第四节 洛朗级数

将函数展开成洛朗级数的适用范围：
圆环的一种蜕化情况是一点的去心邻域， 若函数在某点z0不解析，但在z0的去心邻 域内解析，这一点就是函数的孤立奇点. 将具有孤立奇点的函数f (z)展开为级数， 就利用洛朗级数来展开.
将函数展开成洛朗级数的基本思路：
若要将一个函数f (z)在圆环R1 z z0 R2 内展开为洛朗级数，可以采取一切可能的
第四节 洛朗级数
用适当方法将较简单的函数环绕 它的孤立奇点展开成洛朗级数
定理4.（7 洛朗定理） 设函数f (z)在圆环
域R1 z z0 R2内处处解析，则f (z)一定 能在此圆环域中展开为

f (z) Cn (z z0 )n， n
其中
Ñ Cn

1
2 i
(
f ( )
z0 )n1
d (n
0, 1, 2,)，
而C为此圆环域内绕z0的任一简单闭曲线.
注：
定理4.7中的式子称为f(z)在以z0为中心的圆环域： R1<|z-z0|< R2内的洛朗展开式. 右端的级数称为f(z)在此圆环域内的洛朗级数.
洛朗级数是包括正负次幂的级数，其中的正整次幂 部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分 和主要部分.
zn 3n1

n0
1 z 2n1

n0
3 z 2n2
).
例2、试求f (z) 1 以z i为中心的 1 z2
洛朗级数

方法，找到一个形如 Cn (z z0 )n的级数， n-
使它在R1 z z0 R2内收敛于f (z)，则此 级数一定就是所要求的洛朗级数.
将函数展开成洛朗级数的具体步骤：
设法将函数拆成两部分，一部分在圆盘 z z0 R2内解析，从而可展开为幂级数； 另一部分在圆周的外部 z z0 R1为解析， 从而可展开为负次幂级数.
1
例1、求函数 (z2 1)(z 3) 在圆环1<|z|<3 内的洛朗 级数展式。
解：由于1<|z|<3，那么| 1 | 1,| z | 1,
z3
利用当 | | 1 时的幂级数展式
1 1 2 ... n ... 1
我们得
(z
2
1 1)(z

3)

1 8
(
z
1
3

zz231)
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1 8
(
z
1
3

z
z 2 1

z
3 2
) 1
z
1
3

1 3(1 z
)

1 3
n0
zn 3n
;
3
1
z2 1

1 z2 (1
1 z2
)

1 z2
n0
1 z2n
;
(z2
1 1)( z

3)

1 ( 8 n0