第五节(洛朗级数展开)讲解
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设正幂部分的收敛半径为R1；而负幂部分在变换 =1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2 ，则其在 |z-z0|>R2外收敛。如果R2<R1，那么双边幂级数就 在环状域 R2<|z-z0|<R1 内收敛，所以 R2<|z-z0|<R1 给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。
双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛。
1 z z0
l 0
( z0 )l
(z z0 )l
l 0
( z0 )l
(z z0 )l1
把分别沿 CR1 和 C R2的展开式代入下式,然后逐项积分可得
f (z) 1
f ( ) d 1
f ( ) d
2i CR1 z
2i CR 2 z
(2) 虽然展开系数ak的公式与泰勒展开系数ak的公式形式
相同,但这里 ak f (k) (z0 ) / k! 不论z0是不是f(z)奇点.
如果是奇点,则 f (k) (z0 ) 根本不存在
8
a 如果z0不是奇点,则 f (k) (z0 ) 存在,但 k仍然不等于 f (k) (z0 ) / k!
§3.5 洛朗级数展开
一. 问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定理 告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。 问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展 开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
1
二. 双边幂级数
an (z z0 )n a2 (z z0 )2 a1(z z0 )1
上任一点z, f (z)可展开成为幂级数
k
f z an z z0 ,
k
其中ak
1
2i
C
f z0 k1
d
k
1,2,
并且展开式唯一
积分路径C为位于环域内按逆时针方向饶内圆一周的任一闭合
曲线.
5
证明: 为了避免讨论在圆周上函数的
解析性及级数的收敛性问题,将外圆稍微
C R1
缩小为 CR1 ,内圆稍微扩大为 C R2 ,如图
应用复通区域上的柯西公式有
f (z) 1
f ( ) d 1
f ( ) d
2i CR1 z
2i CR 2 z
C R2 R2 C R2
下面将
1 z
展开为幂级数,对于沿
f (z) (z z0)k
k 0
1
2i
( CR1
f (
z0
) )k
1
d
•••••
l 0
(z
z0 )(l1)
1
2i
(
CR 2
z0 )l f ( )d
把第二部分中的k=-(l+1)代替l作为求和指标,并根据柯西定理
7
把积分回路改为 CR1 可得
3
正幂部分 an (z z0 )n n0
R1
z0
|z-z0|<R1
负幂部分 an (z z0 )n
n1
1 z z0
R2 z0
R2<|z-z0|
R1
R2 z0
收敛环 R2<|z-z0|<R1
4
四. 洛朗定理
定理 设f z在R2 z z0 R1内单值解析，则对环域
的洛朗级数展开式,这种情况特别重要,以后将利用它研究函
数在孤立奇点附近的性质.
(4) 洛朗级数展开式也是唯一的,这点和泰勒级数是一致的,此唯一
性使得可用不同的方法求得环域上解析函数的洛朗展开式
9
例1: 在z0=0的邻域上把(sinz)/z展开
解: 函数(sinz)/z在原点没有定义,z0=0是奇点
同时也是解析函数f(z)的泰勒级数!
例2: 在1 | z | 的环域上将函数f(z)=1/(z2-1)展开为洛朗级数
f (z) ak (z z0 )k
k
其中
ak
1
2i
( CR1
f ( )
z0 )k 1
d
•
1
2i
C (
f (
z0
) )k 1
d
C为环域内沿逆时针方向饶内圆一周的任一闭回线,上式称之为
f(z)的洛朗展开,右端的级数称为洛朗级数
说明: (1) 虽然级数中含有z-z0的负幂项,而这些项在z=z0时都是 奇异的,但点z0可能是也可能不是函数f(z)的奇点
引用sinz在原点的邻域上的展开式:
sin z z z3 z5 z7 ...( z ) 1! 3! 5! 7!
同时为了避开奇点,从复平面挖去奇点,在挖去奇点的复数平面上
用z遍除sinz的展开式,就得到(sinz)/z的展开式
sin z 1 z2 z4 z6 ...(0 z )
zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3! 5! 7!
如果我们定义一个函数f(z)如下:
f
(
z)
sin z lzim0
z s
•••••••• (z in z 1•••(z
z
0) 0)
10
则f(z)在整个开平面上是解析的,由上我们可得到f(z)在z0=0的
邻域上的展开式:
f (z) 1 z2 z4 z6 ...( z ) 3! 5! 7!
CR1
的积分,展开如下:
CR1 CR1
1
z
k 0
(z z0 )k
( z0 )k1
而对于沿C R2的积分,考虑到
z z0
z0
用以下方法将其展开
6
1
z
(
1 z0) (z
z0 )
z
1 z0
1
1
z0
z z0
•••••
a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 an (z z0 )n
an (z z0 )n n
其中
an (z z0 )n 被称为双边幂级数的正幂部分
n0
an (z z0 )n 被称为双边幂级数的负幂部分
n1
2
三. 收敛环的确定
因为
f
(k) (z0 )
k!
2i
C
(
f (
z0
) )
k
1
d
成立的条件是以C为边界的
区域上f(z)解析,但现在区域上有f(z)的奇点,(如果没有奇点,就不用
考虑洛朗级数的展开)
不是z0
(3) 如果只有环心z0是f(z)的奇点,则内圆半径可以任意小,同时z 可以无限接近z0,这个时候称为f(z)在它的孤立奇点z0的邻域内
双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛。
1 z z0
l 0
( z0 )l
(z z0 )l
l 0
( z0 )l
(z z0 )l1
把分别沿 CR1 和 C R2的展开式代入下式,然后逐项积分可得
f (z) 1
f ( ) d 1
f ( ) d
2i CR1 z
2i CR 2 z
(2) 虽然展开系数ak的公式与泰勒展开系数ak的公式形式
相同,但这里 ak f (k) (z0 ) / k! 不论z0是不是f(z)奇点.
如果是奇点,则 f (k) (z0 ) 根本不存在
8
a 如果z0不是奇点,则 f (k) (z0 ) 存在,但 k仍然不等于 f (k) (z0 ) / k!
§3.5 洛朗级数展开
一. 问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定理 告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。 问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展 开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
1
二. 双边幂级数
an (z z0 )n a2 (z z0 )2 a1(z z0 )1
上任一点z, f (z)可展开成为幂级数
k
f z an z z0 ,
k
其中ak
1
2i
C
f z0 k1
d
k
1,2,
并且展开式唯一
积分路径C为位于环域内按逆时针方向饶内圆一周的任一闭合
曲线.
5
证明: 为了避免讨论在圆周上函数的
解析性及级数的收敛性问题,将外圆稍微
C R1
缩小为 CR1 ,内圆稍微扩大为 C R2 ,如图
应用复通区域上的柯西公式有
f (z) 1
f ( ) d 1
f ( ) d
2i CR1 z
2i CR 2 z
C R2 R2 C R2
下面将
1 z
展开为幂级数,对于沿
f (z) (z z0)k
k 0
1
2i
( CR1
f (
z0
) )k
1
d
•••••
l 0
(z
z0 )(l1)
1
2i
(
CR 2
z0 )l f ( )d
把第二部分中的k=-(l+1)代替l作为求和指标,并根据柯西定理
7
把积分回路改为 CR1 可得
3
正幂部分 an (z z0 )n n0
R1
z0
|z-z0|<R1
负幂部分 an (z z0 )n
n1
1 z z0
R2 z0
R2<|z-z0|
R1
R2 z0
收敛环 R2<|z-z0|<R1
4
四. 洛朗定理
定理 设f z在R2 z z0 R1内单值解析，则对环域
的洛朗级数展开式,这种情况特别重要,以后将利用它研究函
数在孤立奇点附近的性质.
(4) 洛朗级数展开式也是唯一的,这点和泰勒级数是一致的,此唯一
性使得可用不同的方法求得环域上解析函数的洛朗展开式
9
例1: 在z0=0的邻域上把(sinz)/z展开
解: 函数(sinz)/z在原点没有定义,z0=0是奇点
同时也是解析函数f(z)的泰勒级数!
例2: 在1 | z | 的环域上将函数f(z)=1/(z2-1)展开为洛朗级数
f (z) ak (z z0 )k
k
其中
ak
1
2i
( CR1
f ( )
z0 )k 1
d
•
1
2i
C (
f (
z0
) )k 1
d
C为环域内沿逆时针方向饶内圆一周的任一闭回线,上式称之为
f(z)的洛朗展开,右端的级数称为洛朗级数
说明: (1) 虽然级数中含有z-z0的负幂项,而这些项在z=z0时都是 奇异的,但点z0可能是也可能不是函数f(z)的奇点
引用sinz在原点的邻域上的展开式:
sin z z z3 z5 z7 ...( z ) 1! 3! 5! 7!
同时为了避开奇点,从复平面挖去奇点,在挖去奇点的复数平面上
用z遍除sinz的展开式,就得到(sinz)/z的展开式
sin z 1 z2 z4 z6 ...(0 z )
zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3! 5! 7!
如果我们定义一个函数f(z)如下:
f
(
z)
sin z lzim0
z s
•••••••• (z in z 1•••(z
z
0) 0)
10
则f(z)在整个开平面上是解析的,由上我们可得到f(z)在z0=0的
邻域上的展开式:
f (z) 1 z2 z4 z6 ...( z ) 3! 5! 7!
CR1
的积分,展开如下:
CR1 CR1
1
z
k 0
(z z0 )k
( z0 )k1
而对于沿C R2的积分,考虑到
z z0
z0
用以下方法将其展开
6
1
z
(
1 z0) (z
z0 )
z
1 z0
1
1
z0
z z0
•••••
a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 an (z z0 )n
an (z z0 )n n
其中
an (z z0 )n 被称为双边幂级数的正幂部分
n0
an (z z0 )n 被称为双边幂级数的负幂部分
n1
2
三. 收敛环的确定
因为
f
(k) (z0 )
k!
2i
C
(
f (
z0
) )
k
1
d
成立的条件是以C为边界的
区域上f(z)解析,但现在区域上有f(z)的奇点,(如果没有奇点,就不用
考虑洛朗级数的展开)
不是z0
(3) 如果只有环心z0是f(z)的奇点,则内圆半径可以任意小,同时z 可以无限接近z0,这个时候称为f(z)在它的孤立奇点z0的邻域内