第13章 离散小波变换
离散小波变换matlab
离散小波变换matlab一、离散小波变换介绍离散小波变换（Discrete Wavelet Transform, DWT）是一种基于小波分析的数学方法，它可以将信号分解成不同尺度的频带，从而实现信号的多分辨率分析。
与傅里叶变换相比，离散小波变换更加适用于非平稳信号的处理，如图像、音频等。
二、matlab中的离散小波变换函数matlab提供了多种离散小波变换函数，常用的有dwt和wavedec两个函数。
1. dwt函数dwt函数用于对一维信号进行单层离散小波变换。
其语法为：[c,l] = dwt(x, wname)其中，x为输入信号，wname为所选用的小波基名称。
c为输出系数向量，l为各层输出长度向量。
2. wavedec函数wavedec函数用于对一维信号进行多层离散小波分解。
其语法为：[c,l] = wavedec(x, n, wname)其中，x为输入信号，n为所需分解层数，wname为所选用的小波基名称。
c为输出系数向量，l为各层输出长度向量。
三、matlab中的离散小波重构函数与离散小波变换函数对应，matlab也提供了离散小波重构函数，常用的有idwt和waverec两个函数。
1. idwt函数idwt函数用于对单层离散小波变换系数进行重构。
其语法为：x = idwt(c, l, wname)其中，c为输入系数向量，l为各层输出长度向量，wname为所选用的小波基名称。
x为输出信号。
2. waverec函数waverec函数用于对多层离散小波分解系数进行重构。
其语法为：x = waverec(c, l, wname)其中，c为输入系数向量，l为各层输出长度向量，wname为所选用的小波基名称。
x为输出信号。
四、matlab中的图像处理中的应用离散小波变换在图像处理中有广泛应用。
常见的应用包括图像压缩、边缘检测、图像增强等。
1. 图像压缩利用离散小波变换可以将图像分解成不同尺度的频带，在高频子带上进行量化和编码可以实现图像压缩。
离散小波变换与框架-38页文档资料
1
2
e ijx
ˆ ( x
2 k )
2
dx
2 k 0
1
2 (k 1)
e ijy
ˆ ( y )
2
dy
2
k
2k
1
e ijx
ˆ ( x )
2
dx
2
（ 1）（ 2）：
( x k ), ( x l )
( x k ) ( x l )dx
( y j ) ( y )dy
对连续小波的离散化处理：
定义:
bj,k
k 2j
b0
对W ( f )(b, a)离散化
j, k Z,b0 0
W (
f
)(bj
,k
,
1 2j
)
f , j,k
d j,k
j
其中： j,k＝22 (2 j t kb0 )
连续小波离散化后的问题：
1.{dj,k}是否保留f的了全部信息。 2.怎样{d由 j,k}重构 f。
存在0 AB,对f L2,
A f
2 f ,j,k
2
B f
2
则称j,k满足稳定性条件。
框架的定义：
若函数 L2,生成的函数 j,k满 序足 列稳定性条 则称 {j,k}是L2上的一个框架。
A, B称为框架界。
若A＝B，则称框架为紧框架。
定理：
若j,k是L2上的一个框架，则存 函在 数序列~j,k，
一些注释：
3. 在实际中，我们很难知道T-1的表达方式。从
而求“对偶”框架通常是很困难的。解决的 办法有两种。
1) 加强框架的生成条件。（例如：正交，半正 交条件）
2) 近似。
离散小波变换原理
离散小波变换原理离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种信号分析方法，它将信号分解成不同尺度和频率的子信号。
离散小波变换可以应用于信号处理、图像压缩、声音压缩等领域。
1. 离散小波变换的基本原理离散小波变换是一种多分辨率分析技术，它将信号分解为多个尺度和频率的子信号。
这些子信号可以进一步进行处理或合成为原始信号。
离散小波变换的基本过程是：首先将原始信号通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，并对滤波后的结果进行下采样（即降采样），得到两个子信号——近似系数和细节系数。
然后，对近似系数进行相同的处理，直到得到所需的尺度和频率。
具体地说，假设有一个长度为N的原始信号x[n]，我们要将其分解为J个尺度（scale）和频率（frequency）上不同的子信号。
首先，定义一个长度为L的低通滤波器h[n]和一个长度为H的高通滤波器g[n]，其中L+H=N。
然后，在第j级分解中，将输入信号x[n]分别通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，得到近似系数Aj-1和细节系数Dj-1：Aj-1 = x[n]*h[n]Dj-1 = x[n]*g[n]其中，“*”表示卷积运算。
然后，对近似系数Aj-1进行下采样，得到长度为N/2的新信号：Vj = Aj-1[0], Aj-1[2], ..., Aj-1[N-2]同样地，对细节系数Dj-1也进行下采样，得到长度为N/2的新信号：Wj = Dj-1[0], Dj-1[2], ..., Dj-1[N-2]这样就得到了第j级分解的近似系数Vj和细节系数Wj。
然后，对Vj进行相同的处理，直到得到所需的尺度和频率。
最后，可以将所有尺度和频率上的子信号合成为原始信号x[n]。
具体地说，在第j级合成中，将长度为N/2的近似系数Vj和细节系数Wj上采样（即插值）并通过低通滤波器h[n]和高通滤波器g[n]进行卷积运算，并将结果相加即可：Aj = Vj+1*h[n] + Wj+1*g[n]其中，“+”表示上采样后的加法运算。
离散小波变换
长期以来，离散小波变换(Discrete Wavelet Transform)在数字信号处理、石油勘探、地震预报、医学断层诊断、编码理论、量子物理及概率论等领域中都得到了广泛的应用。
各种快速傅氏变换(FFT)和离散小波变换(DWT)算法不断出现，成为数值代数方面最活跃的一个研究领域，而其意义远远超过了算法研究的范围，进而为诸多科技领域的研究打开了一个崭新的局面。
本章分别对FFT 和DWT 的基本算法作了简单介绍，若需在此方面做进一步研究，可参考文献[2]。
1.1 离散小波变换DWT1.1.1 离散小波变换DWT 及其串行算法先对一维小波变换作一简单介绍。
设f (x )为一维输入信号，记)2(2)(2/k x x j j jk -=--φφ，)2(2)(2/k x x j j jk -=--ψψ，这里)(x φ与)(x ψ分别称为定标函数与子波函数，)}({x jk φ与)}({x jk ψ为二个正交基函数的集合。
记P 0f =f ，在第j 级上的一维离散小波变换DWT(Discrete Wavelet Transform)通过正交投影P j f 与Q j f 将P j -1f 分解为：∑∑+=+=-kkjk j k jk j k j j j d c f Q f P f P ψφ1其中：∑=-=-+112)(p n j n k jk c n h c ，∑=-=-+112)(p n j n k j k c n g d )12,...,1,0,,...,2,1(-==j N k L j ，这里，{h (n )}与{g (n )}分别为低通与高通权系数，它们由基函数)}({x jk φ与)}({x jkψ来确定，p 为权系数的长度。
}{0n C 为信号的输入数据，N 为输入信号的长度，L 为所需的级数。
由上式可见，每级一维DWT 与一维卷积计算很相似。
所不同的是：在DWT 中，输出数据下标增加1时，权系数在输入数据的对应点下标增加2，这称为“间隔取样”。
离散小波变换
小波变换的应用领域
01
02
03
04
信号处理
小波变换在信号处理中广泛应 用于信号去噪、特征提取、信 号分类等。
图像处理
小波变换在图像处理中用于图 像压缩、图像增强、图像恢复 等。
语音识别
小波变换在语音识别中用于语 音信号的特征提取、语音分类 等。
FWT具有较高的计算效率和实 用性，广泛应用于信号处理、 图像处理等领域。
小波包算法
小波包算法是一种改进的小波变换算法，它不仅考虑了信号在不同尺度上的分解， 还考虑了不同频率分量的分组。
小波包算法通过将信号的频率分量进行分组，并选择合适的小波基函数对每组分量 进行变换，能够更精确地描述信号的时频特性。
应用
多维离散小波变换在图像处理、信号处理、数据压 缩等领域有广泛应用。
小波变换的性质
80%
冗余性
小波变换具有一定程度的冗余性 ，即在小波系数中存在一些重复 或近似值，可以通过阈值处理等 方法去除冗余。
100%
方向性
小波变换具有方向性，能够捕捉 信号在不同方向上的变化，从而 实现对信号的精细分析。
80%
离散小波变换
目
CONTENCT
录
• 引言 • 小波变换的基本原理 • 离散小波变换的算法实现 • 离散小波变换的应用实例 • 离散小波变换的优缺点 • 离散小波变换的未来发展与展望
01
引言
小波变换的定义
小波变换是一种信号处理方法，它通过将信号分解成不同频率和 时间尺度的分量，以便更好地分析信号的局部特征。
带，通过对不同频带的小波系数进行增 换被用于图像的增强和清晰化，以便更
离散小波变换公式原理
离散小波变换公式原理离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，简称DWT）是一种在信号与图像处理中常用的变换方法。
它是将信号或图像通过一对分析滤波器和合成滤波器进行卷积运算，得到信号或图像的低频分量和高频分量。
(1) 分解（Analysis）:将长度为N的输入信号x(n)通过低通滤波器h(n)和高通滤波器g(n)分别卷积得到低频分量和高频分量：L(k) = Sum(h(i) * x(2*k-i))H(k) = Sum(g(i) * x(2*k-i))其中，L(k)表示k时刻的低频分量，H(k)表示k时刻的高频分量。
(2) 上采样（Upsampling）和滤波（Filtering）:将得到的低频分量和高频分量分别进行上采样（插值）和卷积运算，得到长度为2N的信号：LL(k) = Sum(h(i) * L(2k-i))HL(k) = Sum(g(i) * L(2k-i))L(k)=LL(k)H(k)=HL(k)(3) 递归（Recursion）:重复以上过程，将得到的低频分量和高频分量再次进行分解，直到分解到指定的层数。
这个过程可以用一棵二叉树来表示，每个节点对应一个分解层，汇聚到根节点的路径就是一个信号或图像的分解系数序列。
一、滤波器组的选择离散小波变换通过一对滤波器组来进行分解和合成，低通滤波器h(n)用于提取信号或图像的低频成分，高通滤波器g(n)用于提取信号或图像的高频成分。
滤波器组的选择决定了小波变换的性质。
常用的小波滤波器有Daubechies小波、Haar小波、Symlets小波等。
二、多尺度分析1.小波变换具有良好的时间局部性，能够更好地捕捉信号或图像的短时特征。
2.小波变换不仅能够提取信号或图像的低频成分，还能够提取高频细节信息，可以在对信号或图像进行降噪、压缩等处理时发挥较好的作用。
3.小波变换可以进行多尺度分析，对信号或图像的不同频率特征进行精细化处理。
小波变换
1、 离散小波变换
小波变换是一种信号的时频分析方法，具有良好的时频局部分析特性。
图像经2维小波变换后，可得到一个低频子带和3个高频子带，图像的低频子带系数包含了图像的主要能量，高频子带系数对应图像的细节信息。
设原始图像为0C ，H 、G 是一维小波滤波器矩阵，r 和c 是图像的行和列，则小波变换分解算法可以描述为：
1j r c j C H H C += 式(2-3)
1v j r c j D H G C += 式(2-4)
1h j R c j D G H C += 式(2-5) 1d
j r c j D G G C += 式(2-6)
其中，0,1,......1j J =-，,,h v d 分别代表水平、垂直、和对角分量，*H 、*G 分别是H 、G 的共轭转置矩阵，相应的重构算法为：
********1111v h d j r c j r c j r c j r c j G H H C H G D G H D G G D ++++=+++ 式(2-7)
离散小波变换具有良好的时频分析特性，所以基于离散小波变换的融合算法与传统的基于金字塔变换的融合算法相比，具有更好的融合效果。
但在进行小波变换时，由于采用了行列降采样，使得图像的大小发生了变化，每层图像的大小均为其上一层图像大小的1/4，而且这种图像变换不具有平移不变性，这在图像融合处理过程中往往是不利的，尤其是在图像配准精度不高的情况下。
离散小波变换python
离散小波变换python离散小波变换是一种信号处理技术，被广泛应用于图像处理、音频处理、数据压缩等领域。
本文将介绍如何使用Python实现离散小波变换。
首先，我们需要安装PyWavelets库。
PyWavelets是一个Python 库，提供了多种小波变换方法，包括离散小波变换、连续小波变换等。
可以通过pip命令进行安装：pip install PyWavelets接下来，我们将使用离散小波变换对一张灰度图像进行处理。
首先，我们需要读取图像数据，并将其转换成numpy数组：import numpy as npfrom PIL import Imageimg = Image.open('lena.png').convert('L')data = np.array(img)然后，我们可以使用PyWavelets库提供的函数进行离散小波变换。
这里我们选择使用haar小波作为变换基：import pywtcoeffs = pywt.dwt2(data, 'haar')这里的coeffs是一个元组，包含了经过离散小波变换后的图像的低频部分和高频部分。
我们可以将其可视化：import matplotlib.pyplot as pltLL, (LH, HL, HH) = coeffsfig, axs = plt.subplots(2, 2)axs[0, 0].imshow(LL, cmap='gray')axs[0, 1].imshow(LH, cmap='gray')axs[1, 0].imshow(HL, cmap='gray')axs[1, 1].imshow(HH, cmap='gray')plt.show()接下来，我们可以使用逆离散小波变换将图像恢复：coeffs = (LL, (LH, HL, HH))data_recon = pywt.idwt2(coeffs, 'haar')plt.imshow(data_recon, cmap='gray')plt.show()至此，我们已经成功地使用Python实现了离散小波变换。
离散小波转换
1. 離散小波轉換(Discrete Wavelet Transformation, DWT)與DCT相似，都 是一種將空間域影像轉換成頻率域影像 的技術。
1
2. 低頻特性：
1. 2. 3. 4.
肉眼對低頻敏感度較高 像素與像素之間的變化小 影像較平滑、細緻且清楚 低頻部分的值稍有改變，人的眼睛一看就 知道
第二階離散小波轉換的結果 (即第一階離散小波轉換的結果)
9
6. 離散小波轉換係數的掃描順序
為了達到漸進式影像的傳送的目的，以 scan order這種方式來傳送離散小波轉換 後的影像。scan order傳送方法是由低頻 先傳送，再傳送中頻，最後才是高頻；因 為低頻是影像最重要的地方，中頻及高頻 都是用來加強低頻的，所以這種傳送方式 會讓傳輸的影像由模糊到清楚。
7
LL1 LH1
HL1 HH1
LL2
HL2
LH2 HH2 LH1 第二階
LL3 LH3 HL3 HH3
HL1 HH1
第一階 HL2
影像最重 要的部分
HL1 HH2
LH2
LH1HH1ຫໍສະໝຸດ 三階Harr函數離散小波轉換結果
第三階
8
20 17 15 21
15 16 18 22
30 31 17 19
20 22 25 18
17
13
X
LL2
HL2 HL1
LH2
Y
HL1
HH1
(a)二階離散小波轉換後的結果
14
X
LL2
X
LH2
Y
Y
LH1
(b)與(a)相對應的quadtree位置
15
8. 離散小波轉換公式(Haar)：
《小波变换简介》课件
小波变换与小波包变换的异同
小波包变换是一种基于小波的变换方法，与 小波变换类似，不同的是小波包变换可以将 信号分解成更灵活的基函数库。
总结
1 小波变换是一种重要的信号处理方法
它可以将信号分解成不同频率的组件，支持非周期信号处理，具有时频局部化特性和压 缩性能。
2 在数字媒体技术中具有广泛的应用前景
小波变换简介
小波变换是一种处理非周期信号的重要方法。它不仅可以将信号分解成不同 的频率组件，而且具有时频局部化特性和良好的压缩性能。
什么是小波变换？
1
将信号分解成不同的频率组件
2
小波变换可以将信号分解成一组小波 基函数，每个小波基函数代表一种不
同的频率成分。
离散小波变换和连续小波变换
小波变换分为离散小波变换和连续小 波变换两种形式，分别适用于离散信 号和连续信号的处理。
小波变换在图像压缩、信号去噪和滤波、模式识别和分类等领域中具有广泛的应用前景。 Nhomakorabea1
快速算法
2
快速离散小波变换是提高离散小波变 换运算速度的重要算法，主要包括
Mallat算法、Lifting Scheme算法等。
基本算法
离散小波变换可以通过卷积操作和下 采样操作实现，包括一维和二维离散 小波变换。
小波变换与其他变换方法的比较
傅里叶变换和小波变换的区别
傅里叶变换是将信号分解成基频率的正弦或 余弦函数，而小波变换可以将信号分解成一 组不同尺度的小波基函数。
小波变换的特点
支持非周期信号处理
与傅里叶变换只能处理周 期信号不同，小波变换可 以处理非周期信号。
具有时频局部化特性
小波基函数具有时域和频 域的局部性，这意味着小 波变换可以更好地描述信 号的局部特征。
morlet离散小波变换
morlet离散小波变换
Morlet离散小波变换（Discrete Morlet Wavelet Transform，DMWT）是一种基于小波分析的信号处理方法，用于分析和
处理非平稳信号。
它是由小波函数Morlet小波（Morlet wavelet）构成的小波变换方法。
Morlet小波是一种连续小波，经过离散化处理后可以应用于离散信号的分析。
Morlet小波是由高斯函数和复指数函数（调制信号）相乘得到的复值函数。
它在时域上是振荡的，频域上是局部化的，能够捕捉到信号的局部特征。
Morlet小波变换通过将信号与一系列Morlet小波进行卷积来获得信号的频域表示。
Morlet离散小波变换的步骤如下：
1. 对输入信号进行小波分解，将信号分解成一组小波系数。
2. 对每个小波系数进行频域变换，得到频域表示。
3. 对频域表示进行滤波和重构，得到重构信号。
Morlet离散小波变换可以用于信号的特征提取、数据压缩、噪声去除等应用。
它在时频域上具有良好的局部化特性，能够准确地描述信号的瞬时特征和频率特征，因此被广泛应用于地震信号处理、生物医学信号处理等领域。
dwt离散小波变换
dwt离散小波变换一、什么是DWT离散小波变换？DWT（Discrete Wavelet Transform）离散小波变换是一种用于信号处理和数据压缩的数学算法。
它将信号分解成多个频带，并且每个频带都有不同的时间和频率特征。
这种变换可以用于图像处理、音频处理、视频压缩等领域。
二、DWT离散小波变换的原理DWT离散小波变换的原理基于小波分析，它将一个信号分解成多个子信号，每个子信号都代表了原始信号的不同频率范围内的信息。
这些子信号被称为小波系数，它们被表示为一个矩阵。
在DWT中，一个输入信号首先被分成两部分：低频部分和高频部分。
低频部分包含输入信号中较慢变化的部分，而高频部分则包含输入信号中较快变化的部分。
接下来，低频部分再次被划分为两个子带：低低（LL）和高低（HL）子带；而高频部分则划分为高高（HH）和低高（LH）子带。
这种划分方式可以继续递归地进行下去，直到达到所需的精度为止。
三、DWT离散小波变换的应用1. 图像处理DWT可以用于图像压缩和去噪。
在图像压缩中，DWT将图像分解成多个频带，然后根据不同的重要性对这些频带进行编码。
在去噪中，DWT可以通过滤波器来去除图像中的噪声。
2. 音频处理DWT可以用于音频压缩和降噪。
在音频压缩中，DWT将音频分解成多个子带，并根据它们的重要性选择性地保留这些子带。
在降噪中，DWT可以通过滤波器来去除音频中的杂音。
3. 视频处理DWT可以用于视频压缩和去噪。
在视频压缩中，DWT将视频分解成多个空间域和时间域上的子带，并根据它们的重要性选择性地保留这些子带。
在去噪中，DWT可以通过滤波器来去除视频中的噪声。
四、如何实现DWT离散小波变换？实现DWT离散小波变换需要以下步骤：1. 选择小波基函数：选择一种合适的小波基函数，如Haar、Daubechies、Symlets等。
2. 分解信号：将输入信号分解成多个频带，每个频带都有不同的时间和频率特征。
3. 重构信号：将分解后的信号进行重构，得到原始信号或近似信号。
离散小波变换与框架ppt
(F F )1 f , F F (F F )1 f (F F )1 f , f
利用式3-16,有:
B1 f , f , (F F )1 f , f A1 f , f
将以上两式合并,有:
B1 f 2 f ,~j 2 A1 f 2
(式3-19)
jJ
上式表明, ~j jJ 就是H空间得一个框架。
2 A
(FF) f B
Rf N 1
(将R表达式代入)
f N 1
2 (F F )( f A B
f N 1)
最后得到迭代公式
f N
f N 1
2 A B
[
jJ
f , j
f N 1, j
] j
f0
2 (FF) f A B
2 A B
jJ
f , j
j
(式3-30) (式3-31)
三、小波框架(本节定理证明参见《小波十讲》) 现在我们再回到利用离散小波系数重构原函数f(t)得问题
令：c Ff ,即c j f , j ,则上式变为：
F Ff f , j j jJ
f (F F )1 f , j j f , j (F F )1 j
jJ
jJ
同理:
f f , j ~j jJ
f f ,~j j jJ
(式3-21) (式3-22)
以上两式就就是 f 得重构公式,由<f, φj >重构 f 需要求出框架
c j0 ,k0 f (t), j0 ,k0 (t) f (t) j0 ,k0 (t)dt
c j,k~j,k (t) j0,k0 (t)dt
R
c j,k
~j,k (t) j0,k0 (t)dt
离散小波变换与正交小波
例 5.3 考虑线性样条函数
1 t 1, 2 t 0
(t) 1 1 t , 0 t 2
0,
其他
从几何上看， (t) 显然是一个基本小波
易知 (t) s(t) s(t 2)
t, 0 t 1 这里 s(t) 2 t, 1 t 2
0, 其他
是个帐篷函数
s()
s(t)eitdt
1teit dt
2 (2 t)eitdt
0
1
ei
i
1 ei
(i)2
ei
i
ei2 ei
(i)2
1 ei
i
2
ˆ () sˆ() e2i sˆ() (1 e2i )(1 ei )2 i
构成了子空间 S { f (t) L2(R) | fˆ() 0, }
的一个标准正交基
令S2m { f (t) L2(R) | fˆ() 0, 2m}，则 S2m
具有标准正交基
m
{2 2 (2mt
n)}
m
22
sin
2m
(t
n 2m
)
, m,n
Z.
2m
(t
n 2m
)
正交小波
且对任意
其中
cj,k
f (t) cj,k j,k (t)
j,k
正交小波级数分解
f (t), j,k (t) f (t) j,k (t)dt, j, k Z
称为 f 的小波系数
小波系数实质上是离散小波变换，前面所得的二进离 散小波与连续小波虽不会损失信息，但会产生冗余，而正 交小波则可以使变换后所产生的冗余消失。
《离散小波变换》课件
3 Symlets小波
4 Coiflets小波
对称小波基函数，适用于处理对称性较强 的信号，具有快速计算、紧凑型等特点。
小波基函数的一种变体，可以实现任意精 度的小波变换，适用于信号去噪、图像压 缩等领域。
DWT有哪些实用应用？
信号去噪
从功率谱角度出发，去除信号 中的高频成分，使信号更加纯 净，信噪比更高。
图像压缩
通过离散小波变换将图像分解 成低频和高频部分，压缩高频 部分，保留低频部分，实现图 像的无损和有损压缩。
特征提取
利用离散小波变换可以有效地 抽取信号和图像的主要特征， 包括边缘、纹理、轮廓等，为 后续的分类和识别提供基础。
DWT的优缺点和发展趋势是什么？
优点
离散小波变换具有多分辨 率分析、极致压缩、数据 局部性和算法可并行等优 点，可用于信号、图像、 视频及音频处理。
缺点
离散小波变换对于信号或 图像的边缘部分处理不够 灵敏，易受噪声干扰，且 算法具有一定的复杂性。
发展趋势
离散小波变换仍然具有许 多未被挖掘的应用和研究 方向，基于深度学习的小 波变换和基于量子计算的 小波变换也在发展中。
3
实际应用
不同样本数据的特点和形态不同，需要选择适当的小波基函
分解算法
将原始信号分解为高频和低 频两个分量，然后对低频分 量进行进一步分解，一直到 分解到最后一层。
重构算法
将分解得到的低频和高频分 量进行重构，得到逼近信号 和细节信号，并进行逆变换， 得到原始信号。
过滤器组
用于计算离散小波基函数的 滤波器和尺度参数，确定每 一级的分解和重构系数。
常见小波函数有哪些？
1 Haar小波
2 Daubechies小波
连续,离散小波变换
定义2.1 设)()(2R L t ∈ψ，若其Fourier 变换)(ˆωψ满足容许性条件 ∞<=⎰ωωωψψd C R |||)(ˆ|2 （2-1） 则称)(t ψ为一个基本小波或母小波（Mother Wavelet ）。
由基本小波)(t ψ进行伸缩和平移，得到的一族函数：0,,1)(,>∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a R b a a b t a t b a ψψ （2-2） 称为连续小波基函数（简称小波）， 其中，a 为尺度因子，b 为平移因子，它们均取连续变化的值。
连续小波变换：定义 2.2 任意函数)()(2R L t f ∈的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简称为CWT ）为>=<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰*b a R f dt a b t a t f b a Wf ,,1)(),(ψψ （2-3） 若在小波变换中所采用的小波满足容许性条件，则逆变换存在。
其逆变换为 db ada t b a Wf C t f b a R R 2,)(),(1)(ψψ⎰⎰= 连续小波变换具有以下重要性质：（1）线性性：一个函数的连续小波变换等于该函数各分量的变换之和，公式表示如下：若 )()()(21t f t f t f +=),()(b a Wf t f ↔，),()(11b a W f t f ↔，),()(22b a Wf t f ↔则),(),(),(21b a W f b a W f b a W f +=；（2）平移不变性：若),()(b a Wf t f ↔，则),()(u b a Wf u t f -↔-；（3）伸缩共变性：若),()(b a Wf t f ↔，则),()(2/1cb ca W f c ct f -↔；连续小波变换（CWT ）的系数具有很大的冗余量。
在连续变换的尺度a 和时间b 下小波基函数)(,t b a ψ具有很大的相关性，因而信号的小波变换系数),(b a Wf 的信息量是冗余的。
离散小波变换和连续小波变换的适用范围
离散小波变换和连续小波变换的适用范围
离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）的适用范围有所不同。
离散小波变换是一种在信号和图像处理中常用的技术，它主要用于分析处理数据序列，如一维、二维和多维的信号或图像。
它能够提供数据的时频特性，并具有多尺度分解的能力，因此在信号去噪、特征提取、压缩等领域都有广泛的应用。
连续小波变换则是一种更为一般的数学工具，它可以用来分析各种不同类型的信号或函数。
它适用于处理那些变化比较连续、没有明显的离散特性的数据。
连续小波变换可以用于分析如地震信号、生物医学信号等连续的、时间序列的数据。
总的来说，离散小波变换更适用于处理具有离散特性的数据，而连续小波变换则更适用于处理连续变化的数据。
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小波基函数
将小波母函数 （t )进行伸缩和平移， 令伸缩因子（称尺度因子）为a,平移因子为 ，则： t a（ ), a 0, R , t ) a ( a 则称 a（ , t )是依赖参数a , 的小波基函数。
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将信号在这个函数系上分解，就得到连续小波变换
2014年10月14日2时4分
南京大学 软件学院
CWT的变换过程图示
2014年10月14日2时4分
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CWT性质
1、线性 x(t ), y (t ) L2 ( R), k1 , k2 R, Wk1x k2 y (a, ) k1Wx (a, ) k2Wy (a, ) 2.时移不变性 x(t )的CWT 为Wx (a, )，则x(t t0 )的CWT 为Wx (a, t0 ). 3.尺度变换 a x(t )的CWT 为Wx (a, )，则x( )的CWT 为 Wx ( , ) t
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离散小波变换
主讲教师：王崇骏
2014年10月14日2时4分
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主要内容
引言 时频展开 使用Matlab 若干应用场景
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引言
小波变换的动机
福利叶变换是非常有效地计算工具 但是是时间亚元变换，在很多场合不满足需求 （石油勘探、乐谱分析）
2014年10月14日2时4分
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小波的特点
具有有限的持续时间、突变的频率和振幅 波形可以是不规则的，也可以是不对称的 在整个时间范围里的幅度平均值为零 比较正弦波
2014年10月14日2时4分
部分小波波形
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2014年10月14日2时4分
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小波的含义
“小”+“波” 时频展开 数学显微镜
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时频展开
希望定义一种工具能帮助计算信号x(t)的瞬 时傅里叶变换，记为X(ґ,F) 如何定义一组能够表现出信号瞬时性的基函 数，该基函数必须包括两个基本变量时间ґ和 频率F
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时频展开主要内容
1. 短时傅里叶变换STFT 2. Gabor变换GT 3. 连续小波变换CWT 4. 小波变换WT
2014年10月14日2时4分
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CWT小结
小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这样 来理解。缩放因子小，表示小波比较窄，度量的 是信号细节，表示频率w 比较高；相反，缩放因 子大，表示小波比较宽，度量的是信号的粗糙程 度，表示频率w 比较低。
2014年10月14日2时4分
Gabor变换
Gabor变换公式：
X [m, k ] x(t ) w(t mT0 ) e j 2 kF0t dt
______________
通过Gabor变换，信号x(t)被展开为：
x(t ) X [m, k ]em,k (t )
m,k
其中： em,k (t ) w(t mT0 )e j 2 kF0t
S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生A 和D两个信号 A表示信号的近似值(approximations) D表示信号的细节值(detail)
2014年10月14日2时4分
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双通道滤波过程
在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高 频部分起一个“添加剂”的作用。 比如声音，把高频分量去掉之后，听起来声音确实 是变了，但还能够听清楚说的是什么内容。相反， 如果把低频部分去掉，听起来就莫名其妙。 在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数， 表示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子产 2014年10月14日2时4分 生的系数，表示信号的高频分量。
离散小波变换分析图
2014年10月14日2时4分
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DWT变换方法
执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器
该方法是Mallat在1988年开发的，叫做Mallat算法 这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号 处理中称为双通道子带编码
用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示
小波分解树
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离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高 通滤波器组成的一棵树
原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一 级分解 信号的分解过程可以叠代，也就是说可进行多级分 解。 如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连 续进行分解，就得到许多分辨率较低的低频分量， 形成如图所示的一棵比较大的树。这种树叫做小波 分解树(wavelet decomposition tree) 分解级数的多少取决于要被分析的数据和用户的需 要
窗函数w根据ґ进行了时移，扩展傅里叶变换 表达式
X ( , F ) x(t )w(t )e j 2 Ft dt
短时傅里叶变换操作示意
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问题
•实际运用中处理的问题与上述描述恰好相反： 给定一个信号，希望能够在时域和频域上定 位信号发生的事件，因此时间ґ和频率F都是 不确定的，即按上述的分析不可行（结果不 确定或有误差） •分析中，分辨率的损失是由于窗函数w(t)的 时域宽度及傅里叶变换的频率带宽所决定的； 测不准定理 •信号不能同时在时域和频域准确定位
将信号在这个函数系上分解，就得到连续小波变换
2014年10月14日2时4分
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缩放(scaled)的概念
示例：正弦波的Scaled算法
2014年10月14日2时4分
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示例：小波的缩放
2014年10月14日2时4分
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平移(translation)的概念
2014年10月14日2时4分
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基本小波
也称为小波母函数 定义如下：
令 （t )为一平方可积函数，即 （t ) L2 ( R ), 如其傅里叶变换 （w)满足条件： | （w) |2 R w dw 则称 （t )是小波。
容许性条件
紧支性:在有限区域内迅速衰减到0
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Gabor变换引言
STFT将一个连续时间变量t的信号x(t)变换 为有两个连续时间变量的X(ґ,F) 意味着STFT包含了很多的冗余信息 将频率F离散化，F=Kf0 将时间离散化，在ґ=mT0采样
Gabor变换：X[m,k]=X(mT0,kF0)
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短时傅里叶变换STFT
确定信号局部频率特性的比较简单的方法是 在时刻ґ附近对信号加窗，然后计算傅里叶变 换。
X(ґ,F)=STFT{x(t)}=FT{x(t)w(t- ґ)}
其中，w(t-ґ)是一个以时刻ґ为中心的窗函数， 注意信号x(t)中的时间t和X(ґ,F)中的ґ。
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使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子 和时间关系如图所示。
图(a)是20世纪40年代使用Gabor开发的短时傅立叶 变换(short time Fourier transform，STFT)得到 的时间-频率关系图 图(b)是20世纪80年代使用Morlet开发的小波变换 得到的时间-缩放因子(反映频率)关系图。
2014年10月14日2时4分
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连续小波变换
CWT:Continue Wavelet Transform 将任意L (R)空间中的x(t )在小波基下进行展开， 称这种展开为x(t )的连续小波变换CWT 1 W (a, ) x(t ), a（ , t ) a
where:
小波分析 深圳大学信息工程学院
2014年10月14日2时4分
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小波分析
小波变换通过平移母小波(mother wavelet)可 获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度 (或者叫做尺度)可获得信号的频率特性。对母 小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数， 这些系数代表小波和局部信号之间的相互关系。 连续小波变换 离散小波变换
南京大学 软件学院小波Fra bibliotek换 小波变换是强有力的时频分析 ( 处理 ) 工具，是 在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的。已 成功应用于很多领域，如信号处理、图像处理、 模式识别等。 小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均 具有很好的局部化特征，它能够提供目标信号各 个频率子段的频率信息。这种信息对于信号分类 是非常有用的。 小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个 信号可由小波系数来刻画。
2014年10月14日2时4分
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小波分析与付里叶变换的比较
1.付里叶变换是把能量有限的信号f (t )分解到以{e jt }为正交基的空间上去， 小波变换的实质是把该信号分解到W j 所构成的空间上去。 2.付里叶变换用到的基本函数只有 sin(t； 小 波 函 数 具 有 不 唯 一 性， 小 波 函 数 的 选 用 是 小 波 分 析 应 用 中 的 一 个 难 点。 3. 在 频 域 中， 付 里 叶 变 换 具 有 较 好 的 局 部 化 能 力， 特别是对于 频 率 成 分 简 单 的 确 定 性 信 号， 付里叶变换很容易把信号表示 为 各 频 率 成 分 的 叠 加 和 的 形 式， 但 是在 时 域 中， 付里叶变换 没 有 局 部 化 能 力。 4. 小 波 分 析 中，尺 度a 的 值 越 大 相 当 于 付 里 叶 变 换 中 的 值 越 小。
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离散小波变换
• 在计算连续小波变换时，实际上也是用离 散的数据进行计算的，只是所用的缩放因 子和平移参数比较小而已。不难想象，连 续小波变换的计算量是惊人的。 • 为了解决计算量的问题，缩放因子和平移 参数都选择2 ^j( j>0的整数)的倍数。 • 使用这样的缩放因子和平移参数的小波变 换叫做双尺度小波变换(dyadic wavelet transform)，它是离散小波变换(discrete wavelet transform，DWT)的一种形式。