51)=3.25⨯10-6。已知g 1与g 2的相关系数为0.412，g 1与g 3的相关系数为0.534，g 1与g 4的相关系数为0.534；g 2与g 3的相关系数为0.856，g 2与g 4的相关系数为0.534。试用窄界限估算公式计算该结构体系的失效概率。 解：（1）选取失效模式代表

按失效概率由小到大依次排列，分别为失效模式1、失效模式2、失效模式3和失效模式4。以失效模式1为依据，g1(x)与g2(X)、g3(X)、g4(X)的相关系数，分别为： ρ12=0.412；ρ13=0.534；ρ14=0.534

取ρ0=0.8，失效模式2、3、4均不能用失效模式1代表。

以失效模式2为依据，g2(X)与g3(X)、g4(X)的相关系数，分别为： ρ23=0.856；ρ24=0.534

失效模式2、3可用失效模式2代表

因此，4种失效模式可由失效模式1、失效模式2和失效模式4代表 （2）计算共同事件发生的概率 对失效模式1和2， 有：

6212

1122110756.2)51.2()32.3(1)()(-⨯=-Φ⋅-Φ=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛---Φ-Φ=ρβρββA P 6212

2121210033.3)993.1()65.3(1)()(-⨯=-Φ⋅-Φ=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---Φ-Φ=ρβρββB P Max[P(A)，P(B)]≤P （E 1E 2）≤P(A)+P(B) 3.033⨯10-6 ≤P （E 1E 2）≤5.789⨯10-6

对失效模式1和4， 有：

72141144110690.2)24.3()32.3(1)()(-⨯=-Φ⋅-Φ=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛---Φ-Φ=ρβρββA P 72144141410540.4)08.1()51.4(1)()(-⨯=-Φ⋅-Φ=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---Φ-Φ=ρβρββB P