04心理统计学-第四章 差异量数
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例题计算 [自习例4-5、例4-6]
➢ 注意：①适用资料至少是等距，理论要求为比 率数据；②尚不能进行统计推论。
第三节 标准差的应用
▪ 二、标准分数（standard score，又称Z分数） P95
是以标准差为单位来表示一个原始分数在团体中 所处的相对位置量数。可用以比较多个数在其所 在数组分布中的相对位置的高低（Z分数越大，表 明该数据在其分布中的相对位置越高）。
➢ 3、标准分数的优缺点
优点：可比性；可加性；明确性；稳定性。
缺点：计算相对繁琐；常为负数或带有小数，难理解。
第三节 标准差的应用
▪ 二、标准分数
➢ 4、标准分数的应用（适用前提：正态变量）P97
⑴（利用Z分数具有可比性）用于比较几个分属性质 不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低。
（如，之前的例题）
第三节 标准差的应用
▪ 一、差异系数（coefficient of variation） P94
绝对差异量数 vs. 相对差异量数（不带测量单位）
➢ 用以比较多组数据之间离散程度的大小。
➢ 计算公式：CV s 100%
X
➢ 常用于：①同一团体不同观测值离散程度的比 较（如，身高 vs. 体重）；②（各均值相差较大时）不 同团体同种观测值离散程度的比较（如，成人体重 vs. 小孩体重）。
第二节 平均差、方差与标准差
▪ 二、平均差 P86
➢ 平均差：离均差绝对值的均值，符号A.D.，公式
A.D x x
n
➢ 描述离中趋势/离散程度最为直观，简明易解、反 应灵敏；但受限于取绝对值不利于进一步代数运 算，因此仍属低效，应用不多。
➢ 例题计算 [自习例4-2]
第二节 平均差、方差与标准差
性质和优点 ▪ 差异系数的计算和用途 ▪ 标准分数的含义、计算及应用、性质和优点
本章课后作业 P106
▪ 1、简述各种绝对离中量数的特点（即优缺 点）。
▪ 三、方差与标准差 P87
➢ 方差：离均差平方的均值，符号S2，公式
Sn2
1 n
n i 1
Xi X
2
➢ 标准差：符号S、s或SD，公式 S S 2
➢ 例题计算 [自习例4-3、例4-4，结合公式4-9、4-10]
➢ 提醒：该计算结果为“样本标准差Sn”，而SPSS 计算结果为“样本所估计的总体标准差Sn-1”。
➢PR为百分位数，R为排名序号，N为总数据个数。
P174
第一节 全距和百分位差
▪ 二、百分位差
➢ 四分位差（及四分位数）P84，可视为百分位差的 一种，符号Q（quartile deviation），公式Q =
（P75 - P25）/2（即第三个四分位数与第一个四分位
数之差的一半）
➢ 适用于等距数据及以上（将就也会用于顺序数据）； 效果强于全距，但反应不够灵敏，不适合进一步 代数演算，故仍为低效，应用不多。
▪ [补充] 异众比率：VR=（N-fMo）/N。适用于称 名数据及以上。
第二节 平均差、方差与标准差
适用于等距数据及以上。
▪ [补充] 一、动差体系，中心动差 P85
➢ 一级动差：通常取离均差的绝对值求和——平均差； ➢ 二级动差：取离均差的平方求和——方差（其平方
根即为标准差）；
➢ 三级动差：取离均差的三次方求和——偏态指标； ➢ 四级动差：取离均差的四次方求和——峰态指标。
第四章 差异量数
第一节 全距和百分位差 第二节 平均差、方差与标准差 第三节 标准差的应用：差异系数和
标准分数
第四节 差异量数的选用
第一节 全距和百分位差
▪ 一、全距 P80
➢ 又称两极差，用最大值与最小值之差来表示离中 趋势，符号R（range），公式 R X max X min
计算所得数值越大，表明数据越离散/分散 [下同]
第二节 平均差、方差与标准差
▪ 三、方差与标准差
➢ 性质 P93
①方差的可加性和可分解性
➢总方差的合成 P91（注意：合成前提是各样本进行的是
同一特质的同种观测，即同质性原则）
②每个数加上C，则所得标准差等于原标准差。 ③每个数乘以C，则所得标准差为原标准差乘以C。
➢ 意义/优势所在
①反应灵敏。 ②计算严密。③(还算)计算简单。④(还算)简明易懂。 ⑤适合于进一步代数演算。 ⑥较少受抽样变动的影响。
⑵（再利用Z分数具有可加性）计算不同质的观测值 的总和，以表示在团体中的相对位置。 [自习例
4-9、4-10]
⑶表示标准测验分数。（如，“离差智商”，自习）
⑷极端数据的取舍：M±2S或M±3S标准（即“正 负两个或三个标准差原则”） 。
第四节 （绝对）差异量数的选用 [自习] P101
▪ 一、优良差异量数具备的标准
➢ 1、计算公式 ： Z X X
s
例题计算 [自习例4-7]
➢ 例：某中学体检，全校身高平均为160cm，标准差为 24cm；体重平均为55kg，标准差为11kg。小明身高 172cm，体重66kg。问：①身高与体重哪个的分布更 为离散？②若从相对排名来看，小明是身高排名更靠前、 还是体重排名更靠前？（高的、重的排名在前）
➢ 六条标准，可参阅“标准差的优点”
▪ 二、各种差异量数优缺点比较 ▪ 三、（在样本容量大或正态分布中）各种差异量
数之间的关系 ▪ 四、如何选用差异量数
➢ 考虑五方面因素，同时结合适宜的集中量数来 描述一组数据的全貌。
本章要点
▪ 概念理解：全距、百分位差、四分位差 ▪ 平均差的计算及优缺点；方差与标准差的计算、
➢ 适用于等距数据及以上（将就也会用于顺序数据）； 最简明、最低效，常用于预备性检查。
第一节 全距和百分位差
▪ 二、百分位差 P81
➢ 用百分位数之间的差值来表示离中趋势，常用 的有P90-P10、P93-P7。
➢ [补充] 原始分数的百分位数（百分等级）的计算
PR
100 100R 50 N
Fra Baidu bibliotek
第三节 标准差的应用
▪ 二、标准分数
➢ 2、标准分数的性质
①Z分数无实际测量单位，是以平均数为参照点， 以标准差为单位的一个相对量，为等距数据。
②一组原始数据转换得到的Z分数的平均数为0， 标准差为1。
③若原始数据呈正态分布（normal distributions）， 则转换所得的Z分数服从正态分布N（0，1）。
➢ 注意：①适用资料至少是等距，理论要求为比 率数据；②尚不能进行统计推论。
第三节 标准差的应用
▪ 二、标准分数（standard score，又称Z分数） P95
是以标准差为单位来表示一个原始分数在团体中 所处的相对位置量数。可用以比较多个数在其所 在数组分布中的相对位置的高低（Z分数越大，表 明该数据在其分布中的相对位置越高）。
➢ 3、标准分数的优缺点
优点：可比性；可加性；明确性；稳定性。
缺点：计算相对繁琐；常为负数或带有小数，难理解。
第三节 标准差的应用
▪ 二、标准分数
➢ 4、标准分数的应用（适用前提：正态变量）P97
⑴（利用Z分数具有可比性）用于比较几个分属性质 不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低。
（如，之前的例题）
第三节 标准差的应用
▪ 一、差异系数（coefficient of variation） P94
绝对差异量数 vs. 相对差异量数（不带测量单位）
➢ 用以比较多组数据之间离散程度的大小。
➢ 计算公式：CV s 100%
X
➢ 常用于：①同一团体不同观测值离散程度的比 较（如，身高 vs. 体重）；②（各均值相差较大时）不 同团体同种观测值离散程度的比较（如，成人体重 vs. 小孩体重）。
第二节 平均差、方差与标准差
▪ 二、平均差 P86
➢ 平均差：离均差绝对值的均值，符号A.D.，公式
A.D x x
n
➢ 描述离中趋势/离散程度最为直观，简明易解、反 应灵敏；但受限于取绝对值不利于进一步代数运 算，因此仍属低效，应用不多。
➢ 例题计算 [自习例4-2]
第二节 平均差、方差与标准差
性质和优点 ▪ 差异系数的计算和用途 ▪ 标准分数的含义、计算及应用、性质和优点
本章课后作业 P106
▪ 1、简述各种绝对离中量数的特点（即优缺 点）。
▪ 三、方差与标准差 P87
➢ 方差：离均差平方的均值，符号S2，公式
Sn2
1 n
n i 1
Xi X
2
➢ 标准差：符号S、s或SD，公式 S S 2
➢ 例题计算 [自习例4-3、例4-4，结合公式4-9、4-10]
➢ 提醒：该计算结果为“样本标准差Sn”，而SPSS 计算结果为“样本所估计的总体标准差Sn-1”。
➢PR为百分位数，R为排名序号，N为总数据个数。
P174
第一节 全距和百分位差
▪ 二、百分位差
➢ 四分位差（及四分位数）P84，可视为百分位差的 一种，符号Q（quartile deviation），公式Q =
（P75 - P25）/2（即第三个四分位数与第一个四分位
数之差的一半）
➢ 适用于等距数据及以上（将就也会用于顺序数据）； 效果强于全距，但反应不够灵敏，不适合进一步 代数演算，故仍为低效，应用不多。
▪ [补充] 异众比率：VR=（N-fMo）/N。适用于称 名数据及以上。
第二节 平均差、方差与标准差
适用于等距数据及以上。
▪ [补充] 一、动差体系，中心动差 P85
➢ 一级动差：通常取离均差的绝对值求和——平均差； ➢ 二级动差：取离均差的平方求和——方差（其平方
根即为标准差）；
➢ 三级动差：取离均差的三次方求和——偏态指标； ➢ 四级动差：取离均差的四次方求和——峰态指标。
第四章 差异量数
第一节 全距和百分位差 第二节 平均差、方差与标准差 第三节 标准差的应用：差异系数和
标准分数
第四节 差异量数的选用
第一节 全距和百分位差
▪ 一、全距 P80
➢ 又称两极差，用最大值与最小值之差来表示离中 趋势，符号R（range），公式 R X max X min
计算所得数值越大，表明数据越离散/分散 [下同]
第二节 平均差、方差与标准差
▪ 三、方差与标准差
➢ 性质 P93
①方差的可加性和可分解性
➢总方差的合成 P91（注意：合成前提是各样本进行的是
同一特质的同种观测，即同质性原则）
②每个数加上C，则所得标准差等于原标准差。 ③每个数乘以C，则所得标准差为原标准差乘以C。
➢ 意义/优势所在
①反应灵敏。 ②计算严密。③(还算)计算简单。④(还算)简明易懂。 ⑤适合于进一步代数演算。 ⑥较少受抽样变动的影响。
⑵（再利用Z分数具有可加性）计算不同质的观测值 的总和，以表示在团体中的相对位置。 [自习例
4-9、4-10]
⑶表示标准测验分数。（如，“离差智商”，自习）
⑷极端数据的取舍：M±2S或M±3S标准（即“正 负两个或三个标准差原则”） 。
第四节 （绝对）差异量数的选用 [自习] P101
▪ 一、优良差异量数具备的标准
➢ 1、计算公式 ： Z X X
s
例题计算 [自习例4-7]
➢ 例：某中学体检，全校身高平均为160cm，标准差为 24cm；体重平均为55kg，标准差为11kg。小明身高 172cm，体重66kg。问：①身高与体重哪个的分布更 为离散？②若从相对排名来看，小明是身高排名更靠前、 还是体重排名更靠前？（高的、重的排名在前）
➢ 六条标准，可参阅“标准差的优点”
▪ 二、各种差异量数优缺点比较 ▪ 三、（在样本容量大或正态分布中）各种差异量
数之间的关系 ▪ 四、如何选用差异量数
➢ 考虑五方面因素，同时结合适宜的集中量数来 描述一组数据的全貌。
本章要点
▪ 概念理解：全距、百分位差、四分位差 ▪ 平均差的计算及优缺点；方差与标准差的计算、
➢ 适用于等距数据及以上（将就也会用于顺序数据）； 最简明、最低效，常用于预备性检查。
第一节 全距和百分位差
▪ 二、百分位差 P81
➢ 用百分位数之间的差值来表示离中趋势，常用 的有P90-P10、P93-P7。
➢ [补充] 原始分数的百分位数（百分等级）的计算
PR
100 100R 50 N
Fra Baidu bibliotek
第三节 标准差的应用
▪ 二、标准分数
➢ 2、标准分数的性质
①Z分数无实际测量单位，是以平均数为参照点， 以标准差为单位的一个相对量，为等距数据。
②一组原始数据转换得到的Z分数的平均数为0， 标准差为1。
③若原始数据呈正态分布（normal distributions）， 则转换所得的Z分数服从正态分布N（0，1）。