第13章 离散小波变换

将信号在这个函数系上分解，就得到连续小波变换
2014年10月14日2时4分
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缩放(scaled)的概念
示例：正弦波的Scaled算法
2014年10月14日2时4分
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示例：小波的缩放
2014年10月14日2时4分
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平移(translation)的概念
2014年10月14日2时4分
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小波基函数
将小波母函数 （t )进行伸缩和平移， 令伸缩因子（称尺度因子）为a,平移因子为 ，则： t a（ ), a 0, R , t ) a ( a 则称 a（ , t )是依赖参数a , 的小波基函数。
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离散小波变换
• 在计算连续小波变换时，实际上也是用离 散的数据进行计算的，只是所用的缩放因 子和平移参数比较小而已。不难想象，连 续小波变换的计算量是惊人的。 • 为了解决计算量的问题，缩放因子和平移 参数都选择2 ^j( j>0的整数)的倍数。 • 使用这样的缩放因子和平移参数的小波变 换叫做双尺度小波变换(dyadic wavelet transform)，它是离散小波变换(discrete wavelet transform，DWT)的一种形式。
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离散小波变换定义
任意L2(R)空间中的x(t )的DWT 为： Wx ( j , k ) x(t ) j ,k (t ) dt
R __________
t 其中 j（ ( j k) ,k t ) 2 2j
需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续 的尺度参数和连续平移参数的，而不是针对时 间变量t的。
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小波变换
小波变换是强有力的时频分析 ( 处理 ) 工具，是 在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的。已 成功应用于很多领域，如信号处理、图像处理、 模式识别等。 小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均 具有很好的局部化特征，它能够提供目标信号各 个频率子段的频率信息。这种信息对于信号分类 是非常有用的。 小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个 信号可由小波系数来刻画。
2014年10月14日2时4分
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小波分析与付里叶变换的比较
1.付里叶变换是把能量有限的信号f (t )分解到以{e jt }为正交基的空间上去， 小波变换的实质是把该信号分解到W j 所构成的空间上去。 2.付里叶变换用到的基本函数只有 sin(t； 小 波 函 数 具 有 不 唯 一 性， 小 波 函 数 的 选 用 是 小 波 分 析 应 用 中 的 一 个 难 点。 3. 在 频 域 中， 付 里 叶 变 换 具 有 较 好 的 局 部 化 能 力， 特别是对于 频 率 成 分 简 单 的 确 定 性 信 号， 付里叶变换很容易把信号表示 为 各 频 率 成 分 的 叠 加 和 的 形 式， 但 是在 时 域 中， 付里叶变换 没 有 局 部 化 能 力。 4. 小 波 分 析 中，尺 度a 的 值 越 大 相 当 于 付 里 叶 变 换 中 的 值 越 小。
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离散小波变换
主讲教师：王崇骏
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主要内容
引言 时频展开 使用Matlab 若干应用场景
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引言
小波变换的动机
福利叶变换是非常有效地计算工具 但是是时间亚元变换，在很多场合不满足需求 （石油勘探、乐谱分析）
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小波的特点
具有有限的持续时间、突变的频率和振幅 波形可以是不规则的，也可以是不对称的 在整个时间范围里的幅度平均值为零 比较正弦波
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部分小波波形
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小波的含义
“小”+“波” 时频展开 数学显微镜
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时频展开
希望定义一种工具能帮助计算信号x(t)的瞬 时傅里叶变换，记为X(ґ,F) 如何定义一组能够表现出信号瞬时性的基函 数，该基函数必须包括两个基本变量时间ґ和 频率F
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时频展开主要内容
1. 短时傅里叶变换STFT 2. Gabor变换GT 3. 连续小波变换CWT 4. 小波变换WT
小波基函数
将小波母函数 （t )进行伸缩和平移， 令伸缩因子（称尺度因子）为a,平移因子为 ，则： t a（ ), a 0, R , t ) a ( a 则称 a（ , t )是依赖参数a , 的小波基函数。
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将信号在这个函数系上分解，就得到连续小波变换
2014年10月14日2时4分
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CWT的变换过程图示
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CWT性质
1、线性 x(t ), y (t ) L2 ( R), k1 , k2 R, Wk1x k2 y (a, ) k1Wx (a, ) k2Wy (a, ) 2.时移不变性 x(t )的CWT 为Wx (a, )，则x(t t0 )的CWT 为Wx (a, t0 ). 3.尺度变换 a x(t )的CWT 为Wx (a, )，则x( )的CWT 为 Wx ( , ) t
窗函数w根据ґ进行了时移，扩展傅里叶变换 表达式
X ( , F ) x(t )w(t )e j 2 Ft dt

短时傅里叶变换操作示意
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问题
•实际运用中处理的问题与上述描述恰好相反： 给定一个信号，希望能够在时域和频域上定 位信号发生的事件，因此时间ґ和频率F都是 不确定的，即按上述的分析不可行（结果不 确定或有误差） •分析中，分辨率的损失是由于窗函数w(t)的 时域宽度及傅里叶变换的频率带宽所决定的； 测不准定理 •信号不能同时在时域和频域准确定位
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连续小波变换
CWT:Continue Wavelet Transform 将任意L (R)空间中的x(t )在小波基下进行展开， 称这种展开为x(t )的连续小波变换CWT 1 W (a, ) x(t ), a（ , t ) a
where:
S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生A 和D两个信号 A表示信号的近似值(approximations) D表示信号的细节值(detail)
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双通道滤波过程
在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高 频部分起一个“添加剂”的作用。 比如声音，把高频分量去掉之后，听起来声音确实 是变了，但还能够听清楚说的是什么内容。相反， 如果把低频部分去掉，听起来就莫名其妙。 在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数， 表示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子产 2014年10月14日2时4分 生的系数，表示信号的高频分量。
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小波包分解树
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小波分解树表示只对信号的低频分量进行连续 分解。如果不仅对信号的低频分量连续进行分 解，而且对高频分量也进行连续分解，这样不 仅可得到许多分辨率较低的低频分量，而且也 可得到许多分辨率较低的高频分量。这样分解 得到的树叫做小波包分解树(wavelet packet decomposition tree)，这种树是一个完整的 二进制树。


2014年10月14日2时4分
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CWT小结
小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这样 来理解。缩放因子小，表示小波比较窄，度量的 是信号细节，表示频率w 比较高；相反，缩放因 子大，表示小波比较宽，度量的是信号的粗糙程 度，表示频率w 比较低。
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使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子 和时间关系如图所示。
图(a)是20世纪40年代使用Gabor开发的短时傅立叶 变换(short time Fourier transform，STFT)得到 的时间-频率关系图 图(b)是20世纪80年代使用Morlet开发的小波变换 得到的时间-缩放因子(反映频率)关系图。
小波分解树
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离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高 通滤波器组成的一棵树
原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一 级分解 信号的分解过程可以叠代，也就是说可进行多级分 解。 如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连 续进行分解，就得到许多分辨率较低的低频分量， 形成如图所示的一棵比较大的树。这种树叫做小波 分解树(wavelet decomposition tree) 分解级数的多少取决于要被分析的数据和用户的需 要
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t R x(t ) ( a ) dt
____________
a
ґ －时间平移 注意：在CWT中，scale和position是连续变化的
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CWT的变换过程
1. 把小波ψ(t)和原始信号f(t)的开始部分进行比较 • 计算系数c 。该系数表示该部分信号与小波的近似程 度。系数 c 的值越高表示信号与小波越相似，因此 系数c 可以反映这种波形的相关程度 • 把小波向右移，距离为k，得到的小波函数为ψ(t-k)， 然后重复步骤1和2。再把小波向右移，得到小波 ψ(t-2k)，重复步骤1和2。按上述步骤一直进行下去， 直到信号f(t)结束 • 扩展小波ψ(t)，例如扩展一倍，得到的小波函数为 ψ(t/2) • 重复步骤1~4
Gabor变换
Gabor变换公式：
X [m, k ] x(t ) w(t mT0 ) e j 2 kF0t dt
______________
通过Gabor变换，信号x(t)被展开为：
x(t ) X [m, k ]em,k (t )
m,k
其中： em,k (t ) w(t mT0 )e j百度文库2 kF0t
小波分析 深圳大学信息工程学院
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小波分析
小波变换通过平移母小波(mother wavelet)可 获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度 (或者叫做尺度)可获得信号的频率特性。对母 小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数， 这些系数代表小波和局部信号之间的相互关系。 连续小波变换 离散小波变换
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短时傅里叶变换STFT
确定信号局部频率特性的比较简单的方法是 在时刻ґ附近对信号加窗，然后计算傅里叶变 换。
X(ґ,F)=STFT{x(t)}=FT{x(t)w(t- ґ)}
其中，w(t-ґ)是一个以时刻ґ为中心的窗函数， 注意信号x(t)中的时间t和X(ґ,F)中的ґ。
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基本小波
也称为小波母函数 定义如下：
令 （t )为一平方可积函数，即 （t ) L2 ( R ), 如其傅里叶变换 （w)满足条件： | （w) |2 R w dw 则称 （t )是小波。
容许性条件
紧支性:在有限区域内迅速衰减到0
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Gabor变换引言
STFT将一个连续时间变量t的信号x(t)变换 为有两个连续时间变量的X(ґ,F) 意味着STFT包含了很多的冗余信息 将频率F离散化，F=Kf0 将时间离散化，在ґ=mT0采样
Gabor变换：X[m,k]=X(mT0,kF0)
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离散小波变换分析图
2014年10月14日2时4分
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DWT变换方法
执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器
该方法是Mallat在1988年开发的，叫做Mallat算法 这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号 处理中称为双通道子带编码
用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示