海伦公式几种证明方法

已知三角形的三个边c b a 、、求它的面积S ,有公式))()((c p b p a p p S ---=, 其中)(21c b a p ++=。这就是大家所熟知的“海伦公式”,在中学几何课本上一般都有介紹。人们认为这个公式一定是海伦所首先发现,其实并不然。在一些有关数学史著作中,对此早有不同提法。海伦是古希腊的数学家,同时他还是一位优秀的测绘工程师及亚历山大学派的科学家,他对于物理学和机械学很有研究,发明了不少很有价值的机械和仪器。对于他的准确生活时代我们还不知道,大概在公元1-3世纪期间。

为何会出现海伦公式？由于当时数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，三角术是由于人们想建立定量的天文学，以使用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的。而在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边c b a 、、直接求出三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊的数学家阿基米德解决的，于是他得到了海伦公式。

而本文的重点归纳研究海伦公式几种证明方式，希望这些方法对其它有关解三角形问题有一定的启发作用。

一种方法是用解三角形基本的知识解决。

已知三角形的三边为c b a 、、，设)(21c b a p ++=

， 求证：三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=

. 证明：由正弦定理C ab S sin 21=

可得）（C b a C b a S 2222222cos 141sin 41-==， 又由余弦定理2

22

22222

2224)(2cos b a c b a ab c b a C -+=-+=）（，从而有 ））（（222222222

4141b a c b a b a S -+-=1641222222）（c b a b a -+-= ]4[161222222）（c b a b a -+-=]2(2[(16

1222222））c b a ab c b a ab +---++= )])(()[((1612222b a c c b a ---+=）))()()((16

1b a c b a c c b a c b a +--+-+++=

2

)(2)(2)(2)(b a c b a c c b a c b a +-•-+•-+•++=2)2(2)2(2)2(2)(a b a c b b a c c c b a c b a -++•-++•-++•++= ))()((a p b p c p p ---=

即三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=.证毕。

另一种方法是用向量的知识解决。向量作为一种数学工具，在高中数学中起着重要的作用，所以用向量的知识去解决三角知识，也是一种很不错的方法。在选修教材1-2的P37例2就是一种体现。下面我们就借助教材来证明一下海伦公式。

证明：在三角形ABC ∆中， 设,,,===,||,||,||c BA b CA a CB ======C 为向量,,的夹角，则,-=于是有

,22222•-+=-=（ .21222）（c b a b a -+=• 又因为C S sin ||||21=，cos C = 所以C S 2222sin ||||41= ）（C b a 222cos 1||||41-=）（222(1||||41-= ])(|||[|4

1222•-=

于是就有S = 将上述,||,||b a ==代入即上面的一种证明方法一样，下面就不在重复证明了。

在这里还要强调上面得到的S =用向量表示，在向量深入学习后，就会发现高中教材无形中就体现大学里的向量知识—外积，即 2222)(||||)(b a b a b a •-=⨯，从而还有||21

S ⨯=.

对于向量这个将几何和代数结合的数学工具，现在高中教学中正在不断重视它，希望这里的一个证明可以给大家提供一点关于向量工具的应用。

C

A

B A