洛朗级数展开习题精讲

§3.5 洛朗(Laurent)级数展开
已知：当f(z)在圆|z-z0|<R内解析时，Taylor 定理告诉我们， f(z)可展开成幂级数。
问题的提出
为了研究函数在奇点附近的性质，需要函数在
孤立奇点z0邻域上的展开式。 考虑：当f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否
展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
教学目的与要求: 了解双边幂级数,了解洛朗级数与泰 勒级数的关系,掌握解析函数在孤立奇点邻域内的洛 朗展式的求法.
重点: 解析函数的洛朗展式;解析函数在孤立奇点邻域 内的洛朗展式的求法.
难点：解析函数的洛朗展式的证明.
一、双边幂级数(含有正、负幂项)

ak (z z0 )k
k
k0 k !
1! 2! 3!
所以
(1 2 ...)
e
2

e
* e 2
3
*e 2
L
（1- 2 - 3 4 5 L ）*
2 3! 4! 5!
（1- 2 4 L ）*（1- 3 L ）
2
2
*（1- 3 L ）*（1- 5 L ）L
1
ez

k 0
1

1
k

k ! z
1 1 1 1! z

1 2!
1 z2

1 3!
1 z3
...(|
1 z
|
)
用1-z去换上式中的z得到：
1
e1 z

k 0
1 1 k ! 1 z
k

1 1 1 1!1 z

11 2! (1 z)2
ak
1
2i
C
(
f
( )
z0 )k 1
d
称为洛朗系数，C为环域 内按逆时针方向绕内圆 一周的任一闭合曲线(也 可取圆周)
几点说明：
(1) z=z0(即展开中心)可能不是f(z)的奇点，但
在|z-z0|≤R2上，存在奇点(即内圆以内存在
奇点)；
(2)
洛朗系数 ak

f (k) (z0 ) k!
负幂部分称为 ak (z z0 )k主要(无限)部分。 k 1
收敛区域(环)的确定：

正则部分 ak (z z0 )k 收敛(圆)
k 0
区域为：| z z0 | R1
(0 R1 )
负幂部分 ak (z z0 )k
k 1
令 1
z z0
则 a1 a2 2 a3 3 ...
设 | | R 1
R2
→ | z z0 | R2，R2 0
即负幂部分在|z-z0|=R2的圆外收敛。
由此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数 的敛散性来定义原级数的敛散性。 规定：当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛 时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级 数与负幂项级数的和。 讨论： (1)若R1<R2，则双边幂级数处处发散，
朗k展 开式。若f(z)在z0不解析(不可微或无意义)， 而在去心邻域0<|z-z0|<ε内解析，则称z=z0是f(z) 的孤立奇点。若在z0无论多么小的邻域内，总有除 z0外的奇点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。
泰勒级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环
域R2<|z-z0|<R1内的洛朗级数也具有。
ez ,sin z, cos z, ln1 z, 1 zm (m 1) 等的泰勒展开式和幂级数
的运算,特别是代数运算,变量代换,求导和积分等方法求一些
初等函数在指定圆环内的洛朗级数,直接利用公式只是个别情况!
附录：常见函数泰勒展开
ez 1 zk 1 1 z 1 z2 1 z3 ...
3!
5!
注：以上每项分别是
e
,
e
2
,
3
e2

等的展开，继续计算展开相乘得结果
1 2 3 L
26
1
1 z
百度文库
1 2z2

1 6z3
L
(1 z 是以z 0为中心z 的去心领域)
1
例 把 f z z3ez在 0 z 内展成洛朗级数。

1 3!
1 (1 z)3
...(| 1 1
z
|
)
即
1
e1 z

k 0
11 k ! (1 z)k
(0 |1 z |
)
(0 | z | 既是z 1的去心领域， 又是以z 1为中心点的去心领域)
当（1 z ）时
令 1 可得0 1
z
则
e e e 1 1 z
1
(1 2 ...)
2
用到的已知的展开：
注意
1

zn (在0 z 1泰勒展开)
1 z n0
我们知道 e z 在原点邻域上的展开式为
ez 1 zk 1 1 z 1 z2 1 z3 ...
R2<|z-z0|<R1
双边幂级数的性质

定理1：双边幂级数 ak (z z0 )k k
在收敛环上的和函数是一解析函
数，并且在任意较小的闭圆环上
R2 R2 | z z0 | R1 R1一致收敛。

定理2：设双边幂级数 f (z) ak (z z0 )k k
(2)若R1>R2，则双边幂级数就在R2<|z-z0|<R1环
状区域内收敛，环状收敛域称为收敛环。 双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛，在环外 发散，在环上敛散性不定。

正则部分 ak (z z0 )k k 0

主要部分 ak (z z0 )k k 1
1
z z0
收敛环
解
f
z

z3
1
1 z

1 2! z2

1 3! z3



z3 z2 z 1 1
2! 3! 4! z
应当指出,根据定理公式直接求一个函数的洛朗级数是很困难的 必须计算无穷多个积分才能得到,而不能像泰勒级数通过求导得 到,但是根据洛朗级数的唯一性,可以利用已知函数如
n0
n 1
(1 z)m 1m m 1m z m(m 1) 1m z2
1!
2!
m(m 1)(m 2) 1m z3 L 3!
在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项求导、逐项积
分、和函数是解析函数。
求洛朗展开式的系数Cn 洛朗展开式的系数Cn用公式计算是很麻烦的，
由洛朗级数的唯一性，我们可用别的方法，特别 是代数运算、代换、求导和积分等方法展开，这 样往往更便利(即间接展开法) 。 同一个函数在不同的收敛圆环域内的洛朗级数一 般不同；由洛朗级数的唯一性可知，同一个函数 在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同。
... ak (z z0 )k ... a2 (z z0 )2 a1(z z0 )1 a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 ... ak (z z0 )k ...
其中

正幂部分称为 ak (z z0 )k 解析(正则)部分， k 0
k0 k !
1! 2! 3!
sin z z z3 z5 z7 L 1! 3! 5! 7!
cos z 1 z2 z4 z6 L 2! 4! 6!
ln(1 z) z 1 dz z (1)n zndz
0 1 z
0 n0
(1)n zn1 , z 1
例2 将函数在指定去心领域内展成洛朗级数 并指出收敛范围 1
e1z , z 1及z
我们知道 e z 在原点邻域上的展开式为
ez 1 zk 1 1 z 1 z2 1 z3 ...(| z | )
k0 k!
1! 2! 3!
把z全换成1/z,可得到以下结果 :
的收敛环B为R2<|z-z0|<R1，则f(z)
(1) 在B内连续； (2) 在B内解析，且逐项可导； (3) 在B内可逐项积分。
定理3：设函数f(z)在环状区域R2<|z-z0|<R1的内 部单值解析，则对于环内任一点z，f(z)

必可展开成 f (z) ak (z z0 )k ，其中 k
，因为
f
(k) (z0 )

k!
2i
C
(
f
( )
z0 )k 1
d
成立的条件是f(z)在C内解析；
(3) 洛朗展开的唯一性；
(4) 如果只有环心z0是f(z)的奇点，则内圆半径可 以任意小，同时z可以无限地接近z0点，这时就称

ak (z z0 )为k f(z)在它的孤立奇点z0的邻域内的洛
例1
求函数
f

z


z2 (z
2z 5 2)(z2 1)
在圆环1 | z | 2 的洛
朗级数。
解 在圆环1 | z | 2内| z | 1, 1 1于是有洛朗级数
2
z2
f
z

z
1
2

2 z2 1


1 2
1 1 z
/
2

2 z2
1 1 z2

1 2


z
n

n0 2


(1)n
n0
2 z2n2
注意

1 2
n0
z n 2


(1)n
n1
2 z2n
作业题的错误集中在后半边的展开，特别是
原因应该是没有熟练掌握已有的展开
用到已有的展开：
1

zn (在0 z 1泰勒展开)
1 z n0