尖子生辅导高中数学

尖子生辅导

1、设 3.2

()21f x x ax bx =+++的导数为()f x '，若函数()y f x '=的图像关于直线1

2

x =-

对称，且(1)0f '=． （Ⅰ）求实数,a b 的值 （Ⅱ）求函数()f x 的极值

解：（I ）因3

2

2

()21,()62.f x x ax bx f x x ax b '=+++=++故

从而2

2()6(),66

a a f x x

b '=++-

即()y f x '=关于直线6a x =-

对称，从而由题设条件知1

, 3.62

a a -=-=解得 又由于(1)0,620,12.f a

b b '=++==-即解得 （II ）由（I ）知3

2

()23121,f x x x x =+-+

2()6612f x x x '=+-6(1)(2).x x =-+

令12()0,6(1)(2)0.2, 1.f x x x x x '=-+==-=即解得 当(,2),()0,()(,2)x f x f x '∈-∞->-∞-时故在上为增函数； 当(2,1),()0,()(2,1)x f x f x '∈-<-时故在上为减函数； 当(1,),()0,()(1,)x f x f x '∈+∞>+∞时故在上为增函数；

从而函数1()2f x x =-在处取得极大值2(2)21,1f x -==在处取得极小值(1) 6.f =- 2、设()f x x ax bx 3

2

=+++1的导数()f x '满足(),()f a f b ''1=22=-，其中常数,a b R ∈． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程； （Ⅱ） 设()()x

g x f x e -'=，求函数()g x 的极值．

解：（I ）因32

()1,f x x ax bx =+++故2

()32.f x x ax b '=++

令1,(1)32,x f a b '==++得由已知(1)2,322, 3.f a a b a b '=++==-因此解得

又令2,(2)

124,x f a b '==++得由已知(2),f b '=-因此124,a b b ++=-解得

3.2

a =-

因此3

235

()31,(1)22

f x x x x f =-

-+=-从而又因为3(1)2()3,2f '=⨯-=-

故曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程为 5

()3(1),6210.

2

y x x y --=--+-=

即 （II ）由（I ）知2

()(333)x

g x x x e -=--，从而有2

()(39).x

g x x x e -'=-+

令2

12()0,390,0, 3.g x x x x x '=-+===得解得

当(,0),()0,()(,0)x g x g x '∈-∞<-∞时故在上为减函数； 当(0,3),()0,()x g x g x '∈>时故在)3,0(上为增函数； 当(3,)x ∈+∞时，()0,()(3,)g x g x '<+∞故在上为减函数；

从而函数1()0g x x =在处取得极小值2(0)3,3g x =-=在处取得极大值3

(3)15.g e -=

3（上海理20、文21）已知函数()23x x

f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠．

⑴ 若0ab >，判断函数()f x 的单调性；

⑵ 若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围．

【解析】⑴ 当0,0a b >>时，因为23x x

a b ⋅⋅、都单调递增；所以函数()f x 单调递增；……２分

当0,0a b <<时，因为23x x

a b ⋅⋅、都单调递减；所以函数()f x 单调递减；………４分 ⑵ (1)()2230x

x

f x f x a b +-=⋅+⋅> （i ）当0,0a b <>时，3

()2

2x

a

b

>-， ……………………………… 7分 解得32

log ()2a

x b

>-

； ………………………………8分 （ii ）当0,0a b ><时，3()2

2x

a

b

<-， ………………………………11分 解得32

log ()2a

x b

<-

． ………………………………12分

已知函数ln ()1a x b

f x x x

=

++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）证明：0x >，且1x ≠时，ln ().1

x

f x x >

- 【解析】（Ⅰ）22

1

(

ln )

'()(1)x a x b x f x x x +-=

-

+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,

1'(1),2f f =⎧⎪

⎨=-⎪⎩即

1,

1,22

b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 解得1a =，1b =.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知x

x x x f 1

1ln )(++=

，所以， )1ln 2(111ln )(22x

x x x x x x f ---=--

设21

()2ln (0)x h x x x x

-=->则22)1()(x x x h --='

当1≠x 时， 0)(<'x h ，而0)1(=h ，故

当(0,1)x ∈时，()0h x >得：

0)(-11

2

>x h x 当(1,)x ∈+∞时，()0h x <得：0)(-11

2

>x h x 从而当0x >，且1x ≠时，,01ln )(>--x x x f 即1

ln )(->x x

x f . 4（陕西文21）设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+． （1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1

()g x

的大小关系； （3）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜

1

a

对任意x ＞0成立． 【分析】（1）先求出原函数()f x ，再求得()g x ，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调