复杂网络的无标度特性

网络(图)的基本概念


最短路径就是从指定始点到指定终点的 所有路径中总权最小的一条路经。 平均路径长度是指所有点对之间的最短 路径的算术平均值。
网络(图)的基本概念

集群系数(Clustering coefficient)反映网 络的群集程度，定义为网络的平均度与 网络规模之比。
k C N
ER模型

Erd ö s和Ré nyi （ 1959 ）首先研究了在随 机网络中最大和最小度的分布， Bollob á s(1981) 随后得到了所有度分布 的形式，推导出度数为k的节点数遵从平 均值为 的泊松分布，即
P(k) e λ k!
λ k
Connect with probability p
Baralá si-Albert模型扩展研究


初始吸引度 非线性择优连接 择优连接的更迭机理 增长制约条件及增长方式 局部相互作用 适应度模型
五、常用软件

Sas Matlab Pajek Origin Netdraw


Waxman
Gt-itm


Tiers
Brite
BA模型
（a)Barabá si-Albert模拟的度分布。 N m0 t 300000
N （b）不同系统规模下的 p k 。
100000 N 150000
BA模型
设节点 i 的度 k i 满足动态方程： k i ki m k i m n 1
t
k
p( k ) ~ k

Scale-free网络的特性

度分布呈幂率分布 中枢节点出现 稳健性 脆弱性
无标度网络与随机图特性比较
Network WWW Internet Actor Coauthorship Metabolic Foodweb C. elegance
C
0.1078 0.18-0.3 0.79 0.43 0.32 0.22 0.28
BA模型

增长和择优连接这两种要素激励了Barabá si－Albert模 型的提出，该模型首次导出度分布按幂函数规律变化
的网络。

模型的算法如下：
（1）增长：开始于较少的节点数量（m0），在每个时间 间隔增添一个具有m（≤m0）条边的新节点，连接这个 新节点到m个不同的已经存在于系统中的节点上。 （2）择优连接：在选择新节点的连接点时，假设新节点 连接到节点i的概率π 取决于节点i的度数即
四、Scale-free网络
目录

早期网络模型 无标度Scale-free网络 BA模型
早期网络模型

ER模型 小世界模型
ER模型


Erdö s和Ré nyi （ER）最早提出随机网络 模型并对模型进行了深入研究，他们是 用概率统计方法研究随机图统计特性的 创始人。 在模型开始阶段给定N个节点，没有边， 以概率p用边连接任意一对节点，用这样 的方法产生一随机网络。
r
1

1



模型的度分布是与时间无关的渐进分布 且与系统规模无关。 幂律度分布的系数与 m 2 成正比 。 无标度模型的动态特性可以用各种分析 方法给出 ： 连续域理论 主方程法 变化率方程法
Baralá si-Albert模型的限制条件


保持了网络的增长特性，不考虑择优连 接，网络度分布呈指数衰减。 消除了增长过程，只考虑择优连接，络 度分布围绕其均值为一高斯分布。
如果系统中节点及其与边的关系不确定， 就只能用随机图来表示这个系统。
规则图的特征
平均度为3。
随机图的特征

节点确定，但边以概率 p 任意连 接。 节点不确定，点边关系也不确定。
随机图——节点19，边43
平均度为2.42，集群系数为0.13。
随机图——节点42，边118
平均度为5.62，集群系数为0.133。
p=1/6 N=10 k ~ 1.5 Poisson distribution
小世界模型


为了描述从一个局部有序系统到一个随 机网络的转移过程，Watts和 Strogatz （WS）提出了一个新模型，通常称为小 世界网络模型。 WS模型始于一具有N个节点的一维网络， 网络的节点与其最近的邻接点和次邻接 点相连接，然后每条边以概率p重新连接。 约束条件为节点间无重边，无自环。
中国教科网拓扑结构
网络（图）的基本概念
关联与邻接 度、平均度 节点的度分布 最短路径与平均路径长度 群系数

网络(图)的基本概念
a c b
d
e
有向图、无向图、不连通图
网络(图)的基本概念

节点的度分布是指网络（图）中 度为 k 的节点的概率 p(k ) 随节点 度 k 的变化规律。
解为
t k i t m t i
式中

1 2
可给出度小于k的节点的概率 P k i t k
1 m t Pki t k P t i 1 k

பைடு நூலகம்
设在相同的时间间隔，添加节点到网络t i 中， 值具有常数概率密度 1 Pt i m0 t
Crand
0.00023 0.001 0.00027 0.00018 0.026 0.06 0.05
L
3.1 3.7-3.76 3.65 5.9 2.9 2.43 2.65
N
153127 30156209 225226 52909 282 134 282
无标度（Scale-free）网络

无标度模型由 Albert-L á szl ó Barab á si 和 Ré ka Albert在1999年首先提出，现实网 络的无标度特性源于众多网络所共有的 两种生成机制： （ⅰ）网络通过增添新节点而连续扩 张； （ⅱ）新节点择优连接到具有大量连 接的节点上。
其中 则
k 1,2,, n
设
npn 0 为常数
k
e lim P{ X n k} n k!
泊松分布
设随机变量X所有可能取的值为0，1， 2，…，而取各个可能值的概率为：
若 >0是常数，则称变量X服从参数为 泊 松分布，记为
<k>
于是，x的数学期望为：
代入前式
1 1 m t m t P ti k 1 1 k 1 t m 0
Pki t k 2m t 1 Pk k m0 t k1 1
1
t趋于无穷时度分布
Pk 2m k
1
r 式中
ki ( ki ) jk j


经过t时间间隔后，该算法程序产生 一具有N=t+m0个节点，mt条边的网络。 数量模拟表明具有k条边的节点的概 率服从指数为r=3的幂指数分布。
P(k) ~k-3
A.-L.Barabá si, R. Albert, Science 286, 509 (1999)
C(p) : clustering coeff. average path length
L(p) :
P(k)=0.1
p(k)=0.3
小世界模型



当p等于0时，对应的网络规则图。两个节点间 的平均距离<L>线性地随N增长而增长，集群 系数大。 当p等于1时，系统变为随机图。 <L>对数地随 N增长而增长，且集群系数随N减少而减少。 在 p 等于（ 0 ， 1 ）区间任意值时，模型显示出 小世界特性，<L>约等于随机图的值，网络具 有高度集群性。
方差
为随机变量的方差。方差是刻划随机变量取值 离差程度的一个数。 X的方差的算术平方根称 为标准差(或均方差）
若X是离散型随机变量，则方差为：
泊松定理
设随机变量Xn(n=0，1，2，…)服从二项分布， 其分布律为 n k nk P{ X n k} pn (1 pn ) k
即
所以，X的方差和均方差分别为：
指数函数
y ae
令 则
bx
对公式线性化，两边取对数得
ln y ln a bx
u ln y, c ln a
u c bx
指数函数 u c bx
幂函数
函数形式为： y ax b 式中 b 为实数。
对公式线性化，两边取对数，得
网络(图)的基本概念
7
2
5
2
5 1 3 7
5
3
1 5
网络(图)的基本概念
节点1到7之间的最短路13，平均路径长度5.47，
平均度为3.4，集群系数为0.48。
三、规则图和随机图


规则图的特征
如果系统中节点及其与边的关系是固定 的，每个节点都有相同的度数，就可以 用规则图来表示这个系统。


随机图的特征


Inet
Plarg
六、主要参考文献



Albert, R., H. Jeong, and A.-L. Barabá si, Diameter of the World-Wide-Web,1999, Nature (London)401, 130. Barabá si, A.-L., and R. Albert, Emergence of scaling in random networks, 1999, Science 286, 509 . Barabá si, A.-L., R. Albert, and H. Jeong, Mean-field theory for scale-free random networks, 1999, Physica A 272, 173. Albert, R., and A.-L. Barabá si, statistical Mechanics of complex network, 2002, Rev. Mod. Phys. Vol. 74, No.1, 47-97.
p ( x) 的性质
1) p( x) 0 2) p( x)dx 1

3) P(a X b) F (b) F (a) p( x)dx
a
b
随机变量的数字特征

随机变量的数学期望 定义1 设x是离散型随机变量，它的概率 函数是
随机变量的数学期望，反映了随机变量取值的平均水平， 即均值，是随机变量的算术平均。

复杂网络都具有分布于平均值两 边的度分布曲线吗？
无标度(Scale-free)网络

Scale-free网络的发现 Scale-free网络的特性
Scale-free)网络的发现



信息交换网（万维网、国际互联网、电话网、电 力网） 社会网络（电影演员合作网、科研合作图、引文网、 人类性接触网、语言学网） 生物网络（细胞网络、生态网络、蛋白质折叠）
j 1
i
分母求和是对系统中除新进入系统的节点 外的所有节点进行的 ，则

j
k j 2mt m
BA模型
当t足够大时，有 k i ki t 2t
解微分方程，有
dki dt ki 2t
1 ln k ln t 2
k ct
1
2
由初始条件得
ki t i m



离散型分布

若随机变量X只取有限个或可数个孤立的 值 x1, x2 , , xn , ，并且对应这些值有确定的 概率，即 P( X xi ) pi i 1, 2, ，则称X是离 pi 称为的概 散随机变量（或X是离散分布的）， 率分布，它满足下列条件：
连续型分布

若存在一个非负函数 p( x) ，使随机变量X 的分布函数 F ( x) 可以表示为 x F ( x) p(t )dt 则X称为连续随机变量（或X是连续分布 的），p( x) 称为随机变量X的概率密度。
令
ln y ln a b ln x
， c
u ln y ，v ln x u c bv
ln a得
幂函数
变量代换可在双对数坐标上得直线，
y a bx
二、网络(图)的基本概念
中国教科网
网络(图)的基本概念

节点通常用来表示系统中的部件； 边通常用来表示系统中部件之间的关系。 网络(图)就是由节点与节点之间的关系构 成的一张图。
目录



概率统计预备知识 网络(图)的基本概念 规则图和随机网 Scale-free网络 常用软件 参考文献
一、概率统计预备知识
目录

随机变量与分布函数（离散、连续） 随机变量的数字特征（数学期望、方差） 泊松分布 幂函数 指数函数
随机变量与分布函数


对某个随机试验 E ，如果每次试验的结果 可以用一个数X来表示，而且对任何实数 k，X<x有着确定的概率，则称X是随机 变量。 随机变量X的值小于实数k的概率P(X<x) 是x的函数，记作 F(k)=P(X<x) ,函数F(x) 叫做随机变量X的分布函数。