运筹学第三之图与网络分析
运筹学-7、图与网络分析PPT课件
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WENKU DESIGN
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WENKU
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终止条件
所有节点都在同一连通分量中, 即生成树形成。
算法思想
从边开始,每次选择权值最小的 边加入,若形成回路则舍去,直 到生成树形成。
算法特点
适用于稀疏图,时间复杂度为 O(eloge),其中e为边数。
最小生成树问题的应用
通信网络设计
在构建通信网络时,需要在保证所有节点连通的前提下,使得建设 成本最低。最小生成树算法可以用于求解此类问题。
活动时间的估计
对每个活动进行时间估计,包括乐观时间(a)、最 可能时间(m)和悲观时间(b),并计算期望时间 (t=(a+4m+b)/6)。
项目工期的计算
根据活动的逻辑关系和网络结构,计算项目 的期望工期,并确定项目的关键路径。
网络计划技术的应用
项目进度管理
网络计划技术可用于制定详细 的项目进度计划,确保项目按
图与网络的应用背景
图与网络分析的方法
介绍图与网络分析中常用的最短路径 算法、最小生成树算法、最大流算法 等。
阐述图与网络在交通运输、电路设计、 社交网络等领域的应用。
学习目标与要求
学习目标
掌握图与网络分析的基本概念和 常用算法,能够运用所学知识解 决实际问题。
学习要求
熟悉图与网络分析的基本概念和 常用算法,了解相关应用领域, 具备一定的编程能力和数学基础。
算法步骤
初始化距离数组和访问标记数组;从起点开始,选择距离起点最近的未访问节点进行访问 ,并更新其邻居节点的距离;重复上述步骤,直到所有节点都被访问。
运筹学胡运权第五版课件
V5 12 7
5
4
3
2
0
1 3
1
0 4
3
4 0
v7 ∞ 10 10 8
⑶ 构造任意两点间最多可经过3个中间点到达 的最短距离矩阵 D(2)= dij(2) 其中 dij(2)= min { dir(1)+ drj(1)}
r
i
dir
(1)
r
drj(1)
j
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
• • •
悬挂边 孤立点 偶点 奇点
悬挂点的关联边,如 e8 次为0的点 次为偶数的点,如 v2 次为奇数的点, 如 v5
5、链:图中保持关联关系的点和边的交替序列,其 中点可重复,但边不能重复。 路:点不能重复的链。 圈:起点和终点重合的链。 回路:起点和终点重合的路。 连通图:任意两点之间至少存在一条链的图。 完全图:任意两点之间都有边相连的简单图。 n(n 1) 2 n阶完全图用Kn表示,边数= C n
狄克斯屈拉算法
既可以求两点之间的最短 距离,又可以确定最短路
求某两点之间的最短距离
(0)= V2 D
5
2
∞ ∞ ∞ ∞
5
0
∞ 2
7 0 2 7
7
6
∞ ∞
∞ ∞ 2
V3 2
∞ 0
∞ 4
V4 ∞ 2
V5 ∞ 7
∞ 6
0
1
1
0 6
3
6 0
V6 ∞ ∞ 4
v7 ∞ ∞ ∞ ∞ 3
注意:D(0)是一个对称矩阵,且对角线上的元素全是0.
⑵ 构造任意两点间直接到达、或者最多经过1 个中间点到达的最短距离矩阵D(1)= dij(1) 其中
《运筹学》第8章_图与网络分析
v1 e1 e2 e5 e8 v5 e6 e7 v3 v2 e3 e v4 4
e 5 = { v1 , v 3 }
e9 = {v 6 , v 6 }
E = {e1 ,2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 } e e1 = {v1 , v 2 } e 2 = { v1 , v 2 } e10 e 3 = {v 2 , v 3 } e = {v , v }
引
C
言
B A
D
图的基本概念与基本定理
在实际的生产和生活中,人们为了 反映事物之间的关系,常常在纸上用点 点 和线来画出各式各样的示意图。 和线 是我国北京、上海、重庆等十四个城 市之间的铁路交通图,这里用点表示城 市,用点与点之间的线表示城市之间的 铁路线。诸如此类还有城市中的市政管 道图,民用航空线图等等。
例
v6
v1 3 6
4 7 3
v2 2 v3 5
3
4 2
权矩阵
v1 0 v 2 4 v 3 0 A= v4 6 v5 4 v6 3 v1
v5
v4
邻接矩阵
v1 0 v 2 1 v 3 0 B= v 4 1 v 5 1 v 6 1 v1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
4 3 4
e6 = {v 3 , v 5 }
e8 = {v 5 , v 6 } e10 = {v1 , v6 }
v6
e 7 = {v 3 , v 5 }
网络分析
(4 )环 的两个端点相同, 若e的两个端点相同,即u=v,则称为环。 的两个端点相同 = ,则称为环。 (5)多重边 若连接两个端点的边多于一条以上, 若连接两个端点的边多于一条以上,则称为 多重边。 多重边。 (6)多重图 含有多重边的图,称为多重图。 含有多重边的图,称为多重图。 (7)简单图 无环、无多重边的图,称为简单图。 无环、无多重边的图,称为简单图。
(13)基础图 13)
从一个有向图D=( , ) 从一个有向图 =(V,A)中去掉所有边上的箭头所 =( 得到的无向图,就称为D 的基础图,记之为G( )。 得到的无向图,就称为 的基础图,记之为 (D)。
(14)截 14)
如果从图中移去边的一个集合将增加亚图的数目时, 如果从图中移去边的一个集合将增加亚图的数目时, 被移去的边的集合就称为截。 被移去的边的集合就称为截。
需要说明的是——图的定义只关注点之间是否 图的定义只关注点之间是否 需要说明的是 连通,而不关注点之间的连结方式。 连通,而不关注点之间的连结方式。对于任何一个 图的画法并不唯一。 图的画法并不唯一。
运筹学第八章--图与网络分析-胡运权
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路:经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路:经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10(7-9)设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略,使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路:经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件:无向图中无奇点,有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念,所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中,(a)就是一个树,而(b)因为图中有圈所以就不是树, (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m):ei端(顶)点(n):vi, vj点相邻(同一条边): v1, v3边相邻(同一个端点):e2, e3环:e1多重边: e4, e5
8
简单图:无环无多重边
多重图:多重边
9
完全图:每一对顶点间都有边(弧)相连的简单图
10
次(d):结点的关联边数目d(v3)=4,偶点d(v2)=3,奇点d(v1)=4d(v4)=1,悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0,孤立点
(一)线性(整数)规划法
运筹学图与网络分析-最短路
(P0
)
min P
(P)
路P0的权称为从vs到vt的距离,记为d(vs,vt)。
求网络上的一点到其它点 的最短路
Dinkstra标号法
这是解决网络中某一点到其它点的最 短路问题时目前认为的最好方法。
适用于有向图权值非负的情况
有向图权值非负---- Dijkstra算法
Dijkstra算法的基本步骤(权值非负) 1、给顶点v1标号(0),v1称为已标号点,记标号点集为
(1,2)
2
2
0
1
2
5
7
(2,4)
3 5 55
7
3
1 (4,4) 3 1
4
6
7
(1,3)
5
④重复上述步骤,直至全部的
点都标完。
(1,2)
2
2
0
1
2
5
7
(2,4)
3 5 55
7
1
3
3
1
4
6
7
(1,3)
5
7
(1,2)
2
2
0
2
7
1
5
(2,4)
35
55
7
1
3
3
1
4
6
7
(1,3)
5
(3,7)
(1,2)
2
2
0
2
7
1
5 3 5 55 7
3
1
3 1
34 5 6
7
④重复上述步骤,直至全部的
(1,2)
点都标完。
2
2
0
2
7
1
5 3 5 55 7
图与网络分析 胡运权 第四版 运筹学PPT课件
3.关联与相邻
❖关联(边与点的关系):若e是v1、v2两点间
的边,记e=[v1,v2 ],称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻(有公共边,称点v1与v2相邻;
边e1与e2 有公共点,称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
e2
V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
(4)A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边(v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等),则称这样 1
4
的图为网络图。
20
45
3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树:无圈的连通图,记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边, 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点,则 边的个数为m-1。
网络优化图及网络(运筹学)
最短路径问题有多种算法,如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法通 过不断优化路径长度,最终找到最短路径。在现实生活中,最短路径问题广泛 应用于交通网络、通信网络和电力网络等领域。
最小生成树问题
总结词
最小生成树问题是图论中的另一个经典问题,旨在在给定连 通图中找到一棵包含所有节点且总权重最小的树。
网络优化图及网络(运筹学)
目 录
• 网络优化图概述 • 网络(运筹学)基础 • 网络优化模型 • 网络优化算法 • 网络优化实例分析 • 网络(运筹学)的未来发展与挑战
01
网络优化图概述
定义与特点
定义
网络优化图是一种数学模型,用于描 述现实世界中各种网络系统的结构和 行为。
特点
网络优化图具有节点和边的概念,能 够表示各种对象之间的关系和交互作 用,同时可以引入各种参数和约束条 件,以实现特定的优化目标。
详细描述
大数据的爆炸式增长使得传统的数据 处理和分析方法难以应对,需要采用 新的数据处理和分析技术,如分布式 计算、流处理等,以提高数据处理效 率。
人工智能与网络优化
总结词
人工智能技术的发展为网络优化提供了 新的思路和方法,可以更好地解决复杂 的问题。
VS
详细描述
人工智能技术如机器学习、深度学习等可 以用于网络优化,例如通过学习历史数据 来预测未来的流量和需求,从而更好地进 行资源调度和路径选择。
遗传算法通过模拟生物进化 过程中的自然选择和遗传机 制,不断迭代和优化种群中 的个体,最终找到最优解。
遗传算法适用于多目标优化、 约束满足问题等复杂问题,具 有较好的鲁棒性和全局搜索能
力。
05
网络优化实例分析
最短路径问题
2024版清华大学出版《运筹学》第三版完整版课件
要点三
金融服务与投资管理
在金融服务和投资管理中,存储论可用 于优化资金配置和投资组合,降低风险 和提高收益。例如,通过定期订货模型 的运用,可以制定合理的投资策略和资 产配置方案,实现资产的保值增值和风 险控制。
2024/1/28
31
07
排队论
2024/1/28
32
排队论的基本概念
2024/1/28
清华大学出版《运筹 学》第三版完整版课
件
2024/1/28
1
目录
2024/1/28
• 绪论 • 线性规划 • 整数规划 • 动态规划 • 图与网络分析 • 存储论 • 排队论
2
01
绪论
2024/1/28
3
运筹学的定义与发展
运筹学的定义
运筹学是一门应用数学学科,主要研究如何在有限资源下做出最优决策,以最 大化效益或最小化成本。
目标函数
表示决策变量的线性函数,需要最大化或最 小化。
约束条件
表示决策变量需要满足的线性等式或不等式。
2024/1/28
决策变量
表示问题的未知数,需要在满足约束条件的 情况下求解目标函数的最优值。
8
线性规划问题的图解法
01
可行域
表示所有满足约束条件的决策变量构成的集合。
2024/1/28
02
目标函数等值线
2024/1/28
34
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
到达间隔和服务时间均服从负指数分布的单服务台排队系 统。
M/D/1排பைடு நூலகம்系统
到达间隔服从负指数分布,服务时间服从确定型分布的单 服务台排队系统。
表格。
10
中南大学现代远程教育平台—运筹学课程作业答案
《运筹学》作业答案作业一一、是非题:1.图解法与单纯形法虽然求解的形式不同,但从几何上理解,两者是一致的。
(√)2.线性规划问题的每一个基解对应可行解域的一个顶点。
(╳)3.如果线性规划问题存在最优解,则最优解一定可以在可行解域的顶点上获得。
(√)4.用单纯形法求解Max型的线性规划问题时,检验数Rj>0对应的变量都可以被选作入基变量。
(√)5.单纯形法计算中,如果不按最小比值规划选出基变量,则在下一个解中至少有一个基变量的值为负。
(√)6.线性规划问题的可行解如为最优解,则该可行解一定是基可行解。
(╳)7.若线性规划问题具有可行解,且可行解域有界,则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解。
(╳)8.对一个有n个变量,m个约束的标准型线性规划问题,其可行域的顶点数恰好为mnC个。
(╳)9.一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后,该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除,而不影响计算结果。
(√)10.求Max型的单纯形法的迭代过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解。
(√)二、线性规划建模题:1.某公司一营业部每天需从A、B两仓库提货用于销售,需提取的商品有:甲商品不少于240件,乙商品不少于80台,丙商品不少于120吨。
已知:从A仓库每部汽车每天能运回营业部甲商品4件,乙商品2台,丙商品6吨,运费200元/每部;从B仓库每部汽车每天能运回营业部甲商品7件,乙商品2台,丙商品2吨,运费160元/每部。
问:为满足销售量需要,营业部每天应发往A、B两仓库各多少部汽车,并使总运费最少解:设营业部每天应发往A、B两仓库各x1,x2部汽车,则有:12 121212min200160 47240 2280 621200(1,2)jW x xx xx xx xx j=++≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥=⎩2.现有一家公司准备制定一个广告宣传计划来宣传开发的新产品,以使尽可能多的未来顾客特别是该企业计划用于此项广告宣传的经费预算是80万元,此外要求:①至少有200万人次妇女接触广告宣传;②电视广告费用不得超过50万元, ③电视广告至少占用三个单元一般时间和两个单元黄金时间, ④广播和报纸广告单元均不少于5个单元而不超过10个单元。
运筹学(重点)
两个约束条件
(1/3)x1+(1/3)x2=1
及非负条件x1,x2 0所代表的公共部分
--图中阴影区, 就是满足所有约束条件和非负
条件的点的集合, 即可行域。在这个区域中的每
一个点都对应着一个可行的生产方案。
22
5–
最优点
4–
l1 3B E
2D
(1/3)x1+(4/3)x2=3
l2 1–
0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
运筹学 Operational Research
运筹帷幄,决胜千里
史记《张良传》
1
目录
绪论 第一章 线性规划 第二章 运输问题 第三章 整数规划 第四章 动态规划 第五章 目标规划 第六章 图与网络分析
2
运筹学的分支 数学规划: 线性规划、非线性规划、整数规划、 动态规划、目标规划、多目标规划 图论与网络理论 随机服务理论: 排队论 存储理论 决策理论 对策论 系统仿真: 随机模拟技术、系统动力学 可靠性理论
32
西北角
(一)西北角法
销地
产地
B1
0.3
A1
300
0.1 A2
0.7 A3
销量 300
B2
1.1
400
0.9
200
0.4
600
B3
0.3
0.2
200
1.0
300 500
B4
产量
1.0
700 ②
0.8
400 ④
0.5
600
900 ⑥
600
2000
①
③
⑤
⑥
34
Z
cij xij 0.3 300 1.1 400 0.9 200
运筹学课件-第六章图与网络分析
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点(或节点)和边(或弧) 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点(或节点)和边(或弧) 组成的数据结构,其中顶点表示对象 ,边表示对象之间的关系。根据边的 方向,图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点,尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过,搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点,则选择其中一个作为源节点并重复以上过程,整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用,例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析,以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词:Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述:Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始, 逐步向外扩展,每次找到离源节点最近的节点,并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点,并将源节点加入队列中。然后,从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问,并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行,直到队列为空,即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV),其中V是节点的数量,E是边的数量。
第六章物流运筹学——图与网络分析.
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤: (1)给 v s 以 P 标号, P(vs ) 0 ,其余各点均给 T 标号, T (vi ) 。 (2)若 vi 点为刚得到 P 标号的点,考虑这样的点 v j: (vi , v j ) E ,且 v j 为 T 标号,对 v j 的 T 标号进行如下的更改:
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ,每一条边 (vi , v j ) E 上,除了已 给容量 cij 外,还给了一个单位流量的费用 bij 0 ,记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ,使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中,次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ,若 V V且E E ,则 称 H 是 G 的子图,记作: H G ;特别的,当 V V 时, 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
运筹学图与网络分析
e7
e8
三、最小支撑树问题
最小支撑树:求网络的支撑树,使其权和最小。
算法1(破圈法):
在给定的赋权的连通图上找一个圈; 在所找的圈中去掉一条权数最大的边(若有两条或两条以上的边都是权数最大的边,则任意去掉其中一条): 若所余下的图已不含圈,则计算结束,所余下的图即为最小支撑树,否则,返问①。
5
5.5
v1
4
2
3
[例] 求上例中的最小支撑树
解:
5
5.5
v1
v2
v3
v4
v5
3.5
7.5
4
2
3
5
5.5
v1
v2
v3
v4
v5
3.5
7.5
4
2
3
3
v1
2
v4
v5
4
5
v2
3.5
v3
算法2(避圈法):从某一点开始,把边按权从小到大依次添入图中,若出现圈,则删去其中最大边,直至填满n-1条边为止(n为结点数) 。
最小支撑树问题 最短路径问题 网络最大流问题
图的基本概念
网络分析
第5章 图论与网络分析
A
B
C
D
A
C
B
D
图论起源:哥尼斯堡七桥问题
问题:一个散步者能否从任一块陆地出发,走过七座桥,且每座桥只走过一次,最后回到出发点?
结论:每个结点关联的边数均为偶数
1 图的基本概念
1.图
由点和边组成,记作G=(V,E),其中V=(v1,v2,……,vn)为结点的集合,E=(e1,e2,……,em) 为边的集合。
D
E
F
运筹学图与网络分析
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈,此时,最优的邮递路线是什么呢?
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个),在每两个奇点之间找一条链,在这些链经过的所有边上增加一条边,这样所有的奇点变为偶点,一定存在欧拉圈,但是不一定是路线最短的,所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边,则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是: 1)图G中每条边上最多增加一条边; 2)在图G的每个圈上,增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足,则从该条边的增加边中去掉偶数条; 如果2)不满足,则将这个圈上的增加边去掉,将该圈的其余边上添加增 加边,转入(2)
v1
v2
v3
v4
v5
v1
v2
v3
v4
v5
图2
图3
如果在比赛中: A胜E, B胜C, A胜D, C胜A, E胜D, A胜B,
v1
v2
v3
v4
v5
注:本章所研究的图与平面几何中的图不 同,这里我们只关心图有几个点,点与点 之间有无连线,两条线有无公共顶点,点 与线是否有关联,至于连线的方式是直线 还是曲线,点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注:在给顶点编号时,如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号,这些点的第二个标号相同,但是第一个标号不一定相同。
运筹学图与网络模型以及最小费用最大流
最短路问题
(P233)例1 求下图中v1到v6的最短路 v2
7
3
v6
v1
5 2 v4 5
21
31
5
v3
v5
解:采用Dijkstra算法,可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
v1
v2
v3
v4
v5
v6
把所有弧的权数计算如下表:
1
2
3
4
5
6
1
16
22
30
41
59
2
16
22
30
41
3Leabharlann 172331
4
17
23
5
18
6
最短路问题
(继上页) 把权数赋到图中,再用Dijkstra算法求最短路。
59
22
30 41
23
v1
16
v2 16 v3 17 v4 17 v5 18
v6
22
23
31
v2 v1
v4 v3
v5
最短路问题
最短路的Dijkstra算法(双标号法)的步骤:
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I,没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集,则计算结束。如果vt已标号(lt,kt), 则 vs到vt的距离为lt,而从 vs到vt的最短路径,则可以从kt 反向 追踪到起点vs 而得到。如果vt 未标号,则可以断言不存在从 vs 到vt的有向路。如果上述的弧的集合不是空集,则转下一步。
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e4 e7
v3 ,v4 v3 ,v5
,e5 ,e8
v1 , v3 v5 ,v6
,e6 ,e9
v3 , v5 v6 ,v6
, e9 v6
e10 v 1 ,v6
e5 e3 e4 v4
e8
e6
v5
图1
e7 v3
两个点u,v属于V ,如果边(u,v)属于E,则称u,v两点相邻.
S1 {v1, e1, v2 , e3 , v3 , e5 , v4 , e7 , v5 }
无向图G中,连结vi0 与vik的一条链,当vi0 与vik 是同一个点时, 称此链为圈.圈中既无重复点也无重复边者为初等圈.
v2
e4
v4
e1
v1
e2
e3
e5 e7
e9
e8
v6
e10v3e6v5图3v2
v1 e1 e7 e6
v3
图4
e2
v4 e3
e8 e9 e10 v6
e4 e5 v5
图3中, S {v1, e1, v2 , e3 , v3 , e5 , v4 , e7 , v5 , e8 , v4 , e4 , v2 }
以vi为终点的边数称为点vi的入次,用d (vi )表示,
vi点的出次与入次之和就是该点的次.
有向图中,所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和
图G (V , E),若E是E的子集,V 是V的子集,且E中的边仅 与V 中的顶点相关联,则称G (V , E)是G的一个子图. 特别地,若V V ,则G称为G的生成子图(支撑子图).
图与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
图与网络的基本知识 树及最小树问题 最短路问题 最大流问题
最小费用最大流问题
A
C
D
问题:一个游者怎样才 能一次连续走过这七座 桥且每座桥只走一次, 回到原出发点。
B
A
哥尼斯堡“七桥”难
欧题拉用A,B,C,D四点表示河的 C
赋权的图称为网络.
无向图G (V , E),若图G中某些点与边的交替序列可以排成 (vi0 , ei1 , vi1 , ei2 , ...,vik1 ,eik ,vik )的形式,且eit (vit 1,vit )(t 1, ..., k ) 则称这个点边序列为连接vi0与vik的一条链,链长为k 点边列中没有重复的点和重复边者为初等链。
设V1和V2分别为图G中奇点和偶点的集合(V1 V2 V ),由
定理1知 d(v) d(v) d(v) 2m
vV1
vV2
vV
由于2m为偶数,而 d(v)是若干个偶数之和,也是偶数.
vV2
所以 d(v)必为偶数,即|V1 | 是偶数. vV1
有向图中,以vi为始点的边数称为点vi的出次,用d (vi )表示,
用m(G) | E | 表示图G中的边数,n(G) |V | 表示图G的顶点
个数.
例 V v1,v2 ,v3,v4 ,v5 ,v6
v1
E e1,e2 ,e3,e4 ,e5 ,e6 ,e7 ,e8 ,e9 ,e10
e1 e2
v2
e1 {v1, v2 }, e2 {v1, v2 }, e3 {v2 , v3 }, e10
v3
v5
图2
4.一条边的两个端点如果相同,称此边为环。
5.两个点之间多于一条边的,称为多重边.
6.不含环和多重边的图称为简单图,含有多重边的 图称为多重图。 7.每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为完全图。
有n个顶点的无向完全图记作Kn 8.有向完全图则是指任意两个顶点之间有且仅有一条 有向边的简单图。
次为零的点称为弧立点,次为1的点称为悬挂点。连结 悬挂点的边称为悬挂边。次为奇数的点称为奇点,次为偶 数的点称为偶点。
定理1 任何图中,顶点次数的总和等于边数的2倍。
由于每条边必与两个顶点关联,在计算点的次时,每条边 均被计算了两次,所以顶点次数的总和等于边数的2倍.
定理2 任何图中,次为奇数的顶点必为偶数个。
v2
e1 v1
e6 e7
e2
v3
e8 e9
e3
v7
e10 v4 e11 e4
v6 e5 v5
(a)
v2
e1
e8
v1
e6 e7 v7
v6 e5
v5
(b)
子图
v2
v3
e1 v1
e9
e6
e7
v7
e10 e11
v4
v6
v5
(c)
支撑子图
在实际应用中,给定一个图G (V , E)或有向图D (V , A), 在V中指定两个点, 一个称为始点(或发点), 记作v1 , 一个称为 终点(或收点),记作vn ,其余的点称为中间点.对每一条弧 (vi ,v j ) A,对应一个数wij ,称为弧上的"权".通常把这种
D
两岸和小岛,用两点间的联
线表示桥。七桥问题变为:
从A,B,C,D任一点出发,能否 通过每条边一次且仅一次,
B
一笔画问题
再回到该点?
一、 图与网络的基本知识
(一)、图与网络的基本概念
E
A
D
B
C
一个图是由点集V {v j }和V中元素的无序对的一个集合
E {ek }构成的二元组,记为G (V , E),其中V中的元素v j 叫做顶点,V 表示图G的顶点集合,E中的元素ek叫做边, E表示 图G的边集合. 当V , E为有限集合时,G称为有限图.否则为无限图
u, v称为边(u, v )的端点
两条边ei ,ej属于E,如果它们有一个公共端点u,则称ei ,ej相邻. 边ei ,ej称为u的关联边. 对于任一条边(vi ,v j )属于E,如果边(vi ,v j )端点无序,则它是 无向边,此时图G称为无向图.
如果边(vi
,
v
j
)端点有序,
则它表示以vi为始点,
v
为终点的
j
有向边(或称为弧),此时图G称为有向图.
V v1,v2 ,v3,v4 ,v5 ,v6
v2
E {(v1, v3 ),(v2 , v1),(v2 , v3 ),(v2 , v5 ), v1
v4 v6
(v3 , v5 ),(v4 , v5 ),(v5 , v4 ),(v5 , v6 )}
9.图G (V , E)的点集V 可以分为两个非空子集X ,Y ,即
X Y V , X Y ,使得E中每条边的两个端点必有一个 端点属于X ,另一个端点属于Y ,则称G为二部图(偶图), 有时记作G ( X ,Y , E)
v1
v2
v1
v3
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v2
v4
v4
v3
10.以点v为端点的边数叫做点v的次, 记作 deg(v ), 简记为d (v )