罗朗级数及展开方法

4.5 罗朗级数及展开方法
我们已经知道，若函数 f (z) 在圆域 z z0 R 内
解析，则 f (z) 在 z0 点可展开成幂级数，且由上面的推论 知，当 f (z) 在 z0 处不解析时，则 f (z) 在 z0 处肯定不能 展开成幂级数. 那么，如果我们挖去不解析的点 z0 ，函数
f (z) 在解析的环域： R1 z z0 R2 内是否可展开成
1 R 2 ，则由闭路变形定理，其系数
cn 也可表示为
i cn

1 2πi
C
(
f (
z0
) )n1
d
,
(n 0,1, 2,)
其中 C 沿逆时针方向.
4.5.2 罗朗级数展开方法实例
罗朗级数展开定理给出了将一个在圆 环域内解析的函数展开成罗朗级数的一般
方法，即求出 cn 代入即可，这种方法称为 直接展开法. 但是，当函数复杂时，求 cn 往
1
例３ 求积分 zz0 r e zz0 (z z0 )3 dz
1
解： f (z) e zz0 (z z0 )3 在0 z z0 内解析，
其Laurent 系数C1 0 2 iC1 0.
Ñ 例4 求积分
z
2
ln
1
特别的，当洛朗级数的系数公式
Ñ cn

1 2πi
C
(
f ( )
z0 )n1
d .
(n

0, 1, 2,L
)
n

1时，有
C1

1
2
i
C
f (z)dz

C f (z)dz 2 i C1
（即可利用Laurent系数计算积分）
其中C为圆环域R1<|zz0|<R2内的任何一条简单闭曲线, f (z) 在此圆环域内解析.
幂级数呢？这就是我们下面要讨论的问题: 罗朗级数.它 和泰勒级数一起，都是研究复变函数的有力工具.
4.5.1罗朗级数
形如

cn (z z0 )n cn (z z0 )n c1(z z0 )1 c0
n
c1(z z0 ) cn (z z0 )n

1 z

dz
.
解：ln1 1 (1)n1 z n z n1 n
1
z

C1 1 2 i .
1
Ñ 例 5 求积分 ze z d z.
|z|2
1

1
z
解：函数 f (z) zez 在 1<|z|<+内解析, |z|=2 在此圆环域
1 z
内, 把它在圆环域内展开得
f
(
பைடு நூலகம்
z
)

e
1 z
1
1 1


1

1 z

1 z2
L

1

1 z

1 2!z2
L

z
1
2 z

5 2z2
L
.
故c12, 原式=2ic1 4i.
－古萨基本定理知， cn 0 ，即 c3 0 ， c4 0 ，…，
当 n 2 时，由高阶导数公式知
Ñ cn

1
2 i
e
C n3
d

1 (e )(n2) (n 2)!

0

(n
1 2)!
故有
ez zn 1 1 1 1 z 1 z2
z2 n2 (n 2)! z2 z 2! 3! 4!
由于在给定圆环域内的解析函数是唯一的，所以常常
也 可 采 用间 接 展开 法 ，即 利 用基 本 展开 公 式以 及 逐项 求
导、逐项积分、代换方法等将函数展开成罗朗级数。 如
上例
ez z2

1 z2
(1
z
z2 2!

z3 3!
2)在1<|zi|<2中的洛朗展开式;
i O i
3)在2<|zi|<+中的洛朗展开式;
在复平面内有一个奇点: z=0在以-i为中心的圆周:|zi|=1上. 因此, f (z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个:
1)在0< |zi|<1中的洛朗展开式;
0
i
2)在1<|zi|< +中的洛朗展开式。
往是很麻烦的.
例
4.5.1
把函数
f (z)

ez z2
在以 z
0
为中心的圆环域 0 z 内展开成罗朗级数.
【解】 直接法展开
利用公式(4.5.5)计算 cn ，那么就有
i cn

1 2πi
e d C n3
其中 C 为圆环域内的任意一条简单曲线.
当 n 3 0 ，即 n 3 时，由于 ez zn3 解析，故由柯西
L
)
z3 z2 z 1 1 L 0 z . 2! 3! 4!z
注意: 一个函数 f (z)可以在奇点展开为洛朗级数，也 可在非奇点展开。
函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内 解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开 式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们不要把这种情 形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的 唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展 开式是唯一的.
(4.5.1)
的级数称为罗朗(Laurent)级数，其中 z0, cn (n 0, 1, 2,)
都是复常数.
由于这种级数没有首项，所以对它的敛散性我们无法
象前面讨论的幂级数那样用前 n 项和的极限来定义，容易 看出罗朗级数是双边幂级数，即它是由正幂项(包含常数 项)级数
和负幂项级数

iii) 2 < |z| < + 内是处处解析的, 应把 f (z)在
这些区域内展开成洛朗级数.
y
y
y
O1 x
O 1 2x
O
2x
2) 在1< |z| < 2内：f (z) 1 1 1 1 1 1
1 z 2 z z 1 1 2 1 z

1 (1 z
1 z
cn (z z0 )n
n0
(4.5.2)
1

cn (z z0 )n cn (z z0 )n
n
n1
两部分组成.
(4.5.3)
因此，我们可以用它的正幂项级数(4.5.2)和负幂项级数 (4.5.3)的敛散性来定义原级数的敛散性. 我们规定：当且仅当 正幂项级数和负幂项级数都收敛时，原级数收敛，并且把原 级数看成是正幂项级数与负幂项级数的和.
1 z2
L
)

1 2
1

z 2
z2 22
L

z
2
L
1 zn
1 L z n1
1 1 z z2 z24 8
L
.
3) 在2<|z|<+内:
f
(z)

1 1
z

1 2
z


1 z
1 1 1

1 z

1
1
2

z
z
1 1 1
1 24
z (1 z z2 L ) z (1 z z2 L )

对于正幂项级数 cn (z z0 )n ，它是一个通常的幂级数， n0
其收敛域是一个圆域. 设它的收敛半径为 R2 ，则当
z z0 R2 时，该级数收敛；当 z z0 R2 时，级数发散.
定理 4.5.1 (罗朗级数展开定理) 设函数 f (z) 在
圆环域 R1 z z0 R2 内解析，则在此圆环内 f (z) 必
可展开成罗朗级数

f (z) cn (z z0 )n n
其中系数项
i cn

1 2πi
f ( ) d C ( z0 )n1
(4.5.4)
(n 0, 1, 2,)
(4.5.5)
R
R1 1
gz
z0 Γ1
R2
2 C
2
图 4.3
设 C : z z0 R ，且满足
例如在 zi 和zi处展开函数 f (z) 1 2i 为洛朗级数。 z(z i)
在复平面内有两个奇点: z=0与zi, 分别在以i为中心的
圆周: |zi|=1与|zi|=2上.
因此, f (z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式
有三个:1)在|zi|<1中的泰勒展开式;

1 z2

3 z3

7 z4
L
.
1
例2 把函数 f (z) z3 e z 在0 | z | 内展开成洛朗级数.
[解] 因有 ez 1 z z2 z3 L zn L
2! 3!
n!
z3
1
ez

z 3 (1
1 z

1 2!z2

1 3! z 3

1 4!z4
z4 4!
)

1 z2

1 z

1 2!
1 z 3!
1 z2 4!

两种方法相比，其繁简程度显而易见. 因此，以后在
求函数的罗朗展开式时，通常不用公式(4.5.5)去求系数 cn ，
而常采用间接展开法.
例1
把
f
z

z
1
1 z 2
在复平面上展开为z的幂级数。
解： 函数 f (z) 在圆环域 i) 0 < |z| <1; ii) 1<| z| < 2;