中考数学专题复习存在性问题

中考数学专题复习——存在性问题

一、二次函数中相似三角形的存在性问题

1.如图，把抛物线2

=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2

y x

=-+.

y x h k

()

所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.

（1）写出h k

、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；

（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

2.如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；

（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，

使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

二、二次函数中面积的存在性问题

3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线k

y x

=

相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2）， 点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，写出点D 的坐标； 若不存在，说明理由．

4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，

A （－2,0），

B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分）

（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分）

(4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，说明理由。

三、二次函数中直角三角形的存在性问题

5.如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4， 抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．

（1）求b ,c 的值；

（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，

当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；

（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；

②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.

四、二次函数中等腰三角形的存在性问题

6.如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标； 若不存在，请说明理由.

26题备用图

26题图

五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题

7．如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-2

1，0)、B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ； (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；

(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点

为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

六、二次函数中菱形的存在性问题

8．如图，抛物线经过原点O 和x 轴上一点A （4，0），抛物线顶点为E ，它的对称轴与x 轴交于点D ． 直线y=﹣2x ﹣1经过抛物线上一点B （﹣2，m ）且与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴交于点F ． （1）求m 的值及该抛物线对应的解析式；

（2）P （x ，y ）是抛物线上的一点，若S △ADP =S △ADC ，求出所有符合条件的点P 的坐标；

（3）点Q 是平面内任意一点，点M 从点F 出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M 的运动时间为t 秒，是否能使以Q 、A 、E 、M 四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M 的运动时间t 的值；若不能，请说明理由．

七、二次函数中与圆有关存在性问题

9.已知：抛物线y x m x m =+--+21264()与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）()x x x x 12

1

2

0<<，， 它的对称轴交x 轴于点N （x 3，0），若A ，B 两点距离不大于6， （1）求m 的取值范围；（2）当AB=5时，求抛物线的解析式；

（3）试判断，是否存在m 的值，使过点A 和点N 能作圆与y 轴切于点（0，1），

或过点B 和点N 能作圆与y 轴切于点（0，1），若存在找出满足条件的m 的值，若不存在试说明理由

定值问题：

1.如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．

（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE=CF ；

（2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？ 如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．