材料力学 弯曲内力
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Q4 VB 2P VB M 4 VB a 0
M 4 2Pa (顺 ) 13
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
P
VA=3P
Me=3Pa VB =-2P
12
34
A1 2
34
Baidu NhomakorabeaBx
内力
Q M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
1. 横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右 侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。
10
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
例1 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—
4横截面上的剪力和弯矩。
y
M =3Pa
P
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
VA
2a
VB
解：支反力为
MA 0
Y 0
VB 2a 3Pa P a 0
VB 2P()
VB VA P VA 3P()
11
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
对称轴
A
P1
VB
梁变形后的轴线与外力 在同一平面内
VA
对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合，
因而一定是平面弯曲。
4
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图
2.梁的计算简图
支座的基本形式：
(1)固定端
B
计算简图
约束反力
A
VA
q0
MR
Vy
Vx
MA
5
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图
(2)固定铰支座和可动铰支座
剪力值= 截面左侧（或右侧）所有外力的代数和
弯矩值= 截面左侧（或右侧）所有外力对该截面
形心的力矩代数和
14
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
P
VA=3P
Me=3Pa VB =-2P
12
34
A1 2
34
Bx
内力
1—1 2—2 3—3 4—4
Q
-P
2P
2P
2P
M
-Pa -Pa
Pa
-2Pa
2.截面左侧梁段 向上的外力→正剪力→正弯矩
A
x
C mQ
x
P
MC 0
M Pa x VB l x 0
Qm
MC
m
VB B
M
VB l x Pa x Pl
法向应力的合力，称为弯矩
l
a
x
9
剪 力 和 弯 矩 的 符 号 规 则：
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
Q＞0
Q＜0
M＞0
M＜0
使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；使 微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。
y
P
1A2
12 a
VA
M =3Pa
34 34
a 2a
B x
VB
截面1—1
Y 0
Q1 P
P
C11
M1
1 Q1 截面2—2
MC1 0 M1 P a 0 M1 Pa ( 顺 )
Y 0 Q2 VA P 0
P
C2 2 M2
VA 2 Q2
Q2 VA P 2P
MC2 0 M2 Pa 0
5 弯曲内力
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图 5.2 梁的内力 剪力和弯矩 5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图和弯矩图 5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用 5.5 用区段叠加法作梁的弯矩图
1
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图
1.梁的平面弯曲概念
受力特点： 杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力偶（其矢 量垂直于杆轴）作用。
P
A
B
M
M
2
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图
M
M
P
A
B
变形特点： 1.直杆的轴线在变形后变为曲线； 2.任意两横截面绕垂直于外力作用面的轴作相对转动。
梁 ——以弯曲为主要变形的杆件通称为梁。
3
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图
最基本常见的弯曲问题
——对称弯曲
纵对称面
P2 B
对称弯曲 必定是平面弯 曲，而平面弯 曲不一定是对 称弯曲。
顺时针外力偶→正弯矩
截面右侧梁段 向上的外力→负剪力→正弯矩
顺时针外力偶→负弯矩
15
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
P
VA=3P
Me=3Pa VB =-2P
12
34
A1 2
34
Bx
内力
Q M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3. 在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
A
xB l
解：1.以自由端为坐标原点，则可不求反力列 剪力方程和弯矩方程：
Qx qx0 x l M(x)
xB
M
x
qx
x
qx 2
0
Q(x)
xl
22
20
5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图
固定铰 支座
P1 P2
可动铰 支座
计算简图
约束反力 Vy
Vx
V
6
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图
梁的基本形式
(1)悬臂梁 Vx MR Vy
(2)简支梁
Vx
Vy1
Vy2
(3)外伸梁
静定梁
Vx
Vy1
Vy2
7
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
VA
a
P
m
VB
Pl a
A x
y VA
m mM
B VA l
VB
5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图
剪力方程 弯矩方程
Q Q(x) M M (x)
梁的横截面上的剪力和 弯矩随截面位置变化的 函数表达式
显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为 剪力图和弯矩图。
19
5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图
例3 图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。
M 2 Pa ( 顺 ) 12
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
y
P
1A2
12 a 截面3—3 VA
P
VA
M =3Pa 34 34
a 2a
C33 M3 3 Q3
截面4—4
M4
4C4
Q4 4
B x
VB
Q3 VA P 0
Q3 VA P 2P
M3 P a VA a 0
M 3 Pa ( 逆 )
VA
q0l 6
17
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
截面C的内力
a/3
MC q(x) q0 x
A VA
a
QC
l
QC
VA
a 2
q0a l
q0l 6
q0 a 2 2l
MC
VA
a
a 2
q0a l
a 3
q0l 6
a
q0a3 6l
思考：
是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的
合力代替来求截面C的内力？
18
Pa l
A
x
C mQ
x
取左侧分离体分析任一横截面m-m上的内 力
Y 0
Q
VA
Pl a
l
MC 0
M
VAx
Pl a x
l
8
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
由其右边分离体的平衡条件同样可得
Y 0
VA
a
P
m
VB
Q P VB 0
A xm
B
Q
P VB
Pl a
l
y VA
mM
切向应力的合力，
称为剪力
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
16
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
例2 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大
荷载集度为q0，试求截面C上的内力。
y
q0l/2
q0
B
A
a
C
x
VA
l
VB
解：先求支反力
MA 0
VBl
q0l 2
2l 3
0
MB 0
VAl
q0l 2
l 3
0
VB
q0l 3
M 4 2Pa (顺 ) 13
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
P
VA=3P
Me=3Pa VB =-2P
12
34
A1 2
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Baidu NhomakorabeaBx
内力
Q M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
1. 横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右 侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。
10
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
例1 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—
4横截面上的剪力和弯矩。
y
M =3Pa
P
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
VA
2a
VB
解：支反力为
MA 0
Y 0
VB 2a 3Pa P a 0
VB 2P()
VB VA P VA 3P()
11
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
对称轴
A
P1
VB
梁变形后的轴线与外力 在同一平面内
VA
对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合，
因而一定是平面弯曲。
4
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图
2.梁的计算简图
支座的基本形式：
(1)固定端
B
计算简图
约束反力
A
VA
q0
MR
Vy
Vx
MA
5
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图
(2)固定铰支座和可动铰支座
剪力值= 截面左侧（或右侧）所有外力的代数和
弯矩值= 截面左侧（或右侧）所有外力对该截面
形心的力矩代数和
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5.2 梁的内力 剪力和弯矩
P
VA=3P
Me=3Pa VB =-2P
12
34
A1 2
34
Bx
内力
1—1 2—2 3—3 4—4
Q
-P
2P
2P
2P
M
-Pa -Pa
Pa
-2Pa
2.截面左侧梁段 向上的外力→正剪力→正弯矩
A
x
C mQ
x
P
MC 0
M Pa x VB l x 0
Qm
MC
m
VB B
M
VB l x Pa x Pl
法向应力的合力，称为弯矩
l
a
x
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剪 力 和 弯 矩 的 符 号 规 则：
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
Q＞0
Q＜0
M＞0
M＜0
使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；使 微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。
y
P
1A2
12 a
VA
M =3Pa
34 34
a 2a
B x
VB
截面1—1
Y 0
Q1 P
P
C11
M1
1 Q1 截面2—2
MC1 0 M1 P a 0 M1 Pa ( 顺 )
Y 0 Q2 VA P 0
P
C2 2 M2
VA 2 Q2
Q2 VA P 2P
MC2 0 M2 Pa 0
5 弯曲内力
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图 5.2 梁的内力 剪力和弯矩 5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图和弯矩图 5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用 5.5 用区段叠加法作梁的弯矩图
1
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图
1.梁的平面弯曲概念
受力特点： 杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力偶（其矢 量垂直于杆轴）作用。
P
A
B
M
M
2
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图
M
M
P
A
B
变形特点： 1.直杆的轴线在变形后变为曲线； 2.任意两横截面绕垂直于外力作用面的轴作相对转动。
梁 ——以弯曲为主要变形的杆件通称为梁。
3
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图
最基本常见的弯曲问题
——对称弯曲
纵对称面
P2 B
对称弯曲 必定是平面弯 曲，而平面弯 曲不一定是对 称弯曲。
顺时针外力偶→正弯矩
截面右侧梁段 向上的外力→负剪力→正弯矩
顺时针外力偶→负弯矩
15
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
P
VA=3P
Me=3Pa VB =-2P
12
34
A1 2
34
Bx
内力
Q M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3. 在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
A
xB l
解：1.以自由端为坐标原点，则可不求反力列 剪力方程和弯矩方程：
Qx qx0 x l M(x)
xB
M
x
qx
x
qx 2
0
Q(x)
xl
22
20
5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图
固定铰 支座
P1 P2
可动铰 支座
计算简图
约束反力 Vy
Vx
V
6
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图
梁的基本形式
(1)悬臂梁 Vx MR Vy
(2)简支梁
Vx
Vy1
Vy2
(3)外伸梁
静定梁
Vx
Vy1
Vy2
7
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
VA
a
P
m
VB
Pl a
A x
y VA
m mM
B VA l
VB
5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图
剪力方程 弯矩方程
Q Q(x) M M (x)
梁的横截面上的剪力和 弯矩随截面位置变化的 函数表达式
显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为 剪力图和弯矩图。
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5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图
例3 图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。
M 2 Pa ( 顺 ) 12
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
y
P
1A2
12 a 截面3—3 VA
P
VA
M =3Pa 34 34
a 2a
C33 M3 3 Q3
截面4—4
M4
4C4
Q4 4
B x
VB
Q3 VA P 0
Q3 VA P 2P
M3 P a VA a 0
M 3 Pa ( 逆 )
VA
q0l 6
17
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
截面C的内力
a/3
MC q(x) q0 x
A VA
a
QC
l
QC
VA
a 2
q0a l
q0l 6
q0 a 2 2l
MC
VA
a
a 2
q0a l
a 3
q0l 6
a
q0a3 6l
思考：
是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的
合力代替来求截面C的内力？
18
Pa l
A
x
C mQ
x
取左侧分离体分析任一横截面m-m上的内 力
Y 0
Q
VA
Pl a
l
MC 0
M
VAx
Pl a x
l
8
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
由其右边分离体的平衡条件同样可得
Y 0
VA
a
P
m
VB
Q P VB 0
A xm
B
Q
P VB
Pl a
l
y VA
mM
切向应力的合力，
称为剪力
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
16
5.2 梁的内力 剪力和弯矩
例2 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大
荷载集度为q0，试求截面C上的内力。
y
q0l/2
q0
B
A
a
C
x
VA
l
VB
解：先求支反力
MA 0
VBl
q0l 2
2l 3
0
MB 0
VAl
q0l 2
l 3
0
VB
q0l 3