电磁场与电磁波第三版之5

安培环路定律的微分形式
真空中磁场的基本方程
B dS 0
S
H dl ' I
l
B 0 H J
例 5.2.1 半径为a 的无限长直导体通有电流I，计算导体内外的基本场变
量 H r。（教材例5.2.1)
解：很显然，场变量与座标 , z 无关，磁感应线是圆心在导线轴上的一簇同
2

当 l 时
A

ez
0I 4


ln

l 2


l 2
2





l 2



l 2
2
1/ 2 r2

1/ 2
r2



ez
0I 4
ln

l r
2

ez
0I 2
ln
l r
若 l ，则 A
这时可在A 的表达式中附加一个常矢量
C

ex
0I 2
ln
r0 l
则
A

ez
0I 2
C

ez
0I 2

ln
l r

ln
r0 l


ez
0I 2
ln
r0 r
磁感应强度B 等于
B


A

e
Az r
引入磁化电流后，媒质的磁化效应由磁化电流表征，即空间的磁场由传导电流和 磁化电流产生。而磁化电流和传导电流的实质相同，则
c H dl I , S B dS 0
c
B 0

dl

I

Im

I

S Jm dS
H dl I 微分形式 c
H J
式中 I, J 均为传导电流
体电流 Jd 、面电流 JsdS 、线电流 Idl 产生的矢量位分别为
dA 0Jd 4R
, dA 0JsdS 4R
, dA 0Idl 4R
例 5.3.1 求无限长直线电流的矢量位A 磁感应强度B。（教材例5.3.1)
解：首先计算一根长度为 l 的长直线电流I产生的矢量位。
◇ 设分界面上的自由电流面密度为Js ◇ 则回路所围面积上通过的电流为
I Js Sl （其中 S 的方向为
回路所围面积的法 线方向）
◇ 因为回路是任意的，其所围 面的法向也是任意的，因而有
磁场强度H 的边界条件：nH1 H2 Js
若分界面上没有自由的表面电流
nH1 H2 0
0 4 c R3
◇ 关系式 B 0H 称为真空的磁特性方程或本构关系。
5.2 真空中磁场的基本方程
一、磁场的散度
设B 是由直流回路c 产生的磁感应强度，S 为一闭合曲面，则磁感应强度B 穿过S
的通量为
c
B dS
S
0Idl 1d
c 4
R
Idl R
第 5 章 恒定磁场分析
◇ 实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围的媒 质中 ，不仅有恒定电场 ，同时还有不随时间变化的磁场 ，简称 恒 定磁场。
◇ 首先建立真空与磁介质内恒定磁场的基本方程；引入矢量位A;确 立磁场的边界条件；在特定条件下引入标量位m 。
◇ 最后讨论自感和互感的计算、磁场能量和磁场力。

e
0I 2πr
磁场强度H 等于
H

B 0

e
I 2r
与例5.2.1直接积分所得的结果相 同
5.4 磁偶极子的矢量位和标量位
一面积为S,通以电流I 的小圆电流环称为磁偶极子，定义矢量Pm IS 为磁偶极子的 磁偶极矩。
P r, , 0
r
R
如图建立坐标系，与x 轴对称的两个电流元 Idl 在考
设两种不同的磁介质 1, 2，其分界面的法线方向为n。在分界面上作一小圆柱形表 面，两底面分别位于介质两侧，底面积为 S ，h为无穷小量。
n
S
B1n
B1
1
h
2
B2
B2n
将磁场基本方程 B dS 0 用于所
作的圆柱形表面。 S
方程左边
B dS B1 nS B2 n S B S '
0 1 m H 0rH H
B H（为磁介质中的本构关系）
令H B M 0
（为磁介质中的磁场强度矢量）
m 磁化率 r 媒质的相对磁导率（除铁磁性物质外r 1 ）
于是磁介质中的基本方程
0r 媒质的磁导率
5.7 磁场的边界条件
一、磁感应强度B的边界条件
◇ 恒定磁场的源变量是电流密度矢量 J r
◇
第2章中已由安培力定律引入了恒定电流元产生的磁感应强度
dB

0 4

Idl R3
R

◇ 任意电流闭合回路c 产生的磁感应强度
B

0 4
c
Idl R R3
◇ 定义任意电流闭合回路c 产生的磁场强度
B 1 Idl R H
l
H dl '

l
I 4
c
dl ' eR R2
dl
经分析计算该积分结果为
c
H dl ' I
安培环路定律的积分形式
Idl
l
斯托克斯定理
式中 I 是回路 l 所包围电流的代数和
R
Idl'
H dS J dS
s
S
l
（式中 l 是S 的周界）
得 H J
由实验证明，除铁磁性物质外，M 和
H之间有一定的线性关系，即
将 Jm M
M mH
得 B dl I M dS
c 0
S
I M dl 斯托克斯定理 c


c

B 0

M


dl


I
得
H

B 0

mH
B 0 H mH
入
H J
矢量磁位
其单位为T·m（特·米）或Wb/m（韦/米）
规定其散度 A 0 （库仑规范）
得 1 A J
0
即 A 2A 0J
得 2 A 0J 矢量位的泊松方程
在直角坐标系中2 A 0J 可分解为三个标量泊松方程
5.1 恒定磁场分析的基本变量 5.2 真空中磁场的基本方程 5.3 矢量磁位 5.4 磁偶极子的矢量位和标量位 5.5 物质的磁化现象 磁化强度 5.6 磁介质中磁场的基本方程 5.7 磁场的边界条件 5.8 标量磁位 5.9 自电感 互电感 5.10 磁场能量 5.11 磁场力
5.1 恒定磁场分析的基本变量
2 Ax 0J x 2 Ay 0J y 2 Az 0J z
其解


Ax

0 4

Jx R
d

Cx


Ay


0 4

J y d R
Cy

Az

0 4

Jz d R
Cz
于是，矢量位满足的泊松方程的解为
A 0 J d C 4 R



Pm

1 r

y

e

0

Pm 4r
r
3



0m
2dA dA1
式中m

pm r 4r3
称为磁偶极子的标量位
磁场的另一基本变量
H B 0
m
5.5 物质的磁化现象 磁化强度
媒质的磁化产生的物理现象和分析方法与静电场媒质的极化类同。
z
A
由线电流的矢位计算公式
dA 0Idl 4R
l
r
2
o
l 2 dz '
Pr,0, z
x


dA

ez
0I 4R



r
2

dz '
zz
'
2 1/ 2

积分可得
l
A
ez
0I 4
2 l
2
r 2
dz '


z

z
'2
1/

2

ez
0I 4
率为 ，求管壁中和管内外空气中的B，并计算铁中的 M 和 Jm等。（教材例5.7.1)
x
z
c1
H2

e

r2 b2

a2 a2

I 2r
a≤r ≤b
Ⅰ Ⅱ Ⅲc3 c2
y
解：如图建立坐标系，设 电流沿z方向，则场分布是轴
对称的，只有 分量。
利用基本方程的积分形式，有
I r2 a2
dS B

S


0 4
c
Idl eR R2
dS
因为 1 0 R
S 将矢量恒等式

c
0 Idl 4

S
eR dS R2

c
0Idl 4

s


1 R

dS
得 B dS 0
S
B r 穿过任意闭合曲面的
另外，由 nB1 B2 0 n A1 A2 0 A1 A2
B A
由
nH1 H2 0
1



A1
t

1

A2
t
例 5.7.1 铁质的无限长圆管中通过电流I，管的内外半径分别为a和b。已知铁的磁导
M

NPmd d
NPm
A/m (安 米)
式中：N 为单位体积内被磁化的分子数。
◇ 由于磁偶极子的定向排列，媒质内部出现磁化体电流，媒质表面出现磁化面电流。
◇ 磁化体电流 Jm M ◇ 磁化面电流 Jms en M（ en 为媒质表面外法线方向）
5.6 磁介质中磁场的基本方程
ln z '
z
l
z '
z 2
r2

2 l
2

ez
0I 4
ln


l 2

z



l 2

z
2

r2


l 2

z



l 2

z
2

r
1/ 2

1/
2
心圆。由基本方程
H r dl I
c
r
I 是回路c所包围电流的代数和
r a
c1
c2 H
而 H r dl Hrd H 2r
c
c
设电流 I 均匀分布于导体横截面
当 r ≤a 回路 c1 所包围的电流
I

I a2
r 2

I
r2 a2
故有
H 2r
I
r2 a2
得
H

I 2a2
r
当 r≥a 回路c2 所包围的电流 I I
oa
r
得
H

I 2r
5.3 矢量磁位
◇ 为了简化磁场的求解，通常采用间接方法。
◇ 由磁场的散度为零，引入矢量磁位。
◇ 利用磁场的旋度方程导出矢量磁位满足的微分方程。
由 B 0 B A
A 0 代
取H 沿此回路的环积分为
H dl H1 l H2 l
c
1
n
◇ 矢量 l 可写为 l S nl
H1t
◇ 方程 H dl I变为
H1
c
l
H1 H2 S n l Js Sl
2
h
S
H2
H 2t
Js
n H1 H2 Sl Js Sl
磁通量恒为零
n AdS Ad
S


c
0Idl 4

S
dSn
1 R
由 B dS Bd 0
S

得 B 0
二、磁场的旋度
设H 是由直流回路 c 产生的磁场强度，l 为一闭合曲线,则磁场强度H沿 l 的环流为
◇ 分子磁偶极矩 Pm IdS
Pm
I —分子电流，电流方向与dS方向成右手螺旋关系。
n
◇ 无外磁场作用时，媒质对外不显磁性， Pm 0
I
i 1
n
◇ 在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转， pm 0
旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致i，1 对外呈现磁
性，称为磁化现象。
◇ 用磁化强度M 表示磁化的程度，即
（a)
H2 dl H2 2r
c2

b2 a2
B2

H2

e

r2 b2

a2 a2

I 2r
(b) H1 dl H1 2r
c1
H1

e
I 2r
b≤r ≤
B1

e
z 察点 Pr,,0 产生的合成矢位只有 分量
A

e
A

e
0 a 2 I 4r 2
sin
考虑 Pm IS eza2I
a
y
得
A
0 pm er 4r 2
0 pm 4
1 r
Idl d
磁偶极子 pm 产生的磁感应强度
x
B



A

0 4
s
B1n B2n S
小
磁感应强度B 的边界条件
量小 ，圆
B1n B2n
该柱 面侧
用矢量表示
nB1 B2 0
积面 趋积 于， 零
为
h
分界面上B 的法向分量连
无 穷
续Байду номын сангаас
二、磁场强度H的边界条件
在分界面上作一小的矩形回路，其两边l 分居于分界面两侧，而高h 0 ，