第三章 第2节 完全剩余系

第2节 完全剩余系

由带余数除法我们知道，对于给定的正整数m ，可以将所有的整数按照被m 除的余数分成m 类。本节将对此作进一步的研究。

定义1 给定正整数m ，对于每个整数i ，0 ≤ i ≤ m ? 1，称集合

K i = { n ；n ≡ i (mod m )，n ∈Z }。

是模m 的一个剩余类。

显然，每个整数必定属于且仅属于某一个K i （0 ≤ i ≤ m ? 1），而且，属于同一剩余类的任何两个整数对模m 是同余的，不同剩余类中的任何两个整数对模m 是不同余的。

例如，模 5的五个剩余类是

K 0= { " , ?10, ?5, 0 , 5, 10, " }，

K 1 = { " , ?9 , ?4 , 1 , 6 , 11, " }，

K 2 = { " , ?8 , ?3 , 2 , 7 , 12, " }，

K 3= { " , ?7 , ?2 , 3 , 8 , 13, " }，

K 4 = { " , ?6 , ?1 , 4 , 9 , 14, " }。

定义2 设m 是正整数，从模m 的每一个剩余类中任取一个数x i （0 ≤ i ≤ m ? 1）

，称集合{x 0, x 1, ",x m ? 1}是模m 的一个完全剩余系（或简称为完全系）。

由于x i 的选取是任意的，所以模m 的完全剩余系有无穷多个，通常称

(ⅰ) {0, 1, 2, ", m ? 1}是模m 的最小非负完全剩余系；

(ⅱ) ）（当m m m |22

,,1,0,1,,12}{""?+?或 ）（当m m m |22

1,,1,0,1,,21}{/????"" 是模m 的绝对最小完全剩余系。

例如，集合{0, 6, 7, 13, 24}是模5的一个完全剩余系，集合{0, 1, 2, 3, 4}是模5的最小非负完全剩余系。

定理1 整数集合A 是模m 的完全剩余系的充要条件是

(ⅰ) A 中含有m 个整数；

(ⅱ) A 中任何两个整数对模m 不同余。

证明 留作习题。

定理2 设m ≥ 1，a ，b 是整数，(a , m ) = 1，{x 1, x 2, ", x m }是模m 的一个完全剩余系，则{ax 1 + b , ax 2 + b , ", ax m + b }也是模m 的一个完全剩余系。

证明 由定理1，只需证明：若x i ≠ x j ，则

ax i + b ≡/ax j + b (mod m )。 (1)

事实上，若

ax i + b ≡ ax j + b (mod m )，

则

ax i ≡ ax j (mod m )，

由此及第一节定理5得到

x i ≡ x j (mod m )，

因此x i = x j 。所以式(1)必定成立。证毕。

定理3 设m 1, m 2∈N ，(m 1, m 2) = 1，又设

},,,{},,,{212121m m y y y Y x x x X ""==，，

分别是模m 1与模m 2的完全剩余系，则

R = { m 2x + m 1y ；x ∈X ，y ∈Y }

是模m 1m 2的一个完全剩余系。

证明 由定理1只需证明：若x ′, x ′′∈X ，y ′, y ′′∈Y ，并且

m2x′+m1y′≡m2x′′+m1y′′ (mod m1m2)，(2) 则

x′ = x′′，y′ = y′′。

事实上，由第一节定理5及式(2)，有

m2x′≡m2x′′ (mod m1) ?x′≡x′′(mod m1) ?x′ = x′′，

再由式(2)，又推出

m1y′≡m1y′′ (mod m1m2) ?y′≡y′′ (mod m2) ?y′ = y′′。

证毕。

例1(Wilson定理) 设p是素数，则

(p? 1)! ≡?1 (mod p)。

解不妨设p≥5。由例2容易推出对于2, 3, ", p? 2，中的每个整数a，都存在唯一的整数k，2 ≤k ≤p? 2，使得

ka ≡ 1 (mod p)。(6) 因此，整数2, 3, ", p? 2可以两两配对使得式(6)成立。所以

2?3?"?(p? 2) ≡ 1 (mod p)，

从而

1?2?3?"?(p? 2)(p? 1) ≡p? 1 ≡?1 (mod p)。