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课时跟踪检测(四十九)空间向量的应用

(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)

第Ⅰ卷：夯基保分卷

1．(2013·模拟)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，侧面BCC1B1⊥底

面ABC.

(1)若M，N分别是AB，A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1；

(2)若三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC

所成的角为60°，问在线段A1C1上是否存在一点P，使得平面B1CP⊥平面ACC1A1？若存在，求C1P与P A1的比值，若不存在，说明理由．

2．(2014·联考)如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB

∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝

2，EF＝1.

(1)求证：平面DAF⊥平面CBF；

(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小；

(3)当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？

3．(2014·质检)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，

BE∥CF，BC⊥CF，AD＝3，EF＝2，BE＝3，CF＝4.

(1)求证：EF⊥平面DCE；

(2)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°.

第Ⅱ卷：提能增分卷

1．(2013·荆州模拟)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝35，AD＝6，BD是对角线，过点A作AE⊥BD，垂足为O，交CD于E，以AE为折痕将△ADE向上折起，使点D到点P 的位置，且PB＝41.

(1)求证：PO⊥平面ABCE；

(2)求二面角E-AP-B的余弦值．

2．(2014·模拟)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，

侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.M

是棱SB的中点．

(1)求证：AM∥平面SCD；

(2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值；

(3)设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sin θ的最大值．

3．(2014·西城二模)如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ＝2BC ，EA ⊥EB .

(1)求证：AB ⊥DE ；

(2)求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；

(3)线段EA 上是否存在点F ，使EC ∥平面FBD ？若存在，求出EF

EA ；若不存在，请说明

理由．

答 案

第Ⅰ卷：夯基保分卷

1．解：(1)证明：连接AC 1，BC 1，则AC 1∩A 1C ＝N ，AN ＝NC 1， 因为AM ＝MB ， 所以MN ∥BC 1. 又BC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以MN ∥平面BCC 1B 1.

(2)作B 1O ⊥BC 于O 点，连接AO ， 因为平面BCC 1B 1⊥底面ABC ， 所以B 1O ⊥平面ABC ，

以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，3，0)，B (－1，0,0)，C (1,0,0)，

B 1(0,0，3)．

由1AA ＝1CC ＝1BB ，可求出

A 1(1，3，3)，C 1(2,0，3)， 设点P (x ，y ，z )，11A C ＝λ1A P . 则P ⎝⎛⎭⎫1λ＋1，3－3

λ，3，

CP ＝⎝⎛⎭

⎫1λ，3－3

λ，3，

1CB ＝(－1,0，3)．

设平面B 1CP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，

由⎩⎪⎨⎪⎧

n 1·CP ＝0n 1·

1CB ＝0，

令z 1＝1，解得n 1＝⎝

⎛⎭⎪⎫

3，1＋λ1－λ，1. 同理可求出平面ACC 1A 1的法向量n 2＝(3，1，－1)．

由平面B 1CP ⊥平面ACC 1A 1，得n 1·n 2＝0，即3＋1＋λ

1－λ－1＝0，解得λ＝3，所以A 1C 1

＝3A 1P ，从而C 1P ∶P A 1＝2.

2．解：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ， CB ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， ∴CB ⊥平面ABEF ，

∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB ， 又AB 为圆O 的直径， ∴AF ⊥BF ，又BF ∩CB ＝B ， ∴AF ⊥平面CBF .

∵AF ⊂平面ADF ，∴平面DAF ⊥平面CBF . (2)由(1)知AF ⊥平面CBF ， ∴FB 为AB 在平面CBF 的射影，

因此，∠ABF 为直线AB 与平面CBF 所成的角．

∵AB ∥EF ，∴四边形ABEF 为等腰梯形， 过点F 作FH ⊥AB ，交AB 于H .

已知AB ＝2，EF ＝1，则AH ＝AB －EF 2＝1

2

.

在Rt △AFB 中，根据射影定理得AF 2＝AH ·AB ，∴AF ＝1， sin ∠ABF ＝AF AB ＝1

2

，∴∠ABF ＝30°.

∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为30°.

(3)设EF 中点为G ，以O 为坐标原点，OA ，OG ，AD 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AD ＝t (t ＞0)，则点D 的坐标为(1,0，t )，C (－1,0，t )，又A (1,0,0)，B (－1,0,0)，F ⎝⎛⎭

⎫12，3

2，0， ∴CD ＝(2,0,0)，FD ＝⎝⎛⎭

⎫12，－3

2，t ，

设平面DCF 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·CD ＝0，n 1·FD ＝0.

即⎩⎪⎨⎪⎧

2x ＝0

x 2－32y ＋tz ＝0

，令z ＝3， 解得x ＝0，y ＝2t ，∴n 1＝(0,2t ，3)．

由(1)可知AF ⊥平面CFB ，取平面CBF 的一个法向量为n 2＝AF ＝⎝⎛⎭⎫－12，3

2，0，

依题意，n 1与n 2的夹角为60°. ∴cos 60°＝n 1·n 2

|n 1|·|n 2|， 即1

2

＝3t 4t 2＋3·1

，解得t ＝

6

4

. 因此，当AD 的长为

6

4

时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60°. 3．解：(1)证明：在△BCE 中，BC ⊥BE ， BC ＝AD ＝3，BE ＝3，∴EC ＝23，