第九章偏微分方程数值解(2013-09)
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考虑下列偏微分方程的边界问题的解
2u 2u 2 2 xy ( x y ) 2 2 x y
其边界条件为
-----------（1）
y3 x3 u (1, y ) ; u ( x,1) . 6 6
u(0, y) u( x,0) 0
-----------（2）
使用数值微分的方法求解这个偏微分方程
11
系数矩阵的输入可以使用MATLAB中的Toeplitz函数。 方程组可以采用追赶法求解。 例题:横截面为矩形的无限条长槽由3块接地导体 板构成,槽盖板接直流电压100V,求矩形槽的电位 分布。 解:在直角坐标系中, 矩形槽中的电位函数 满足拉普拉氏方程:
y
0
100
0
2 2 2 0 2 x y 其边界条件为第一类边 界条件
u
2
in
泊松方程
2u 0
拉氏方程
2
三、抛物型方程
一般形式:
u d (cu ) au f t in
典型方程: 如热传导方程 u a 2 2u t 其中:
是平面有界区域, c, a, f , u是定义在上的实(复)函数， d是定义在上的复函数.
yj
O
xi
1
x
1 h N
6
利用数值求导公式代替方程中的偏导数
u( xi , y j ) x
u( xi , y j ) y
u( xi 1 , y j ) u( xi , y j ) h
u( xi , y j 1 ) u( xi , y j )
O( h)
ห้องสมุดไป่ตู้O( )
记
b h 2 ( f 11 , f 21 , f N 1 ,1 , f 12 , f 22 , , f N 1 , 2 , , f 1 , N 1 , f 2 , N 1 , , f N 1 , N 1 )
根据边界条件（2）
u0 j 0 , ui 0 0
xi3 u Nj ; uiN . 6 6
2 u( xi , y j ) x 2
2 u( xi , y j ) y
2
u( xi 1 , y j ) 2u( xi , y j ) u( xi 1 , y j ) h2
O( h 2 )
O( )
7
u( xi , y j 1 ) 2u( xi , y j ) u( xi , y j 1 )
5
从边界条件可知，该方程的求解区域为 矩形区域 ： 0 x 1,0 y 1
y 1
将等距分割成N N的网格
得到( N 1) ( N 1)个交叉点 ( xi , y j ), i 0 ,1, , N ; j 0 ,1, , N
考虑xi 和y j的步长均为
3
边界条件分类
1、第一类边界条件:在边界上给出了u的值
u s ( s, t )
2、第二类边界条件:在边界上给出了u的变化率
u | s ( s, t ) n
3、第三类边界条件:混合边界条件
u (u h ) |s ( s, t ) n
4
偏微分方程数值求解 --------------利用数值微分方法
7 100 80 5 60 40 20 3 0 10 15 5 5 0 0 10 1 2 4 6 8 10 12 2 4 6
13
i 2 , j 1时
u31 u11 4u21 u22 u20 h 2 f 21 u11 4u21 u31 u22 h 2 f 21
i 3, j 1时
u41 u21 4u31 u32 u30 h 2 f 31 u21 4u31 u41 u32 h 2 f 31
9
y3 j
根据
i 1, j 1时
ui 1 , j ui 1 , j 4ui , j ui , j 1 ui , j 1 h 2 f ij
u21 u01 4u11 u12 u10 h 2 f 11 u12 h 2 f 11
4u11 u21
i 1,2 , , N 1; j 1,2 , , N 1
用uij 表示u( xi , y j )的近似值，记f ij xi y j ( xi2 y 2 j ), 并整理后得
ui 1 , j ui 1 , j 4ui , j ui , j 1 ui , j 1 h 2 f ij
第九章 偏微分方程数值解简介 偏微分方程分类:
一、双曲型方程
一般形式:
2u d 2 (cu ) au f t
in
典型方程: 如振动方程,电报方程
2u 2 2 a u 2 t
1
二、椭圆型方程
一般形式:
(cu) au f
典型方程: 如泊松方程、拉氏方程
0
0
x
12
( x, y) x 0 0 , ( x, y ) y 0 0 ( x, y) x a 0 , ( x, y) y b 100
取步长h=1,设x,y方向的网格数为m=16,n=10, 则共有16*10=160个网孔,17*11=187个节点,其 中槽内节点(电位待求点)15*9=135个,边界节点 (电位已知)187-135=52，设迭代精度为1e-6。
2
将以上几式代入原方程（1），得
u( xi 1 , y j ) 2u( xi , y j ) u( xi 1 , y j ) h
2
u( xi , y j 1 ) 2u( xi , y j ) u( xi , y j 1 )
2
xi y j ( xi2 y 2 j)
依此类推，可得方程组（3）的系数矩阵
10
A11 I A
I A22 I I AN 2 , N 2 I
R( N 1)2 ( N 1)2 I AN 1 , N 1
其中
4 1 1 4 1 ( N 1)( N 1) R Aii i 1, 2 , , N 1 1 4 1 1 4
-----------（3）
i 1,2 , , N 1; j 1,2 , , N 1
这是一个关于uij的线性方程组, 共有( N 1)2 个未知量
8
将（3）的未知量记为
u (u11 , u21 , , u N 1 ,1 , u12 , u22 , , u N 1 , 2 , , u1 , N 1 , u2 , N 1 , , u N 1 , N 1 )
2u 2u 2 2 xy ( x y ) 2 2 x y
其边界条件为
-----------（1）
y3 x3 u (1, y ) ; u ( x,1) . 6 6
u(0, y) u( x,0) 0
-----------（2）
使用数值微分的方法求解这个偏微分方程
11
系数矩阵的输入可以使用MATLAB中的Toeplitz函数。 方程组可以采用追赶法求解。 例题:横截面为矩形的无限条长槽由3块接地导体 板构成,槽盖板接直流电压100V,求矩形槽的电位 分布。 解:在直角坐标系中, 矩形槽中的电位函数 满足拉普拉氏方程:
y
0
100
0
2 2 2 0 2 x y 其边界条件为第一类边 界条件
u
2
in
泊松方程
2u 0
拉氏方程
2
三、抛物型方程
一般形式:
u d (cu ) au f t in
典型方程: 如热传导方程 u a 2 2u t 其中:
是平面有界区域, c, a, f , u是定义在上的实(复)函数， d是定义在上的复函数.
yj
O
xi
1
x
1 h N
6
利用数值求导公式代替方程中的偏导数
u( xi , y j ) x
u( xi , y j ) y
u( xi 1 , y j ) u( xi , y j ) h
u( xi , y j 1 ) u( xi , y j )
O( h)
ห้องสมุดไป่ตู้O( )
记
b h 2 ( f 11 , f 21 , f N 1 ,1 , f 12 , f 22 , , f N 1 , 2 , , f 1 , N 1 , f 2 , N 1 , , f N 1 , N 1 )
根据边界条件（2）
u0 j 0 , ui 0 0
xi3 u Nj ; uiN . 6 6
2 u( xi , y j ) x 2
2 u( xi , y j ) y
2
u( xi 1 , y j ) 2u( xi , y j ) u( xi 1 , y j ) h2
O( h 2 )
O( )
7
u( xi , y j 1 ) 2u( xi , y j ) u( xi , y j 1 )
5
从边界条件可知，该方程的求解区域为 矩形区域 ： 0 x 1,0 y 1
y 1
将等距分割成N N的网格
得到( N 1) ( N 1)个交叉点 ( xi , y j ), i 0 ,1, , N ; j 0 ,1, , N
考虑xi 和y j的步长均为
3
边界条件分类
1、第一类边界条件:在边界上给出了u的值
u s ( s, t )
2、第二类边界条件:在边界上给出了u的变化率
u | s ( s, t ) n
3、第三类边界条件:混合边界条件
u (u h ) |s ( s, t ) n
4
偏微分方程数值求解 --------------利用数值微分方法
7 100 80 5 60 40 20 3 0 10 15 5 5 0 0 10 1 2 4 6 8 10 12 2 4 6
13
i 2 , j 1时
u31 u11 4u21 u22 u20 h 2 f 21 u11 4u21 u31 u22 h 2 f 21
i 3, j 1时
u41 u21 4u31 u32 u30 h 2 f 31 u21 4u31 u41 u32 h 2 f 31
9
y3 j
根据
i 1, j 1时
ui 1 , j ui 1 , j 4ui , j ui , j 1 ui , j 1 h 2 f ij
u21 u01 4u11 u12 u10 h 2 f 11 u12 h 2 f 11
4u11 u21
i 1,2 , , N 1; j 1,2 , , N 1
用uij 表示u( xi , y j )的近似值，记f ij xi y j ( xi2 y 2 j ), 并整理后得
ui 1 , j ui 1 , j 4ui , j ui , j 1 ui , j 1 h 2 f ij
第九章 偏微分方程数值解简介 偏微分方程分类:
一、双曲型方程
一般形式:
2u d 2 (cu ) au f t
in
典型方程: 如振动方程,电报方程
2u 2 2 a u 2 t
1
二、椭圆型方程
一般形式:
(cu) au f
典型方程: 如泊松方程、拉氏方程
0
0
x
12
( x, y) x 0 0 , ( x, y ) y 0 0 ( x, y) x a 0 , ( x, y) y b 100
取步长h=1,设x,y方向的网格数为m=16,n=10, 则共有16*10=160个网孔,17*11=187个节点,其 中槽内节点(电位待求点)15*9=135个,边界节点 (电位已知)187-135=52，设迭代精度为1e-6。
2
将以上几式代入原方程（1），得
u( xi 1 , y j ) 2u( xi , y j ) u( xi 1 , y j ) h
2
u( xi , y j 1 ) 2u( xi , y j ) u( xi , y j 1 )
2
xi y j ( xi2 y 2 j)
依此类推，可得方程组（3）的系数矩阵
10
A11 I A
I A22 I I AN 2 , N 2 I
R( N 1)2 ( N 1)2 I AN 1 , N 1
其中
4 1 1 4 1 ( N 1)( N 1) R Aii i 1, 2 , , N 1 1 4 1 1 4
-----------（3）
i 1,2 , , N 1; j 1,2 , , N 1
这是一个关于uij的线性方程组, 共有( N 1)2 个未知量
8
将（3）的未知量记为
u (u11 , u21 , , u N 1 ,1 , u12 , u22 , , u N 1 , 2 , , u1 , N 1 , u2 , N 1 , , u N 1 , N 1 )