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线性规划 （Linear Programming，简称LP）
线性规划的发展
1939年，前苏联数学家康托洛维奇用线性模型研究提高组织和生产效 率问题
1947年，Dantzig提出求解线性规划的单纯形法 1950-1956年，主要研究线性规划的对偶理论 1958年，发表整数规划的割平面法 1960年，Dantzig和Wolfe研究成功分解算法，奠定了大规模线性规划 问题理论和算法的基础。 1979年，Khachiyan，1984年，Karmarkaa研究成功线性规划的多项 式算法。
线性规划
线性规划的基本概念
解：
一、问题的提出
例1.1 某厂生产两种产品，下表给
1.决策变量：设产品I、II的产量分
出了单位产品所需资源及单位产品
别为 x1、x2
利润
2.目标函数：设总运费为z，则有：
产品 资源
I
设备
1
材料 A
4
材料 B
0
单位利润
（元）
2
可利用
II
资源
2
8
0
16
4
12
3
问：应如何安排生产计划，才能使 总利润最大？
max z = 2 x1 + 3 x2 3.约束条件：
x1 + 2x2 ≤ 8
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12
x1， x2≥0
例1.2 某厂生产三种药物，这些药 物可以从四种不同的原料中提取。 下表给出了单位原料可提取的药物 量
来自百度文库
药物
单位成本
原料
A B C （元／吨）
甲
1 23
5
乙
2 01
6
丙
1 41
例3、合理下料问题
设 xj 分别代表采用切割方案1~8的套数，
方案
2.9m
2.1m
1.5m
合计
1
2
0
1
7.3
2
1
2
0
7.1
3
1
1
1
6.5
4
1
0
3
7.4
5
0
3
0
6.3
6
0
2
2
7.2
余料
0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2
若目标函数为使购裁买剪的后 钢零筋料最少,则有
min f (x) x01.1x1x2 0.x33x2x40.9x35 0xx6 4 1.1x5 0.2x6
▪中国定义：运筹学是应用分析、试验、量化的 方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等 资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最 优方案，以实现最有效的管理。
运筹学的工作步骤
确定问题 搜集数据建立模型 检验模型 求解模型 结果分析 结果实施
运筹学与计算机
计算机为运筹学提供解题工具。
要学会解题的思路与方法，建立模型很重 要。
线性规划研究的主要问题
一类是已有一定数量的资源（人力、物质、时间等），研究如 何充分合理地使用它们，才能使完成的任务量为最大。
另一类是当一项任务确定以后，研究如何统筹安排，才能使完成 任务所耗费的资源量为最少。
—— 实际上，上述两类问题是一个问题的两个不同的方面，都是求问 题的最优解（ max 或 min ）。
a2n
amn
aij
mn
系数矩阵
7
丁
1 22
8
要求：生产A种药物至少160单位；
B种药物恰好200单位，C种药物不
超过180单位，且使原料总成本最
小。
解：
1.决策变量：设四种原料的使用
量分别为： x1、x2 、x3 、x4
2.目标函数：设总成本为z，则有： min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x4
3.约束条件：
二、数学模型
1.决策变量： X = (x1,x2,…..,xn)T 2.目标函数：max(minz) = c1 x1 + c2 x2 + ……. + cnxn
3.约束条件： a11x1 + a12 x2 +……..+ a1n xn ≤(=≥) b1 a21x1 + a22 x2 +……..+ a2n xn ≤(=≥) b2 ………………………………………… am1x1 + am2 x2 +……..+ amn xn ≤(=≥) bm x1,x2,……xn≥0
OPERATIONS RESEARCH 运筹学
——怎样把事情做到最好
绪论
Operations 汉语翻译 工作、操作、行动、手术、运算 Operations Research 日本——运用学 港台——作业研究 中国大陆——运筹学 Operational Research原来名称，意为军事行动研
究——历史渊源
其它形式
② 矩阵形式
① 求和形式
n
max(min)z c j x j j 1
其中：
max(min) z CX AX b
n
aijx j bi (i 1,2, , m)
j 1
X 0
x j 0( j 1,2, , n)
其中：
a11 a12
A
a21 am1
a22 am2
a1n
2x11 x22 x33 x44 100
s.t.
2
x22 x11
x33 x33
3x55 3x44
2 2
x66 x66
100 100
x11, x22, x33, x44, x55, x66 0
则最有优最解优为解: x为4 : 1x010,1x06,x250,5O0B,Jx41030,OBJ 16
运筹学的历史 军事运筹学阶段 德军空袭 防空系统 Blackett 运输船编队 空袭逃避 深水炸弹 轰炸机编队
运筹学在中国：50年代中期引入 华罗庚推广 优选法、统筹法 中国邮递员问题、运输问题
学科性质
▪应用学科 ▪Morse&Kimball定义：运筹学是为决策机构在 对其控制的业务活动进行决策时提供的数量化 为基础的科学方法。 ▪Churchman定义：运筹学是应用科学的方法、 技术和工具，来处理一个系统运行中的问题， 使系统控制得到最优的解决方法。
x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥160
2x1
+4 x3 +2 x4 ＝200
3x1 ＋x2 +x3 +2 x4 ≤180
x1、x2 、x3 、x4≥0
例3、合理下料问题
某车间接到制作 100 付钢架的定单，每付钢架要用长为 2.9m, 2.7m,1.5m 的圆钢 各一根，已知原料长 7.4m。问如何下料，可使所用原料最省。
三、模型特点
1 都用一组决策变量X = (x1,x2,…,xn)T表示某一方案，且决策变量取值非负； 2 都有一个要达到的目标，并且目标要求可以表示成决策变量的线性函数； 3 都有一组约束条件，这些约束条件可以用决策变量的线性等式或线性不等
式来表示。 ——— 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划