数模常用方法3
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划，动态规划，目标规划）
数学建模常用的方法
✓ 机理分析法 ✓ 排队方法 ✓ 对策方法 ✓ 决策方法 ✓ 模糊评判方法 ✓ 时间序列方法 ✓ 灰色理论方法 ✓ 现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算
法，遗传算法，神经网络）
数学模型分类
➢ 优化模型 ➢ 微分方程模型 ➢ 统计模型 ➢ 概率模型 ➢ 图论模型 ➢ 决策模型
➢ 整数规划（决策变量是整数值得规划问题） ➢ 多目标规划（具有多个目标函数的规划问题） ➢ 目标规划（具有不同优先级的目标和偏差的规
划问题） ➢ 动态规划（求解多阶段决策问题的最优化方法）
优化模型求解
➢ 无约束规划
➢ fminsearch ➢ fminbnd
➢ 线性规划
➢ linprog
➢ 非线性规划
➢ 自回归模型
➢ 一般自回归模型AR(p)—系统在时刻t的响应X(t)仅与 其以前时刻的响应X(t-1),…， X(t-p)有关，而与其以
前时刻进入系统的扰动无关
➢ 移动平均模型MA(q)—系统在时刻t的响应X(t) ，与
其以前任何时刻的响应无关，而与其以前时刻进入 系统的扰动u(t-1),…,u(t-q)存在着一定的相关关系
➢ 多元函数拟合（回归分析） ➢ MATLAB实现 ➢ 函数的确定
插值方法
➢ 一维插值的定义—已知n个节点，求任意
点处的函数值。
➢ 分段线性插值 ➢ 多项式插值 ➢ 样条插值 ➢ y=interp1(x0,y0,x,'method')
➢ 二维插值—节点为网格节点
➢ z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method') ➢ pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds)
➢ fmincon
➢ 多目标规划（计算有效解）
➢ 目标加权、效用函数
➢ 动态规划（倒向、正向） ➢ 整数规划（分支定界法、枚举法、LINDO）
三、统计方法（回归分析）
➢ 回归分析—对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一 个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的 一种统计方法 （一元线性回归、多元线性回归、非线性回归）
学会使用工具箱 （matlab 界面——〉start） ➢ [beta,r,J]=nlinfit（x，y，’model’, beta0）（非线性回归）
四 时间序列分析方法
➢ 时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且 相互关联的数据序列—通过对预测目标自身时 间序列的处理，来研究其变化趋势（长期趋势 变动、季节变动、循环变动、不规则变动）
历年回顾:
92A题施肥效果分析 92B题实验数据分解 93A非线性交调的频率设计 93B足球队排名 94A逢山开路 94B锁具装箱问题 95A飞行管理问题 95B天车与冶炼炉的作业调度 96A最优捕鱼策略 96B节水洗衣机
回归分析 数据拟合 离散模型、组合最优化 拟合、规划 图论、层次分析、整数规划 图论、插值、动态规划 图论、组合数学 非线性规划、线性规划 动态规划、排队论、图论 微分方程、优化 非线性规划
97A零件的参数设计 97B截断切割的最优排列 98A一类投资组合问题 98B灾情巡视的最佳路线 99A自动化车床管理 99B钻井布局 00A DNA序列分类
➢ 每对顶点之间的最短路径 （Dijkstra算法、Floyd算法 ）
➢ 最小生成树问题
➢ 连线问题—欲修筑连接多个城市的铁路设计一个线路 图，使总造价最低（prim算法、Kruskal算法 ）
➢ 图的匹配问题
➢ 人员分派问题：n个工作人员去做件n份工作，每人适 合做其中一件或几件，问能否每人都有一份适合的工 作？如果不能，最多几人可以有适合的工作？(匈牙利 算法)
图论方Baidu Nhomakorabea（二）
➢ 遍历性问题
➢ 中国邮递员问题—邮递员发送邮件时，要从 邮局出发，经过他投递范围内的每条街道至 少一次，然后返回邮局，但邮递员希望选择 一条行程最短的路线
➢ 最大流问题
➢ 运输问题
➢ 最小费用最大流问题
➢ 在运输问题中，人们总是希望在完成运输任 务的同时，寻求一个使总的运输费用最小的 运输方案
这么多资源，我们怎么利用?从哪里下手？ 这就要回到我们的目的是什么？
掌握解决问题的方法。 那我们需要掌握哪一些方法呢？ 怎么去学？
数学建模需要的知识（部分）
➢ 运筹学 ➢ 多元统计分析 ➢ 微分方程
数学建模常用的方法
✓ 类比法 ✓ 量纲分析法 ✓ 差分法 ✓ 变分法 ✓ 图论法 ✓ 层次分析法 ✓ 数据拟合法 ✓ 回归分析法 ✓ 数学规划（线性规划，非线性规划，整数规
一、拟合与插值方法
➢ 问题—给定一批数据点（输入变量与输 出变量的数据），需确定满足特定要求 的曲线或曲面
➢ 插值问题—要求所求曲线（面）通过所 给所有数据点
➢ 数据拟合—不要求曲线（面）通过所有 数据点，而是要求它反映对象整体的变 化趋势
数据拟合
➢ 一元函数拟合
➢ 多项式拟合 ➢ 非线性函数拟合
➢ 二维插值—节点为散点
➢ z1=griddata(x,y,z,x1,y1)
二、优化方法
➢ 优化模型四要素
➢ 决策变量 ➢ 目标函数（尽量简单、光滑） ➢ 约束条件（建模的关键） ➢求解方法 （MATLAB,LINDO）
优化模型分类
➢ 线性规划模型（目标函数和约束条件都是线性 函数的优化问题）
➢ 非线性规划模型（目标函数或者约束条件是非 线性的函数）
➢ 自回归移动平均模型 ARMA(p,q)—系统在时刻t的响 应X(t)，不仅与其前p个时刻的自身值有关，而且还 与其前q个时刻进入系统的扰动存在一定的依存关 系
五、图论方法（一）
➢ 最短路问题
➢ 两个指定顶点之间的最短路径—给出了一个连接若干 个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间， 找一条最短铁路线 （Dijkstra算法 ）
➢ 回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：
➢ 建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式） ➢ 对回归模型的可信度进行检验 ➢ 判断每个自变量对因变量的影响是否显著 ➢ 判断回归模型是否适合这组数据 ➢ 利用回归模型对进行预报或控制
➢ [b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) （线性回归） ➢ rstool（x，y，’model’, alpha）（多元二项式回归）
数学建模常用的方法
✓ 机理分析法 ✓ 排队方法 ✓ 对策方法 ✓ 决策方法 ✓ 模糊评判方法 ✓ 时间序列方法 ✓ 灰色理论方法 ✓ 现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算
法，遗传算法，神经网络）
数学模型分类
➢ 优化模型 ➢ 微分方程模型 ➢ 统计模型 ➢ 概率模型 ➢ 图论模型 ➢ 决策模型
➢ 整数规划（决策变量是整数值得规划问题） ➢ 多目标规划（具有多个目标函数的规划问题） ➢ 目标规划（具有不同优先级的目标和偏差的规
划问题） ➢ 动态规划（求解多阶段决策问题的最优化方法）
优化模型求解
➢ 无约束规划
➢ fminsearch ➢ fminbnd
➢ 线性规划
➢ linprog
➢ 非线性规划
➢ 自回归模型
➢ 一般自回归模型AR(p)—系统在时刻t的响应X(t)仅与 其以前时刻的响应X(t-1),…， X(t-p)有关，而与其以
前时刻进入系统的扰动无关
➢ 移动平均模型MA(q)—系统在时刻t的响应X(t) ，与
其以前任何时刻的响应无关，而与其以前时刻进入 系统的扰动u(t-1),…,u(t-q)存在着一定的相关关系
➢ 多元函数拟合（回归分析） ➢ MATLAB实现 ➢ 函数的确定
插值方法
➢ 一维插值的定义—已知n个节点，求任意
点处的函数值。
➢ 分段线性插值 ➢ 多项式插值 ➢ 样条插值 ➢ y=interp1(x0,y0,x,'method')
➢ 二维插值—节点为网格节点
➢ z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method') ➢ pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds)
➢ fmincon
➢ 多目标规划（计算有效解）
➢ 目标加权、效用函数
➢ 动态规划（倒向、正向） ➢ 整数规划（分支定界法、枚举法、LINDO）
三、统计方法（回归分析）
➢ 回归分析—对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一 个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的 一种统计方法 （一元线性回归、多元线性回归、非线性回归）
学会使用工具箱 （matlab 界面——〉start） ➢ [beta,r,J]=nlinfit（x，y，’model’, beta0）（非线性回归）
四 时间序列分析方法
➢ 时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且 相互关联的数据序列—通过对预测目标自身时 间序列的处理，来研究其变化趋势（长期趋势 变动、季节变动、循环变动、不规则变动）
历年回顾:
92A题施肥效果分析 92B题实验数据分解 93A非线性交调的频率设计 93B足球队排名 94A逢山开路 94B锁具装箱问题 95A飞行管理问题 95B天车与冶炼炉的作业调度 96A最优捕鱼策略 96B节水洗衣机
回归分析 数据拟合 离散模型、组合最优化 拟合、规划 图论、层次分析、整数规划 图论、插值、动态规划 图论、组合数学 非线性规划、线性规划 动态规划、排队论、图论 微分方程、优化 非线性规划
97A零件的参数设计 97B截断切割的最优排列 98A一类投资组合问题 98B灾情巡视的最佳路线 99A自动化车床管理 99B钻井布局 00A DNA序列分类
➢ 每对顶点之间的最短路径 （Dijkstra算法、Floyd算法 ）
➢ 最小生成树问题
➢ 连线问题—欲修筑连接多个城市的铁路设计一个线路 图，使总造价最低（prim算法、Kruskal算法 ）
➢ 图的匹配问题
➢ 人员分派问题：n个工作人员去做件n份工作，每人适 合做其中一件或几件，问能否每人都有一份适合的工 作？如果不能，最多几人可以有适合的工作？(匈牙利 算法)
图论方Baidu Nhomakorabea（二）
➢ 遍历性问题
➢ 中国邮递员问题—邮递员发送邮件时，要从 邮局出发，经过他投递范围内的每条街道至 少一次，然后返回邮局，但邮递员希望选择 一条行程最短的路线
➢ 最大流问题
➢ 运输问题
➢ 最小费用最大流问题
➢ 在运输问题中，人们总是希望在完成运输任 务的同时，寻求一个使总的运输费用最小的 运输方案
这么多资源，我们怎么利用?从哪里下手？ 这就要回到我们的目的是什么？
掌握解决问题的方法。 那我们需要掌握哪一些方法呢？ 怎么去学？
数学建模需要的知识（部分）
➢ 运筹学 ➢ 多元统计分析 ➢ 微分方程
数学建模常用的方法
✓ 类比法 ✓ 量纲分析法 ✓ 差分法 ✓ 变分法 ✓ 图论法 ✓ 层次分析法 ✓ 数据拟合法 ✓ 回归分析法 ✓ 数学规划（线性规划，非线性规划，整数规
一、拟合与插值方法
➢ 问题—给定一批数据点（输入变量与输 出变量的数据），需确定满足特定要求 的曲线或曲面
➢ 插值问题—要求所求曲线（面）通过所 给所有数据点
➢ 数据拟合—不要求曲线（面）通过所有 数据点，而是要求它反映对象整体的变 化趋势
数据拟合
➢ 一元函数拟合
➢ 多项式拟合 ➢ 非线性函数拟合
➢ 二维插值—节点为散点
➢ z1=griddata(x,y,z,x1,y1)
二、优化方法
➢ 优化模型四要素
➢ 决策变量 ➢ 目标函数（尽量简单、光滑） ➢ 约束条件（建模的关键） ➢求解方法 （MATLAB,LINDO）
优化模型分类
➢ 线性规划模型（目标函数和约束条件都是线性 函数的优化问题）
➢ 非线性规划模型（目标函数或者约束条件是非 线性的函数）
➢ 自回归移动平均模型 ARMA(p,q)—系统在时刻t的响 应X(t)，不仅与其前p个时刻的自身值有关，而且还 与其前q个时刻进入系统的扰动存在一定的依存关 系
五、图论方法（一）
➢ 最短路问题
➢ 两个指定顶点之间的最短路径—给出了一个连接若干 个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间， 找一条最短铁路线 （Dijkstra算法 ）
➢ 回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：
➢ 建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式） ➢ 对回归模型的可信度进行检验 ➢ 判断每个自变量对因变量的影响是否显著 ➢ 判断回归模型是否适合这组数据 ➢ 利用回归模型对进行预报或控制
➢ [b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) （线性回归） ➢ rstool（x，y，’model’, alpha）（多元二项式回归）