第三章 测度论

例题 5：对于区间I 有 m I I 3、勒贝格外测度涵义 优点：任何集合都有外测度。 缺点：外测度只具有次可数可加性，不具有可数可加性。
对外测度加以限制，设法在 R 中找出某一集合类 ，在 上满足
n

（1）封闭性： 对某些运算应该封闭；
（2）可数可加性： m Ei m ( Ei ) i 1 i 1
上定义了一个实函数 m( E )
（1）非负性：m( E ) 0
（2）有限可加性：如果 E1 , E2 ,..., En 两两不相交，那么
m( E1 E2 ... En ) m( E1 ) m( E2 ) ... m( En )
m([0,1]) 1 （3）正则性：
该长度公理实际上只给出了区间的长度，黎曼积分中划分之后区间的 长度就是一个点集，已经不是一个区间，再如[0,1]中有理数集合的长度 或是无理数集合的长度也无法确定，这就是点集测度的由来。
3、勒贝格测度性质 （1） m() 0 （2）非负性：m E 0 （3）单调性：设A, B 可测，且 A B ，则 mA mB
（4）可列可加性：设 {Ei } 是一列互不相交的可测集 m Ei mEi i 1 i 1
§3 可测集类
1、零测集 凡外测度为0的集合都是可测集，称为零测集。 零测集性质： （1）零测度集的任何子集都为零测度集。
Si 也可测。
i 1
（5）设 S1 , S2 可测，则 S1 S2 也可测。 （6）设{Si } 是一列互不相交的可测集，则 Si 也是可测集，且
i 1
m Si mSi i 1 i 1
推广：设 {Si }是一列可测集，则
i 1

Si ， Si 也是可测集。


包含在 R n 中的所有有限开区间。 （3）正则性：
问题：如何从 R n 中挑出集合类 呢？
如下构造：从可加性条件加以思考，附加一个判断 R n 中 集合属于 的条件即可。
设 E Rn ，如果 E ，由于 R n 中任何开区间I都属于 ，由
的运算封闭性，则
( I E) , ( I ðE) , ( I E) ( I ðE) ,
可得到：有理数所成之集是零测集。
2、勒贝格外测度性质 （1） m Biblioteka Baidu （2）非负性：m E 0 （3）单调性：设 A B ，则 m A m B
（4）次可数可加性 m Ai m Ai i 1 i 1

例题 3：可数个零测积之和集是否为零测集？ 例题 4：康托集是零测集。
当格子越来越密时，小正方形的面积趋于0，过剩和不足近似值能够
趋于同一个数值，这个值便是图形的面积。
↓
外测度和内测度相等→可测
§1 外测度
1、勒贝格外测度 设E为 R n 中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间 Ii E ，
| 可以等于 做出它的体积总和 | I i （
i 1 i 1
，不同的区间列
一般有不同的 ），所有这一切的 组成一个下方有界的数 集，它的下确界（由E完全确定）称为E的勒贝格外测度，简 称L外测度或外测度，即 m E inf


E
i 1
Ii i 1
| I

i
|
例题 1：有限点集的外测度是0.
例题 2：可数点集的外测度为0.
设E为[0,1]中的全体有理数，则 m E 0
（2）有限个或可数个零测度之和集仍为零测度集。
2、常见可测集 （1）区间I（不论开、闭或半开半闭区间）都是可测集合， 且 mI I （2）凡开集、闭集皆可测。
§2 可测集
1、勒贝格测度 设E为R n 中的点集，如果对任一点集T都有
mT m (T E) m (T ðE)
则称E是L可测的，这时E的L外测度 m E 即称为E的L测度，
记为 mE
2、勒贝格测度运算性质 （1）集合E可测 对于A E, B ðE ,总有 m A B m A m B （2）S可测
勒贝格测度公理： 设有实数直线上的一部分集合族 ，使得每一个E ，都
对应一个实数 m （在 上定义了一个实函数 m( E ) ，满足
（1）非负性： m( E) 0 （2）可列可加性：如果 E1 , E2 ,..., En ,... 两两不相交，那么
m( E1 E2 ... En ...) m( E1 ) m( E2 ) ... m( En ) ...
ðS 可测。
（3）设S1 , S2可测，则 S1 S2 也可测，并且当S1 S2 ,对于任
意集合T总有 m T S S m ( T S ) m (T S 2 ) 1 2 1
n
推广：设 Si (i 1, 2,..., n) 可测，则
i 1
（7）设{Si } 是一列递增的可测集：S1 S2
Sn
令S
i 1
Si lim Sn ，则
n
mS lim mS n
n
（8）设{Si } 是一列递降的可测集： S1 S2 令S
i 1 n
Sn
Si lim Sn ，则当 mS1 时， mS lim mS n n
m([a, b]) b a （3）正则性：
问题：是否每一个集合都有测度？
内填外包法（测量不规则图形的面积） →集合E 内填：内部填满图形的那些格子的面积之和中的最大者， ↓ 即不足近似值。 闭集 ↓ 用来填上E的内部的闭集的测度的上确界→内测度 外包：外部包围图形的那些格子的面积之和中的最小者， ↓ 即过剩近似值。 开集 ↓ 取包含E的那些开集的测度的下确界→外测度
i 1
Si也可测，并且当 S S , i j
n n i j , 对于任意集合T总有 m T Si m (T Si ) i 1 i 1
（4）设 S1 , S2 可测，则 S1 S2 也可测。
n
推广：设 Si (i 1, 2,..., n) 可测，则
为长度、面积、体积等概念的推广，这就产生了测度的概念。
测度论的思想和方法已经是近代分析、概率论及其他学科必不可 少的工具。
实变函数论部分的主要目的，就是介绍在理论和应用上都十分重要
的勒贝格测度与勒贝格积分理论。
长度公理： 设有实数直线上的一些点集所构成的集合族 ，若对于每
一个 E
使得
，都对应一个实数 m （在
第三章 测度论
引言
§1 外测度 §2 可测集 §3 可测集类
引言：
19世纪的数学家们已经认识到，古典的黎曼积分在理论上有很大的
局限性，为了解决分析中提出的许多问题，有必要改造和推广原有的积
分定义。注意到黎曼积分与长度、面积、体积等度量有密切的关系，所 以积分概念的推广，自然要想到对Rn中的点集给于一种度量，使之成
（1)
( I E) ( I ðE) I ,
所以有
m I m (I E) m (I ðE)
反之，如果存在某个开区间I，使上式不成立，则E自然不应该属于
引理：设 E Rn，则(1)是对 R n 中任何开区间都成立的充要 条件是对 R n 中的任何点集T都有
mT m (T E) m (T ðE)