2020全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科
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a
D. logba ba ab log 1b
a
4.圆 x2 y2 2x 8y 13 0 的圆心到直线 ax y 1 0 的距离为 1，则 a=（ ）
（A） 4 3
（B） 3 4
（C） 3
（D）2
5．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的一条渐近线与直线 3x
（2）设点 N 是线段 CD 上一动点，且 DN DC ，当直线 MN 与平面 PAB 所成的角最大时，求 的值.
20．（本题满分 12 分）
已知双曲线
x2 5
y2
1的焦点是椭圆 C ：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒
数.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设动点 M ， N 在椭圆 C 上，且 MN 4 3 ，记直线 MN 在 y 轴上的截距为 m ，求 m 的最大值. 3
32π 3
，则该三棱柱体积的最大值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题满分 12 分）
已知函数
f
x
cos
2
x
6
3 sin x
6
cos
x
6
来自百度文库
1 0
2
，满足
f
1 ，
f
0
，且
的最小值为 ．
4
（1）求函数 f x 的解析式；
2020 全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．
1． 1 2i （ ） 2 i
A． 1 4 i 5
B． 4 i 5
C． i
D． i
2. a2 b2 1 是 asin bcos 1恒成立的（ ）
D． 2 2
6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三
角形两直角边长分别为 8 步和15 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子
落在其内切圆外的概率是（ ）
A． 3 10
B． 3 20
C． 1 3 10
D． 1 3 20
1
0
上，点 Q 在曲线
x2 ( y 2)2
1 上，那么
PQ
的最小值
x y 2 0
为
．
15．要从甲、乙等 8 人中选 4 人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么
不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）.
16．直三棱柱 ABC A1B1C1 的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为
y5
0 垂直，则双曲线 C
的离心率
等于（ ）
A． 2，4 B． 2，5 C． 0，4 D． 0，5
28
9.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ,
3
则它的表面积是（ ）
（A）17 （B）18 （C） 20 （D） 28
A． 2
B． 10 3
C． 10
21．（本题满分 12 分）
已知函数 f x x ax b 在点 e, f e 处的切线方程为 y ax 2e .
ln x
（1）求实数 b 的值；
（2）若存在
x0
e,e2
，满足
f
x0
1 4
e
，求实数 a
的取值范围.
（1）指出这组数据的众数和中位数； （2）若视力测试结果不低于 5.0 则称为“好视力”，求校医从这 16 人中选取 3 人，至多有 1 人是“好视力”的 概率； （3）以这 16 人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选 3 人，记 表示抽到“好视 力”学生的人数，求 的分布列及数学期望． 19．（本题满分 12 分）
x
A． 1,1
B． ,1
C． 1,0 U 0,1
D． ,1 U 1,
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．
若
1 2x
2015
=
a0
a1x
a2015 x
2015
（
x
R
），则
a1 2
a2 22
a2015 22015
的值为
．
2x y 2 0
14．
如果点
P
在平面区域
x
2
y
如图，在四棱锥 P ABCD 中，AD / / BC ，ABC PAD 90 ，PA AB BC 2 ，ABC 90 ，
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3．若 0 a b 1，则 ab ， ba ， logba ， log 1b 的大小关系为（ ）
a
A. ab ba logba log 1b
a
B. ba ab log 1b logba
a
C. logba ab ba log 1b
若输入
的值分别为 8，10，0，则输出
和 i 的值分别为（ ）
10．在 △ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ， c ，若 sin B 2sin Acos C 0 ，则当 cos B 取最小值 时， a （ ）
c
A． 2
B． 3
C． 3 3
D． 2 2
11．已知
为抛物线 C : y2 4x 的焦点，A, B, C 为抛物线 C 上三点，当 FA FB FC 0 时，称 ABC
（2）求函数
f
x
在
0,2
上的单调区间和最大值、最小值．
18．（本题满分 12 分）
由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取 16 名学生，经校医用视力 表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：
（1）求证： AM / / 平面 PCD ；
7．长方体 ABCD A1B1C1D1 ， AB 1 ， AD 2 ， AA1 3 ，则异面直线 A1B1 与 AC1 所成角的余弦值为（ ）
A． 14 14
B． 8 3 14
C． 13 13
D． 1 3
8．下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，
为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ）
A． 0 个 B． 1 个 C． 3 个 D． 无数个
12．已知定义在 R 上的偶函数 y f x 的导函数为 f x ，函数 f x 满足：当 x 0 时，x f x f x 1 ，
且 f 1 2018 ．则不等式 f x 1 2017 的解集是（ ）
D. logba ba ab log 1b
a
4.圆 x2 y2 2x 8y 13 0 的圆心到直线 ax y 1 0 的距离为 1，则 a=（ ）
（A） 4 3
（B） 3 4
（C） 3
（D）2
5．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的一条渐近线与直线 3x
（2）设点 N 是线段 CD 上一动点，且 DN DC ，当直线 MN 与平面 PAB 所成的角最大时，求 的值.
20．（本题满分 12 分）
已知双曲线
x2 5
y2
1的焦点是椭圆 C ：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒
数.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设动点 M ， N 在椭圆 C 上，且 MN 4 3 ，记直线 MN 在 y 轴上的截距为 m ，求 m 的最大值. 3
32π 3
，则该三棱柱体积的最大值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题满分 12 分）
已知函数
f
x
cos
2
x
6
3 sin x
6
cos
x
6
来自百度文库
1 0
2
，满足
f
1 ，
f
0
，且
的最小值为 ．
4
（1）求函数 f x 的解析式；
2020 全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．
1． 1 2i （ ） 2 i
A． 1 4 i 5
B． 4 i 5
C． i
D． i
2. a2 b2 1 是 asin bcos 1恒成立的（ ）
D． 2 2
6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三
角形两直角边长分别为 8 步和15 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子
落在其内切圆外的概率是（ ）
A． 3 10
B． 3 20
C． 1 3 10
D． 1 3 20
1
0
上，点 Q 在曲线
x2 ( y 2)2
1 上，那么
PQ
的最小值
x y 2 0
为
．
15．要从甲、乙等 8 人中选 4 人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么
不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）.
16．直三棱柱 ABC A1B1C1 的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为
y5
0 垂直，则双曲线 C
的离心率
等于（ ）
A． 2，4 B． 2，5 C． 0，4 D． 0，5
28
9.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ,
3
则它的表面积是（ ）
（A）17 （B）18 （C） 20 （D） 28
A． 2
B． 10 3
C． 10
21．（本题满分 12 分）
已知函数 f x x ax b 在点 e, f e 处的切线方程为 y ax 2e .
ln x
（1）求实数 b 的值；
（2）若存在
x0
e,e2
，满足
f
x0
1 4
e
，求实数 a
的取值范围.
（1）指出这组数据的众数和中位数； （2）若视力测试结果不低于 5.0 则称为“好视力”，求校医从这 16 人中选取 3 人，至多有 1 人是“好视力”的 概率； （3）以这 16 人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选 3 人，记 表示抽到“好视 力”学生的人数，求 的分布列及数学期望． 19．（本题满分 12 分）
x
A． 1,1
B． ,1
C． 1,0 U 0,1
D． ,1 U 1,
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．
若
1 2x
2015
=
a0
a1x
a2015 x
2015
（
x
R
），则
a1 2
a2 22
a2015 22015
的值为
．
2x y 2 0
14．
如果点
P
在平面区域
x
2
y
如图，在四棱锥 P ABCD 中，AD / / BC ，ABC PAD 90 ，PA AB BC 2 ，ABC 90 ，
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3．若 0 a b 1，则 ab ， ba ， logba ， log 1b 的大小关系为（ ）
a
A. ab ba logba log 1b
a
B. ba ab log 1b logba
a
C. logba ab ba log 1b
若输入
的值分别为 8，10，0，则输出
和 i 的值分别为（ ）
10．在 △ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ， c ，若 sin B 2sin Acos C 0 ，则当 cos B 取最小值 时， a （ ）
c
A． 2
B． 3
C． 3 3
D． 2 2
11．已知
为抛物线 C : y2 4x 的焦点，A, B, C 为抛物线 C 上三点，当 FA FB FC 0 时，称 ABC
（2）求函数
f
x
在
0,2
上的单调区间和最大值、最小值．
18．（本题满分 12 分）
由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取 16 名学生，经校医用视力 表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：
（1）求证： AM / / 平面 PCD ；
7．长方体 ABCD A1B1C1D1 ， AB 1 ， AD 2 ， AA1 3 ，则异面直线 A1B1 与 AC1 所成角的余弦值为（ ）
A． 14 14
B． 8 3 14
C． 13 13
D． 1 3
8．下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，
为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ）
A． 0 个 B． 1 个 C． 3 个 D． 无数个
12．已知定义在 R 上的偶函数 y f x 的导函数为 f x ，函数 f x 满足：当 x 0 时，x f x f x 1 ，
且 f 1 2018 ．则不等式 f x 1 2017 的解集是（ ）