无标度网络matlab建模

复杂系统无标度网络研究与建模

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南京信息工程大学XXXX系，南京210044

摘要：21世纪是复杂性的世界，基于还原论的世界观与方法论已经无法满足当前人们对作为一个整体系统的自然界和人类社会的认识和研究，利用系统科学的方法对科学重新审视已近变为迫切的需要。现实生活中众多复杂网络都具有无标度性，这种无标度网络的增长性和择优连接性很好的解释了富者越富的“马太效应”。对无标度网络的深入研究，让人们深刻的认识到其在Internet、地震网、病毒传播和社会财富分布网中的理论与现实意义。本文通过对复杂网络中的无标度网络的分析与研究，介绍了无标度网络区别于一般随机网络的特性与现实意义，并利用了Matlab生成了一个无标度网络。

关键词：无标度网络，幂律特性，模型建立

1引言

任何一种网络都可以看作是由一些节点按某种方式连接在一起而构成的一个系统，曾经关于网络结构的研究常常着眼于包含几十个到几百个节点的网络，而近几年关于复杂网络的研究中则常常可以见上万个节点的网络，网络规模尺度上的改变也促使网络分析方法做相应的改变，而复杂网络是近年来随着网络规模、理论和计算机技术的飞速发展而出现的一个新的研究方向。它的出现不仅顺应了现代科技的发展趋势，而且反映了在以信息科学为支柱的新世纪中，各学科理论及应用交叉、渗透和融合的发展趋势[1]。复杂系统主要研究其个体之间相互作用所产生的系统的整体性质与行为“复杂系统的复杂性体现在系统的整体性质与行为往往不是系统各个个体的状态的简单综合”因此，复杂系统的研究不能采用还原论的方法，而要从整体上进行研究。

在对复杂系统的研究中，美国物理学家Barabasi和Albert通过对万维网的研究，发现万维网中网页连接的度分布服从幂律分布，而万维网中少数网页(Hub点)具有非常大的连接，大多数网页的连接数甚小Barabasi等把度分布为幂律分布(Power law)的复杂网络称为无标度网络（scale-free net）[2]。

经过众多的科研工作者的努力，已经证实了现实世界中无论是自然界还是人类社会都广泛的存在着具有度分布符合幂律分布的无标度网络，如生物网络、Internet网、WWW网、演员合作网、科学研究合作网、财富分布网、地震网、电站供电网、科技引文网和病毒传播网等。Newman将这些复杂网络粗略地分成四类:社会网络、信息网络、技术网络和生物网络[3]。

2无标度网络

2.1无标度网络简介

传统的随机网络[4](如ER模型)，尽管连接是随机设置的，但大部分节点的连接数目会大致相同，即节点的分布方式遵循钟形的泊松分布，有一个特征性的“平均数”。连接数目比平均数高许多或低许多的节点都极少，随着连接数的增大，其概率呈指数式迅速递减，故随机网络亦称指数网络。在科学界，这种方法主导了半个世纪。但这种方法是静态的，对于普遍存在的动态的演化系统所显示的重要特性，如“马太效应”(即“富者愈富”现象)不能进行分析研究。

1998年，Barabasi等开展一项对万维网进行描绘的研究工作。他们原本以为会发现一个满足泊松分布的随机网络钟形图，但结果出乎他们的意外：万维网基本上是由少数高连通性的页面串连起来的，80%以上页面的连接数不到4个，而占节点总数不到万分之一的极少数节点，却和1000个以上的节点连接。随机网络具有特征意义的多数节点大致相同的连接数——“平均数”不见了。于是他们把这种度分布范围很大的的网络称为“无标度网络”。他们在计算恰好拥有k个连接的万维网页面的数目时，发现网页的连接分布遵循“幂次定律”，即：任何节点与其他k个节点相连接的概率正比于k-λ（P（k）∝k-λ）。他们还发现万维网具有“小世界”效应，即在网络中任选两个网页，从一个网页平均点击19次就可找到另一个网页。经过更多的实证研究发现大量复杂系统，诸如互联网、细胞代谢系统、以及好莱坞的演员合演网络，都存在这种少数但高连通的节点，遵循“幂次定律”。这种节点可称为“集散节点”(Hub，hub-node)。许多不同的复杂系统，其网络结构，都是无标度网络，都是由少数集散节点主控的系统[5]。

2.2无标度网络的特性

随着国内外对无标度网络研究的扩展，科学家们发现越来越对的网络具有无标度性，并且这些不同领域的各式网络不仅遵循“幂次定律”，而且还有一个普遍的共同点:幂次定律中k-λ项中的幂指数λ值，通常介于2-3之间。见表1[5]。

表1.各种网络的度分布幂指数

网络规模（节点数）聚类系数平均直径长途连接度分布的负幂指数互联网域层327110.24 3.56 2.1

万维网1531270.11 3.1 2.1

电话线路3290.34 3.17 2.5

电影演员合演2252260.79 3.65 2.3

数学家合作709750.599.50 2.5

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图1幂律分布

对于为什么无标度网络会遵循幂律分布，Baralasi和Albert进一步分析了无标度网络遵循幂次定律的原因，和为什么随机网络理论不能解释集散节点的存在。他们认为随机模型(如RE模型)未能反映现实网络的两个重要特征：

1)增长性，即现实网络是由持续不断地向网络加入新的节点演化而成。2)择优连接性，现实网络中，并非所有的节点都是平等[6]的。

例如万维网，在选择将网页连接到何处时，人们可以从数十亿网站中进行选择。可是我们大部分人跟多的是只对Sina、Sohu或者Yahoo！比较了解。这一小部分中往往包含那些拥有较多连接的网站，只要连接到这些站点，就等于造就或加强了对它们的偏好。分中往往包含那些拥有较多连接的网站，只要连接到这些站点，就等于造就或加强了对它们的偏好。这种“择优连接”的过程，也发生在其他网络中。在好莱坞，连接关系较多的影星更容易受到新秀们的重视。而在互联网上，那些连接较多的路由器通常还拥有更大的带宽，因而新用户就更倾向于连接到这些路由器上。增长和择优连接这两种机制，有助于解释集散节点的存在：当新节点出现时，它们更倾向于连接到已经有较多连接的节点，随着时间的推进，这些节点就拥有比其他节点更多的连接数目。这也就解释了“富者愈富”的过程。而在随机网络中是不可能出现集散节点的。

无标度网络具有一些重要的特性值得系统科学界高度重视。如具有的稳健性和脆弱性，不但对说明系统进化的机理有重要的理论意义，而且在系统工程的应用方面也具有重要的实际价值。

在随机网络中，若有较大部分的节点被攻击，随机网络必然溃散成彼此孤立存在的小型孤岛。但无标度网络经过模拟，情况却和随机网络截然不同，例如：即使从互联网路由器中随机选择的失效节点比例高达80%，剩余的路由器还是能组成一个完整的集群以及任意两个节点间存在通路。要打击细胞内的蛋白质