确定性网络编码构造的仿真实现1

作者简介蒲保兴（1965-），男，湖南邵阳人，副教授，博士，研究方向为网络编码。

基金项目：;湖南省教育厅重点科研项目(11A111)，湖南省科技计划项目(2012FJ3108)。

确定性网络编码构造的仿真实现

蒲保兴

(邵阳学院 信息工程系,湖南 邵阳，422001)

摘要：分析了构造网络编码的两种方法，确定性网络编码构造算法和随时机网络编码构造算法，。 关键字：线性网络编码；蝴蝶网络；套接字编程；仿真实现

中图分类号：TP393.09 文献标识码：A 文章编号：

Simulation of constructing network coding SHEN Ming,PU Bao-xing*,TANG Bin

（Department of Information Engineering, Shaoyang College, Shaoyang 422001,Hunan, China ）

Abstract:By use of Windows socket programming, a method of simulation implementation of network coding is proposed. In a local area network, some terminals are selected to simulate the network nodes logically to form a single source multicast network. With adopting socket programming, the terminals send or receiver data according to the data transmission strategy of network coding. The illustrated example is a typical butterfly network, but can easily extend to general single source multicast network. Comparing with the existing network coding simulator, the proposed method is simple, convenient and easily to be mastered.

Key words:linear network coding; butterfly network; socket programming ;simulation implementation 1 引言

网络编码[1]是通信领域的一种新型数据传输技术，与传统的路由传输技术相比，网络的中间节点不仅能进行数据的转发与复制，还可以实现数据编码传输。运用网络编码实现数据传输的首要工作是构造网络编码方案：确定各信道的局部编码向量和全局编码向量，以便于各宿点能通过求解线性方程组恢复出源点播出的信息。网络编码构造不仅是实现数据传输的不可缺少的步骤，也是进一步研究网络编码理论与应用的基础。网络编码的构造比较复杂，它需要网络流、有限域、线性代数等方面的知识。目前关于网络编码的构造主要有两种方法，确定性网络编码构造方法和随机网络编码方法。本文叙述确定性网络编码构造算法，提出了仿真实现的具体方案，给出了一个仿真实例，仿真结果表明，提出的方法是有效的。

2 线性网络编码数据传输的原理

本文仅考虑单源组播无圈网络的线性网络编码。单源组播网络的线性性网络可以用一个四元组（G ，s,T,h ）来描述：有向无环图G=(V ，E)表示通信网络，V 为节点集，E 为有向弧集，有向弧表示网络节点之间存在的有向链路。设s 是源点，

T={t1,t 2,…,td}为宿点集，d=|T|为宿点个数。h 是组播率，即单源时间内源点传输信息的速率，根据文献[1],应满中h<=

线性网络编码[2]限定对单位容量的信道进行编

码，当一条链路的容量大于1时，应把它分成多条单位容量的信道(以下提及的信道均具有单位容量)。选定一个有限域GF(2m )[9]，设数据传输速率(简称组播率)为h ，在同步机制下,一次数据传输过程所传输的信息量为mh 比特。在源点，信息流被划分成h 等分，每等分恰好是GF(2m )上的一个字符，分别记为

12h

y ,y ,...,y 。可把源点s 传出的字符看成由h 条虚拟

信道所注入，也相当于由这h 条虚拟信道向源点s 传送了一组h 维向量空间的单位向量，因而除宿点外，网络中每一节点均有若干条输入信道和若干条输出信道。

线性网络编码的核心思想是：对于每一编码节点，输出信道所转发的信息字符是该节点所有输入信息字符的线性组合。记节点v 的输入信道集为

In(v)={d :head(d)=v}，输出信道集为

Out(v)={e :tail(e)=v}

，其中|In(v)|和|Out(v)|分别是节

点v 输入信道数和输出信道数。

节点v 的输出信道e(e Out(v))∈经过编码后，其转发的信息字符记为y(e)，则由式(1)计算：

de d In(v)

()()

y m y d ∈∑

e =

(1)

其中mde 是GF(2m)上的一个系数，这些系数的

组合构成了一个向量，称为输出信道e 的局部编码向

量，记为m(e)，即m(e)={mde:d ∈In(v)}

传输的信息字符虽经过了多个编码节点，但信道上传输的信息字符均可以表示成源点s 所传出的字符h

y y y 12,,...的线性组合，记为：

e,11e,22e,(e)=...h h

y g y g y g y +++ (2)

其中,1,2e,(e)(,,...,)e e h g g g =b 称为输入信道e 的全局编码向量。全局编码向量g(e)是也可以表示成节点v 输入信道的全局编码向量的线性组合，这个组合的系数就是信道e 的局部编码向量，即式(3)成立。

de d In(v)

(e)(d)

m ∈=

∑

g g (3)

每一节点v 的输入信道的全局编码向量构成了一个|In(v)|行，h 列的矩阵，称之为节点v 的全局编码矩阵，由式(2)可知，每一信道的全局编码向量和传输的字符形成了一个关于y1,y2,…,yh 的线性方程，宿点r(r ∈T)从|In(r)|条输入信道接收信息后，得到|In(r)|个方程, 把这些方程联立起来后，形成了一个关于源点播出的信息字符12h y ,y ,...,y 的线性方程组。

这个方程组的系数矩阵由宿点输入信道的全局编码向量构成，记为Gr ，只有当该系数矩阵的秩为h 时，才能通过求解线性方程组恢复出源点播出的信息字符，称为组播连接成功；否则，不能解出源点播出的字符，称之为组播连接不成功。

在确定了组播容量后，采用线性网络编码技术实现单源组播数据传输的关键是如何确定各信道的编码向量，使每一宿点的全局编码向量的秩为h 。文献[5]提出在网络拓扑未知的环境下，可以采用随机线性网络编码方法，采用该方法时，编码节点为每一输出信道独立随机地产生局部编码向量，为使宿点进行解码，信道传输的信息包括两部分：全局编码向量和转发的字符。由于产生局部编码向量的随机性，宿点的全局网络编码矩阵的秩有可能小于组播率，不能恢复出源点的信息。

定义1：在给定的组播率下通过计算的方法确定各信道的编码向量，数据传输过程中采用这些编码向量进行编码运算，则称为确定性的网络编码数据传输策略；若编码向量是在数据传输过程中随机产生，则称为随机网络编码数据传输策略。

定理2-3:传输的信息字符虽经过了多个编码节点，但信道上携带的信息字符均可以表示成源点s 所传出的信息字符y1,y2,…,yh 的线性组合，记为：

T

v,v,(e )=(e )i i y g y

公式(2-12)

其中v,v,,1v,,2v,,(e )=(,,...,)

i i i i h g g g g 称为输入信

道

v,e i

的全局编码向量。

证明：采用数学归纳法证明。由于所考虑的单源组播网络是一个有向无环图，必定存在一个拓扑顺序，不妨记为o1,o2,…,o |V|，这一顺序存在如下特点：第oi 个节点的输入信道必定为第oj(1≤j

当i=1时，因节点o1为源点，源点输出信道所传输的信息是源点所播出信息的线性组合，结论显然成立。

假设对于i ≥1时结论成立，即节点o1,o2,…,oi 的输出信道传输的字符可以表示为源点播出字符y1,y2,…,yh 的线性组合.下面证明对于节点v=o i +1结论也成立。

3 确定性网络编码构造方法

文献[4]提出了确定性网络编码构造算法，该算法主要是利用了线性空间正交补的思想来确定局部编码向量。对于每一宿点t ，利用ford-Forkerson 算法求出源点s 至宿点间的最小割ht ，从而确定了最大组播率min{}t t T

h h ∈=.对于每一宿点t,确定从源点s 至宿

点t 的h 条边不重叠的路径,并把这些路径构成的集合记为ft 。接下来从源点开始，对于节点的输出链路，分别确定该链路的局部编码向量和全局编码向量。

该算法所需要的符号如下：

f t .:源点s 至宿点t 的h 条边不重叠的路径的集合；

T(e):表示一个集合，表示所有经过链路e 的路径

对应的宿点集合。如f t

中有一条路径经过链路e ，则t ∈T(e).

()t f e →：是一条信道，表示宿点t 的路径流入e

的前一信道。

P(e):信道的集合，即所有()t

f e →

构造的集合，(){():()}t

P e f e t T e ←=∈.

Ct:h 条信道的集合，对于源点s 至宿点t 的某个割，这个割切割f tt 得到的h 条信道。

Bt:由Ct 中的每条信道对应的全局编码向量构造

的集合。

b(e):表示信道e 的全局编码向量。

m e (p):表示信道e 的局部编码向量对应于前趋信道p 的编码系数。

a t (e):由Bt\{b(e)}的正交补向量。 算法描述如下：

1 计算:min{min{|| is s-t cut}t T

h C C ∈=：

2 插入一个虚拟源点s ’

3 插入h 条虚拟信道连接s ’至s.

4 对于每一宿点t ∈T,分别找出从源点s 至宿点t 的h 条边不重叠的路径，其路径集合记为f t .

5 选定一有限域GF(2m ),并满足2m >|T|.

6 forall i(1≤i ≤h)：b(e)=[0i-1,1,0h-i ]

7 forall t ∈T do C t ={e 1,e 2,…,e h }

B t ={b(e 1),b(e 2),…,b(e h )}

Forall e ∈C t :a t (e)=b(e)

8 forall vertex v ∈V\{s ’} 按拓扑排序 do Forall v 的输出信道e do

选择e 的局部编码向量{m e (p): p ∈P(e)} 计算()

():

()()e p P e b e m p b p ∈=∑

,并满足下述条

件：对于每一t ∈T ，把b(e)替换(())t

b f e ←后，

这h 个向量仍是线性无关的。 Forall t ∈T do

'=:{\{()}{}t

t t C C

f e e ←? '=:{\{b (())}{()}t

t t B B

f e b e ←? '-1

(e )=:(()(()))(

())

t t t t t a b e a f e a f e ←←? Forall \{()}t

t c C f e ←

∈ do ''():()(()())()t t t t a c a c b e a c a e =-?

'''{,,}:{,,}

t t t t t t C B a C B a = 9 return {} 4 仿真实现方案

以下通过一个具体的实例来说明仿真实现过程：

图1 单源组播网络

图1表示一个单源组播网络，其中s 为源点，T={t1,t2,t3}为宿点集，其余为中间节点，每条链路均为单位容量的有向信道。

首先采用ford-Forkerson 算法求出源点至每一宿点的最小割均为3,选定组播率h=3.

确定伽罗华域为GF(22),相应的不可约多项式为x 2+x+1.

采用ford-Forderson 算法分别求出源点到所有宿点的h 条边不重叠的路径。

源点s 至宿点t1的h 条路径为：

s->1->t1;s->2->5->8->t1；s->3->6->9->t1 源点s 至宿点t2的h 条路径为：

s>1->5->8->t2;s->2->6->9->t2;1->3->7->10->t2 源点s 至宿点t3的h 条路径为：

s->2->6->9->t3;s->3->7->10->t3;s->4->t3.

从而可以得到各链路的T(e), ()t

f e →

,P(e)如下表所示：

要编码，其余链路采用路由传输方式。

对于需要编码的链路e,因为对于所有的t ∈T(e)，

需要把链路e 替代Ct 中的()t

f e ←

,相应地，在Bt 中，把b(e)代替(())t

b f e ←

,并使(\(())){b(e)}t t B b f e ←?是线性无关的，构成h 维线性空间中的一个基。

设h 维向量空间记为W,注意到对于

c ∈C t ,B t/{b(c)}可以张成一个向量子空间，该子空间的所有向量可以由h-1个基向量线性表示，记为W c ，而由{a t (c )}张成的向量子空间是W c 的正交补，因为满足:

1 c'=c

()(')0 c'c

t a c b c ??=?≠? (4)

从而选取b(e)只需满足()()0t a c b e ?≠即可。

因此，选择b(e)的条件如下：确定局部编码向量

{m e (p): p ∈P(e)}，计算()

():()()e p P e b e m p b p ∈=∑

),使得对

t ∈T(e)，满足:

()()0 t T(e)t a c b e ?≠?∈ (1)

有两种确定局部编码向量的方法。

方法1:随机方法。对于p ∈P(e),)随机选取

()e m p ∈GF(2m

).计算()

():

()()e p P e b e m p b p ∈=∑

并验证式

(1)是否成立，若式(1)成立，则进行下一步，否则，对于p ∈P(e),重新随机选取()e m p ∈GF(2m ).直到式(1)成立，当选择的伽罗华域的阶较大时，随机选取的局部编码向量满足式(1)的概率较大。

方法2:确定方法。确定方法可以由引理1保证，引理1的证明过程就是具体的选取局部编码向量的方法。

引理1:设n<|GF(2m )|,现有两组h 维的向量{u 1,u 2,..,u n }和{v 1,v 2,…,v n }，且满足

0(1,...,)i i u v i n ?≠= (2)

则必定存在{u 1,u 2,..,u n }的一个线性组合r,满足 i r v 0(1,...,)i n ?≠= (3)

证明：采用归纳法进行证明.当n=1时，取r1=u1，显然满足式(3);假设当n=k 时结论成立，即存在r k 是{u 1,u 2,..,u k }的线性组合，且满足式(3):

k i r v 0(1,...,)i k ?≠=.当n=k+1时，若k k+1r v 0?≠,则结论成立，选取r k+1=r k ；否则有k k+1r v 0?=,选取11k k k r r u ++=?+,其中?待定系数。注意到

k+1k+11k+1r v ()v 0k k r u +?=?+?≠,现在的问题是如何选择?，使k+1i r v 0(1,...,)i k ?≠=成立。

k+1i 1r v k i k i r v u v +?=??+?，记i ?是满足k+1i r v ?=0的系数，则1()/()i k i k i u v r v +?=??，因此?只要不取与{1,...,k ??}中的相同的值，则一定能保证

k+1i r v 0(1,...,)i k ?≠=成立。因为k

因此选取?∈GF(2m )\{1,...,k ??}必定满足式(3),从而结论成立。

若把Bt 中的每一个向量组成是矩阵的一行，构成一个h ?h 的矩阵Bt ，把向量a t (c )(c ∈Ct)分别组成矩阵At 的每一列,根据式(4)，则必有A t B t =I(I 为h 阶的单位矩阵)，所以有A t =1t B -,从而At 可以用在宿点t 进行解码运算。

对于每一宿点，设从h 条链路中接收的数据分别为y1,y2,…,yh,则必须

（x1,x2,…,xh ）T =A t (y1,y2,…,yh)T 成立。

5 仿真结果

根据算法1步骤，针对图1进行仿真实现，假定源点组播的数据为(110,011,101)，假定这三个GF （23）上的字符分别由虚拟信道e1，e2,e3产生，则到得到各条链路的局部编码向量和传输的字符

从表中可以看出：

宿点t1从三条输入链中接收到了三个字符分别为：110，000，001．

而这三条链路对应的全局编码向量构成的矩阵Bt1为，

Bt1=

001 000 000

001 010 000

000 001 100

??

?

?

?

??At1=

001 000 000

101 101 000

110 110 111

??

?

?

?

??

事实上有at1=Bt-1成立，

从而由At(110 000 001)使可以恢复出源点播出的字符(110,011,101)。其余节点也可以得到类似的结果，限于篇幅，不详叙。

6结束语

做更深一步的研究。

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