深圳罗湖区文锦中学九年级上册期中试卷检测题
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深圳罗湖区文锦中学九年级上册期中试卷检测题
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从 2016 年底到 2018 年底两年内由 5 万 册增加到 7.2 万册. （1）求这两年藏书的年均增长率； （2）经统计知：中外古典名著的册数在 2016 年底仅占当时藏书总量的 5.6%，在这两年新 增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？ 【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是 20%；（2）到 2018 年底中外古典名著的册数 占藏书总量的 10%． 【解析】 【分析】 （1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率； （2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到 2018 年底中外古 典名著的册数占藏书总量的百分之几. 【详解】
【答案】（1）
【解析】 【分析】
；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2
（1）仿照材料内容，令 +
＝t 代入原式计算．
（2）观察式子找相同部分进行换元，令 a2﹣5a＝t 代入原式进行因式分解，最后要记得把 t 换为 a． （3）观察式子找相同部分进行换元，令 x2+4x＝t 代入原方程，即得到关于 t 的一元二次方 程，得到 t 的两个解后要代回去求出 4 个 x 的解． 【详解】
2 利用根与系数的关系可用 k 表示出 x1 x2 和 x1x2 的值，根据条件可得到关于 k 的方
程，可求得 k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】
解： 1 关于 x 的一元二次方程 x2 2k 1 x k2 3 0 有两个实数根，
0 ，即[2k 1]2 41 k2 3 4k 13 0 ，
3．已知关于 x 的一元二次方程 x2 2k 1 x k2 3 0 有两个实数根．
1 求 k 的取值范围； 2 设方程两实数根分别为 x1 ， x2 ，且满足 x12 x22 23 ，求 k 的值．
【答案】（1） k 13 ；（2） k 2 ． 4
【解析】 【分析】
1 根据方程有实数根得出 [2k 1]2 41 k2 3 8k 5 0 ，解之可得．
）（ + ），令 + ＝t，
则：
原式＝（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t＝t+ ﹣t2﹣ +t2＝
在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想 方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：
（1）计算：（1﹣ ﹣
）×（ +
）﹣（1﹣ ﹣
）×
Βιβλιοθήκη Baidu
（+
）
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3
解得 k 13 ． 4
2 由根与系数的关系可得 x1 x2 2k 1， x1x2 k 2 3 ，
x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 (2k 1)2 2 k 2 3 2k 2 4k 7 ，
x12 x22 23 ， 2k2 4k 7 23，解得 k 4 ，或 k 2 ，
k 13 ， 4
k 4 舍去， k 2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0, a，b，c 为常数 ) 根的判别式.当 0 ， 方程有两个不相等的实数根；当 0 ，方程有两个相等的实数根；当 0 ，方程没有实 数根 .以及根与系数的关系．
4．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场 从厂家购进了 A，B 两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：
A 型销售数量（台）
B 型销售数量（台）
总利润（元）
5
10
2 000
10
5
2 500
（1）每台 A 型空气净化器和 B 型空气净化器的销售利润分别是多少？
（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共 100 台，其中 B 型空气净化器的进货 量不少于 A 型空气净化器的 2 倍，为使该公司销售完这 100 台空气净化器后的总利润最 大，请你设计相应的进货方案；
（3）已知 A 型空气净化器的净化能力为 300 m3/小时，B 型空气净化器的净化能力为 200 m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为 200 m２，室内墙高 3 m．该场地负责人计划 购买 5 台空气净化器每天花费 30 分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，至 少要购买 A 型空气净化器多少台？ 【答案】（1）每台 A 型空气净化器的利润为 200 元，每台 B 型空气净化器的利润为 100 元；（2）为使该公司销售完这 100 台空气净化器后的总利润最大，应购进 A 型空气净化器 33 台，购进 B 型空气净化器 67 台；（3）至少要购买 A 型空气净化器 2 台.
55.6% 0.44 100% 10% ， 7.2
答：到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的 10%． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程 的知识解答，这是一道典型的增长率问题.
2．阅读下列材料
计算：（1﹣ ﹣ ）×（ +
）﹣（1﹣ ﹣
（1）令 +
＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t＝t+﹣t2﹣ ﹣t+t2+ ＝
（2）令 a2﹣5a＝t，则： 原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令 x2+4x＝t，则原方程转化为： （t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴t1＝0，t2＝﹣4 当 x2+4x＝0 时， x（x+4）＝0 解得：x1＝0，x2＝﹣4 当 x2+4x＝﹣4 时， x2+4x+4＝0 （x+2）2＝0 解得：x3＝x4＝﹣2 【点睛】 本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到 降次效果，从而简便运算．
解：（1）设这两年藏书的年均增长率是 x ，
51 x2 7.2 ，
解得， x1 0.2 ， x2 2.2 （舍去），
答：这两年藏书的年均增长率是 20%；
（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有 7.2 5 20% 0.44 （万册），
到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从 2016 年底到 2018 年底两年内由 5 万 册增加到 7.2 万册. （1）求这两年藏书的年均增长率； （2）经统计知：中外古典名著的册数在 2016 年底仅占当时藏书总量的 5.6%，在这两年新 增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？ 【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是 20%；（2）到 2018 年底中外古典名著的册数 占藏书总量的 10%． 【解析】 【分析】 （1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率； （2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到 2018 年底中外古 典名著的册数占藏书总量的百分之几. 【详解】
【答案】（1）
【解析】 【分析】
；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2
（1）仿照材料内容，令 +
＝t 代入原式计算．
（2）观察式子找相同部分进行换元，令 a2﹣5a＝t 代入原式进行因式分解，最后要记得把 t 换为 a． （3）观察式子找相同部分进行换元，令 x2+4x＝t 代入原方程，即得到关于 t 的一元二次方 程，得到 t 的两个解后要代回去求出 4 个 x 的解． 【详解】
2 利用根与系数的关系可用 k 表示出 x1 x2 和 x1x2 的值，根据条件可得到关于 k 的方
程，可求得 k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】
解： 1 关于 x 的一元二次方程 x2 2k 1 x k2 3 0 有两个实数根，
0 ，即[2k 1]2 41 k2 3 4k 13 0 ，
3．已知关于 x 的一元二次方程 x2 2k 1 x k2 3 0 有两个实数根．
1 求 k 的取值范围； 2 设方程两实数根分别为 x1 ， x2 ，且满足 x12 x22 23 ，求 k 的值．
【答案】（1） k 13 ；（2） k 2 ． 4
【解析】 【分析】
1 根据方程有实数根得出 [2k 1]2 41 k2 3 8k 5 0 ，解之可得．
）（ + ），令 + ＝t，
则：
原式＝（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t＝t+ ﹣t2﹣ +t2＝
在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想 方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：
（1）计算：（1﹣ ﹣
）×（ +
）﹣（1﹣ ﹣
）×
Βιβλιοθήκη Baidu
（+
）
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3
解得 k 13 ． 4
2 由根与系数的关系可得 x1 x2 2k 1， x1x2 k 2 3 ，
x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 (2k 1)2 2 k 2 3 2k 2 4k 7 ，
x12 x22 23 ， 2k2 4k 7 23，解得 k 4 ，或 k 2 ，
k 13 ， 4
k 4 舍去， k 2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0, a，b，c 为常数 ) 根的判别式.当 0 ， 方程有两个不相等的实数根；当 0 ，方程有两个相等的实数根；当 0 ，方程没有实 数根 .以及根与系数的关系．
4．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场 从厂家购进了 A，B 两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：
A 型销售数量（台）
B 型销售数量（台）
总利润（元）
5
10
2 000
10
5
2 500
（1）每台 A 型空气净化器和 B 型空气净化器的销售利润分别是多少？
（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共 100 台，其中 B 型空气净化器的进货 量不少于 A 型空气净化器的 2 倍，为使该公司销售完这 100 台空气净化器后的总利润最 大，请你设计相应的进货方案；
（3）已知 A 型空气净化器的净化能力为 300 m3/小时，B 型空气净化器的净化能力为 200 m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为 200 m２，室内墙高 3 m．该场地负责人计划 购买 5 台空气净化器每天花费 30 分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，至 少要购买 A 型空气净化器多少台？ 【答案】（1）每台 A 型空气净化器的利润为 200 元，每台 B 型空气净化器的利润为 100 元；（2）为使该公司销售完这 100 台空气净化器后的总利润最大，应购进 A 型空气净化器 33 台，购进 B 型空气净化器 67 台；（3）至少要购买 A 型空气净化器 2 台.
55.6% 0.44 100% 10% ， 7.2
答：到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的 10%． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程 的知识解答，这是一道典型的增长率问题.
2．阅读下列材料
计算：（1﹣ ﹣ ）×（ +
）﹣（1﹣ ﹣
（1）令 +
＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t＝t+﹣t2﹣ ﹣t+t2+ ＝
（2）令 a2﹣5a＝t，则： 原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令 x2+4x＝t，则原方程转化为： （t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴t1＝0，t2＝﹣4 当 x2+4x＝0 时， x（x+4）＝0 解得：x1＝0，x2＝﹣4 当 x2+4x＝﹣4 时， x2+4x+4＝0 （x+2）2＝0 解得：x3＝x4＝﹣2 【点睛】 本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到 降次效果，从而简便运算．
解：（1）设这两年藏书的年均增长率是 x ，
51 x2 7.2 ，
解得， x1 0.2 ， x2 2.2 （舍去），
答：这两年藏书的年均增长率是 20%；
（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有 7.2 5 20% 0.44 （万册），
到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：