一元二次方程的根与系数的关系教学案(一)
一元二次方程的根与系数的关系教学案（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点： 掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． （二）能力训练点： 培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． （三）德育渗透点： 1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律； 2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：根与系数的关系及其推导． 2．教学难点：正确理解根与系数的关系． 3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系． 三、教学步骤 （一）明确目标 一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知
一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础． 本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问 （1）写出一元二次方程的一般式和求根公式． （2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0． 观察、思考两根和、两根积与系数的关系． 在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？ 2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系． 设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．
根与系数的关系练习题
一元二次方程根与系数的关系习题 主编：闫老师 [准备知识回顾]： 1、一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 。 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=? （1） 当0>?时，方程有两个不相等的实数根。 （2） 当0=?时，方程有两个相等的实数根。 （3） 当0
在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时，如果可用公式求出方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和，那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果 方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解. [基础运用] 例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ， =k 。 解： 变式训练： 1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？ 2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少？ 例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值： （1）2 22 1x x + （2）)1)(1(21++x x （3）2 11 1x x + （4）221)(x x -
人教版九年级上册知识点强化训练：根与系数的关系 含答案
2020年人教版九年级上册知识点强化训练：根与系数的关系一．选择题（共8小题） 1．方程2x2﹣x﹣1＝0的两根之和是（） A．﹣2B．﹣1C．D． 2．下列一元二次方程中，两实数根之和为3的是（） A．x2+3x﹣3＝0B．2x2﹣3x﹣3＝0C．x2﹣3x+3＝0D．x2﹣3x﹣3＝0 3．已知x1，x2是x2﹣4x+1＝0的两个根，则x1?x2是（） A．﹣4B．4C．1D．﹣1 4．若x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1?x2的值是（）A．﹣5B．﹣1C．5D．1 5．已知方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12x2+x1x22的值为（）A．﹣6B．﹣3C．3D．6 6．若关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣3m+3＝0的两根互为倒数，则m的值等于（）A．1B．2C．1或2D．0 7．如果α、β是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根，则α2+2α﹣β的值是（）A．3B．4C．5D．6 8．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（） A．B．C．D．0 二．填空题（共7小题） 9．已知方程2x2﹣6x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1+x2＝． 10．已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝．11．设x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1，则m＝． 12．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于．13．已知m、n是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，那么m2+mn+2n＝． 14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两实数根分别为x1、x2，则+的值为． 15．已知实数ab满足等式a2+3a﹣2＝0，b2+3b﹣2＝0，那么求的值是．
一元二次方程根与系数之间的关系
中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间关系 从暑假开始,我们系统学习了一元二次方程解法及一元二次根判别式和一元二次方程根与系数之间关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中第六章解直角三角形. 一、基本内容 1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数次数最高是2整式方程叫一元二次方程. 2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0) 3.解法: ①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得: 513±=-x 513±=x 3 51,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x 解:1232=-x x 31322=- x x 9 13191322+=+-x x 94)31(2=-x 3 231±=-x 3231±=x 3 1,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式推导用这种方法. ③公式法:)0(2)0(02≥??±-=≠=++a b x a c bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0形式,变成两个一元一次方程来解. 4.根判别式:△=b 2-4ac b 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b 2-4ac<0 方程无实根. b 2-4a c ≥0 方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程根情况. ②利用方程根条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m 或k 取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.
韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案
1、韦达定理（根与系数的关系） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .
根与系数的关系的应用
一元二次方程的根与系数的关系的应用 教学目标： 知识技能目标 1.能说出根与系数的关系； 2.会利用根与系数的关系解有关的问题. 过程性目标 在经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程中，通过尝试与交流，开拓思路，体会应用自己探索成果的喜悦. 情感态度目标 1.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯； 2.通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神. 重点和难点： 重点：一元二次方程两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系； 难点：对根与系数这一性质进行应用. 教学过程： 一、创设情境 1．请说出解一元二次方程的四种解法. 2．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？ (1)x2－2x＝0； (2)x2＋3x－4＝0； (3)x2－5x＋6＝0. 证明. 3 两个解的和等于一次项系数的相反数，两个解的积等于 一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q≥0），试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1?x2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致. （此探索过程让学生分组进行交流、协作完成） 探索过程
q q p p q p p x x p q p p q p p x x q p p x q p p x q p p a ac b b x q p ac b q c p b a q px x =---?-+ -= ?-=---+-+-=+---= -+ -= -±-= -±-=≥-=-====++2 42424242 4242 4240 44102221222122212 2222，，， 结论：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，这与上面的发现是一 致的. 三、实践应用 例 1 已知关于x 的方程x 2 －px ＋q ＝0的两个根是0和－3，求p 和 q 的值. 解法一：因为关于x 的方程x 2 －px ＋q ＝0的两个根是0和－3，所以有 ． q p q p q p q p 030 30)3()3(00022=-=?? ?=-=?????=+-?--=+?-，所以解这个方程组得 解法二：由q x x p x x =?-=+2121，， 方程x 2 －px ＋q ＝0的两个根是0和－3，可得 ． q p q p 03 )3(0)3(0=-==-?，即得 ＝－－＋ 例2 写出下列方程的两根和与两根积： 05)4(032)3(0 2114)2(0 17)1(2 2 22=-+-=-+=-+=+-n nx x x x x x x x 5 )4(2 321)3(21 14)2(1 7)1(2121212121212121-=?=+=?-=+=?-=+=?=+n x x n x x x x x x x x x x x x x x ，－ ，－，，解 课堂练习 1.写出下列方程的两根和与两根积： 3)4(0 532)3(04411)2(025)1(2 2 22=-+-=-+=-+=+-m mx x x x x x x x
(完整版)根与系数关系知识讲解及练习
韦达定理：对于一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，则 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：（1）定理成立的条件0?≥ （2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的几大用处 ① 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次 方程的两根； 例如：已知方程x 2-5x+6＝0，下列是它两根的是（ ） A ． 3，-2 B. -2, 3 C. -2，-3 D. 3, 2 ② 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x 1 和x 2的代数式的值，如； ③ 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次 方程的一般式. ④ 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另 一个数及未知数系数. （后三种为主） （1）计算代数式的值 例 若12,x x 是方程2 220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 22 12x x +； (2) 12 11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -． 解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222 121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2) 1212121122 20072007 x x x x x x +-+===-
(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=- (4) 12||x x -= ===说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： 222121212()2x x x x x x +=+-， 121212 11x x x x x x ++=，22 121212()()4x x x x x x -=+-， 12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+， 33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想． （2）构造新方程 理论：以两个数为根的一元二次方程是 。
一元二次方程根与系数的关系演示教学
12.4一元二次方程的根与系数的关系 中考考点 1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。 2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。 3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。 考点讲解 1．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2，则 x1+x2=-， x1·x2=。 2．以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。
3．对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2时，那么x1+x2=-p，x1·x2=q。反之，以x1,x2为根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程： x2+px+q=0。 4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面： （1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。 （2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。 （3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。如，方程2x2-3x+1=0的两根为x1,x2，不解方程，求x12+x22的值。 [∵x1+x2=， x1·x2=，∴
x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=()2-2× = ] （4）验根、求根、确定根的符号。 （5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。
初三数学根与系数关系练习题
一元二次方程根的判别式与根与系数的关作业题 一、选择 1、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程 （ ） A 、有两个不等实根 B 、有两个相等实根 C 、没有实根 D 、有实根 2、若方程02=++n mx x 中有一个根为零，另一个根非零，则n m ,的值为 ( ) （A ） 0,0==n m （B ） 0,0≠=n m （C ） 0,0=≠n m （D ） 0≠mn 3、若a x x ++3142为完全平方式，则a 的值为 （ ） A 61 B 121 C 361 D 144 1 4、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为 （ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、±1 5、两根均为负数的一元二次方程是 ( ) A.4x 2+21x+5=0 B.6x 2-13x-5=0 C.7x 2-12x+5=0 D.2x 2+15x-8=0 6、已知ab ≠0，方程02=++c bx ax 的系数满足ac b =??? ??2 2，则方程的两根 之比为 （ ）
A 、0∶1 B 、1∶1 C 、1∶2 D 、2∶3 7、菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程：03)12(22=++-+m x m x 的根，则m 的值为 （ ） A 、－3 B 、5 C 、5或－3 D 、－5或3 二、填空： 8、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中， 无实根的方程是 。 9、关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ 。 10、如果关于x 的一元二次方程042=+-kx x 有两个相等的负根，则_____=k ； 11、以1313－和+的根为方程是______________。 12、若两数和为3，积为－4，则这两个数分别为_____________。 三、解答 13、1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值： （1）2221x x + （2）21x x - （3）2222133x x x -+
根与系数之间关系应用一
2013根与系数关系应用 一．填空题（共30小题） 1．（2012?泸州）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则x12+x22+4x1x2的值为_________．2．（2012?鄂州）设x1、x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两个实根，且，则a= _________． 3．（2011?苏州）已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则代数式（a﹣b）（a+b﹣2）+ab的值等于_________． 4．（2011?德州）若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x12+x22=_________． 5．（2010?雅安）已知一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根为x1、x2，且x1x2（x1+x2）=3，则m的值是 _________． 6．（2010?芜湖）已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x13+8x2+20=_________． 7．（2010?成都）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为_________． 8．（2009?天津）若分式的值为0，则x的值等于_________． 9．（2008?鄂州）已知α，β为方程x2+4x+2=0的二实根，则α3+14β+50=_________． 10．（2007?芜湖）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是_________．11．（2007?宿迁）设x1，x2是方程x（x﹣1）+3（x﹣1）=0的两根，则|x1﹣x2|=_________．12．（2006?株洲）已知a、b是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k（k+1）=0的两个实数根，则a2+b2的最小值是_________．13．（2006?日照）已知，关于x的方程x2+=1，那么x++1的值为_________．14．（2006?南充）如果α、β是一元二次方程x2+3x﹣1=0的两个根，那么α2+2α﹣β的值是_________． 15．（2001?甘肃）如果二次三项式3x2﹣4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积，则k的取值范围是_________． 16．（2001?东城区）若2x2﹣5x+﹣5=0，则2x2﹣5x﹣1的值为_________． 17．（2000?辽宁）已知α，β是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则α2+αβ+2α的值为_________． 18．（1999?温州）若m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1=0的两实根，则代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值等于_________．
根与系数的关系
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系(第二课时) 导学探究 1．一元二次方程的一般形式是_______________. 2. 一元二次方程的求根公式是______________________. 3. 判别式与一元二次方程根的情况： 4. 一元二次方程ax 2 +bx +c =0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2与系数a,b,c 的关系是什么？ 典例探究 1．已知一元二次方程两根的关系求参数或参数的范围 总结： 已知一元二次方程两根x1，x2的不等关系求原方程中的字母参数时，一般考虑韦达定理和根的判别式，尤其是根的判别式不要忘记，这是保证方程有根的基本条件. 练1．已知x1，x2是关于x 的一元二次方程x 2 ﹣（2k+1）x+k 2 +2k=0的两个实数根，且x1，x2满足x 1?x 2﹣x 12﹣x 22≥0，求k 的取值范围. 【例2】（2015?丹江口市一模）已知关于x 的方程x 2 ﹣2（m+1）x+m 2 ﹣3=0 （1）当m 取何值时，方程有两个实数根？ （2）设x 1、x 2是方程的两根，且（x 1﹣x 2）2 ﹣x 1x 2=26，求m 的值． 总结： 1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）根的情况与判别式△的关系如下： 24b ac -是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，设2=4b ac ?-，则 （1）当0?＞时，__________________________________； （2）当=0?时，___________________________________ （3）当0?＜时，原方程____________________________. 【例1】已知关于x 的方程2 120,3 x kx --=设方程的两个根为x 1,x 2，若12122()x x ,x x +>求k 的取值范围. 如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的两个实数根，则有 1212,b c x x x x a a +=-?=．这是著名的韦达定理.
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解(基础)
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础） 责编：常春芳 【学习目标】 1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围； 2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 【要点梳理】 知识点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42 -的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中， （1）方程有两个不相等的实数根?ac b 42 -﹥0； （2）方程有两个相等的实数根?ac b 42 -=0； （3）方程没有实数根?ac b 42 -﹤0. 要点诠释： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42 -≥0. 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，
根与系数的关系练习题 (1)
一元二次方程根与系数的关系练习题 一．选择题（共14小题） 1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（） A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=0 2．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（） A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0 3．（2011?锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．12 4．（2007?泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则2x12﹣2x1+x22+3的值是（）A．19 B．15 C．11 D．3 5．（2006?贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣1 6．（1997?天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（）A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣2 7．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（） A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m2 8．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（） A．365 B．245 C．210 D．175 9．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0 的两个实数根，则m的值为（） A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．8 10．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系 教学目的 1．使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会初步运用． 2．培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力． 教学重点、难点 重点：韦达定理的推导和初步运用． 难点：定理的应用． 教学过程 一、复习提问 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式应如何表述？ 2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？ 二、新课讲解 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”) 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x 1，x2，那么 例1已知方程5x2＋k x－6＝0的一个根是2，求它的另一根及k的值． 讲解例1
例2利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和． 三、学生练习 1．下列各方程两根之和与两根之积各是什么？ (1)x2－3x－18＝0；(2)x2＋5x＋4＝5； (3)3x2＋7x＋2＝0；(4)2x2＋3x＝0． 2．方程5x2＋kx－6＝0两根互为相反数，k为何值？ 3．方程2x2＋7x＋k＝0的两根中有一个根为0，k 为何值？ 4、已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数． 提示：这是一道“根与系数的关系定理”的应用题，要注意此类题的解题步骤：(1)运用定理构造方程； (2)解方程求两根； (3)得出所欲求的两个数． 四、课堂小结 1．本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理． 2．要掌握定理的四个应用：一是不解方程直接求方程的两根之和与两根之积；二是已知方程一根求另一根及系数中字母的值．三是已知方程求两根的各种代数式的值；四是已知两根的代数式的值，构造新方程； 五、布置作业： 1、本节不留书面作业。 2、探究性作业：课本55页探索。
一元二次方程根与系数之间的关系
中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的 关系 我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元,从暑假开始我们将学习几何,二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次. 中的第六章解直角三角形一、基本内容的整式方程叫一元且未知数的次数最高是1.一元二次方程含义:含有一个未知数,2. 二次方程20) +bx+c=0(a一般形式:ax≠2.: 3.解法22如=b(b≥0)0)和(x+a)的形式可直接开平方:①直接开平方法形如 x.=b(b≥2: 两边开平方得(3x-1)=551?51??,?x?x5?x53?13x?1??21332 :② 配方法:例03x??2x?11222解:1?2x3x??xx?3311212?xx??? 939321412??x?(x)??3393121?,xx????x?121333因 为很多公式的推导用这种方,.但要掌握此类解法在解一元二次方程时,一般不用. 法?b??2)??0(?0axbx??c?0(a?)的求根公式是x:③公式法a2将一元二次方程转,:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式④因式分解法. 变成两个一元一次方程来解化成ax+b=0,cx+d=0的形式,2-4ac =b根的判别式:△4.2. 方程有两个不相等实根b-4ac>0 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b2-4ac<0 方程无实根. b2-4ac≥0 b方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程的根的情况. ②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m或k的取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完 全平. 来证<0Δ或>0Δ一定有,无论取何值k)或m(叙述不论,方式 cb2. +bx+c=0(a≠0)的根,则5.根与系数间的关系,某x,x是ax?x,x?x?x??212121aa: 应用. 求方程中m或k的值或另一根①不解方程,. 求某些代数式的值②不解方程,. 的取值范围m或k③利用两根的关系,求方程中. 使它与原方程有某些关系④建立一个方程,. ⑤一些杂题 : 二、本次练习: 填空题(一)22mx??x3mx?2x?m m=____. 1.关于x是一元二次方程的方程,则2常数化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是 2.将方程4x____,-kx+k=2x-1____. 项是222x=____. 则代数式(x+2)+(x-2)的值相等的值与8(x,-2)3.522 +( )=(x- )4.x?x 22k=____.
中考数学专题 根与系数的关系_答案
专题 根与系数的关系 例1. 15 2 s ≥- 且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例3. 设22 3,A βα = +22 3,B αβ= + 31004A B += ① A B -= ② 解由① ②联立的 方程组得 1 (4038 A =- 例 4. 0,s ≠Q 故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又1 1,,st t s ≠∴Q 是一元二次方 程 299190x x ++=的两个不同实根, 则11 99,19,t t s s +=-=g 即199,19.st s t s +=-= 故 41994519st s s s t s ++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+g 易知3,2x y 是一元二次方程 22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴?≥, 即2223221440z az a -+-≤, 由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ?=--??-≥ 解得a ≥故正实数a 的最小值为 (3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11, 6x y xy +=??=? 或 6,()xy 11. x y +=?? =?舍原式=()()2 22222212499x y x y xy x y +-++=． 例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ?-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2， 且x 1<0根与系数关系知识讲解及练习
0b0a，如果方程有两个实数韦达定理：对于一元二次方，10?? 1）定理成立的条件说明：（b??x?x的负号与b）注意公式重的符号的区别（221a根系关系的几大用处 ①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；? 例如：已知方程2-5x+6＝0，下列是它两根的是（ x） -3 D. 3, 2， 3，-2 B. -2, 3 C. -2 A．②求代数式的值：在不解方 程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x和x的代数式21的值，如；? ③求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.? ④求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数. （后三种为主） （1）计算代数式的值 2x,x?2x?x2007?0的两个根，试求下列各式的值：是方程若例 211122?(x?5)(x?5)|x?x|xx?．(4) ； (2) ； (1) ； (3) 212112xx21x?x??2,xx??2007解：由题意，根据根与系数的关系得：21122222?2(?2007)?4018xx?(x??x)?(x?x2)?2 (1) 212112x?x11?2221????(2) xxxx?200720072211(x?5)(x?5)?xx?5(x?x)?25??2007?5(?2)?25??1972 (3) 212211 222?4(?2007)2)(??22008x)??(xx)x?4x????|xx|(x (4) 21122211说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： x?x112222212???4xx?xx?)?(xx2)?x??xx(x?xx)(，，， 212121212211xxxx2121．222，4?|x?x|)x(x??xx?xxxx22121112221112333等等．韦达定理体现了整体思想．)x?x)?3xxx?x(?(x?x21121212（2）构造新方程 为根的一元二次方程是。理论：以两个数 x+y=5 解方程组例??????????? xy=6??? 是方程z-5z+6＝0 ，解：显然，xy=3 =2,z由方程①解得 z21=3 =2,y∴原方程组的2的两根① 解为 x11=2 =3,y???????????????? x22显然，此法比代入法要简单得多。）定性判断字母系数的取值范围（3一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。例 为的两根，则c=2 a、bb解：设此三角形的三边长分别为a、、c，且由题意知2-4 k≤0，k≥4或×△＝k-4×22≥为所求。∴
《一元二次方程的根与系数的关系》知识点训练(基础)
《一元二次方程的根与系数的关系》基础训练 【知识点1】 利用根与系数的关系求两根之和与两根之积 1.若一元二次方程2430x x --=的两根是m ，n ，则下列说法正确的是（ ） A. 4m n +=-，3mn = B. 4m n +=-，3mn =- C. 4m n +=，3mn = D. 4m n +=，3mn =- 2.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）2417x x +=，12x x += ，12x x ?= ； （2）2310x -=，12x x += ，12x x ?= . 【知识点2】利用根与系数的关系求相关代数式的值 3.（贵港中考）已知α，β是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则 αβαβ+-的值是（ ） A.3 B.1 C.1 D.-3 4.已知1x ，2x 是一元二次方程2310x x --=的两根，不解方程求下列各式的值： （1）2212x x + （2）12 11x x +. 【知识点3】利用根与系数的关系求方程中待定字母的取值或范围 5.（雅安中考）已知1x ，2x 是一元二次方程221=0x x k +--的两根，且123x x =-，则k 的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知一元二次方程20x bx c ++=的两根分别为2和3，则b ，c 的值分别为（ ） A.5，6 B.-5，-6 C.5，-6 D.-5，6 7.（遵义中考）已知1x ，2x 是关于x 的方程230x bx +-=的两根，且满足12x x +- 1235x x =，那么b 的值为（ ）
A.4 B.-4 C.3 D.-3 8.关于x 的一元二次方程22210x x m +-+=的两实数根之积为负，则实数m 的取 值范围是 . 【易错点】 用根与系数的关系时忽视隐含条件“0△≥” 9.若关于x 的方程22(1)0x a x a +-+=的两个根互为倒数，求a 的值. 解：因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为 . 由根与系数的关系，得2a ＝ . 解得a ＝ . 当a ＝ 时，原方程化为 ， 根的判别式△ 0，此方程 实数根， 所以舍去a ＝ .所以a ＝ . 【变式】关于x 的方程220x ax a -+=的两根的平方和是5，则a 的值是 .
