计算行列式的常见方法

5
递推法
a a b c c d d b
例5 计算2n阶行列式
D2n
其中未写出的元素为0.
解 把 D2n 中的第2n行依次与第2n-1行, …第2行
对调(作2n-2次相邻),再把第2n列依次与第2n-1 列,…第2列对调,得
a b c d 0 0 D2 n (1)
2(2 n 2)
D n n! ( xi x j)
n i j 1
n! ( 2 1)( 3 1)( n 1) ( 3 2)( 4 2)( n 2)[n ( n 1)] n! ( n 1)! ( n 2)! 2!1!.
评注 本题所给行列式各行（列）都是某元 素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如 提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行 列式化成范德蒙行列式．
将第1列的( a 1)倍加到第2列，将第1列的 ( a２)倍加到第3列， , 将第1列的( a n )倍加到最 后一列，得
1 0 0 1 x a1 0 n D n 1 ( x a i ) 1 a 2 a1 x a 2 i 1 1 a 2 a1 a 3 a 2
次数自左至右按递升次 序排列，但不是从 变到 0 n 1, 而是由1递升至n.若提取各行的公因子， 则方 幂次数便从0增至n 1，于是得到 1 1 1
1 2 n 1 3 . n
n 1 n 1
1 Dn n! 1 1
2 3 n
2 2 3 n
2
2

上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知
再将第2、、列都减去第 列，得 34 1
1
0
0
0
b ab d b cb , D4 ( a b c d ) c d c ac bc d cd bd ad
按第1行展开，得
ab d b
cb bc. ad
D4 ( a b c d ) d c a c cd bd
i 1 n i 1 n i 1 n
n
a1 a 2 a n x a2 an x an x
Dn1 x ai a2
i 1

x ai a2 a3
提取第一列的公因子，得
a1 a 2 a n x a2 an n D n 1 ( x a i ) 1 a 2 x a n . i 1 1 1 1 a2 a3 x
２
利用范德蒙行列式计算
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
例2
计算
1
1

1
2 n 2 2 2 3 32 3n . Dn
n
n
2
nn
解 D n 中各行元素分别是一个 数的不同方幂, 方幂
1t a11a22a33a44 x 3 , 1t 1234 a11a22a34a43 2 x 3
故 x 的系数为 1.
3
1
0
0 bc ,
d c ad
cd bc ad 按第1行展开，得 ad D４ (a b c d )(a b c d ) bc
(a b c d )(a b c d ) [(a d ) (b c ) ]
2 2
bc ad
４ 例4
用降阶法计算 计算
a
b
c d a b
d c . b a
b a D4 c d d c
解 将 D 4的第2、、行都加到第 行，并从第 行中 34 1 1
提取公因子a b c d，得
1
1
1 1
b a d c , D4 ( a b c d ) c d a b d c b a
中提取公因子a b c d，得
把上面右端行列式第 行加到第 行，再从第 行 2 1 1
D４ (a b c d )( a b c d ) 1 d c cd 1 ac bd 0 bc, ad
再将第2列减去第1列，得 D 4 (a b c d )( a b c d )
0 0 a
a c b d
0 0 b
0
0 c
d
D2 n D2 D2( n 1) (ad bc) D2( n 1) (ad bc) 2 D2( n 2) (ad bc) n 1 D2 =(ad bc)n
思考题
(a b c d )(a b c d ) (a b c d )(a b c d )
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后 按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数 可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接 计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用．

0 0
0 x an
( x a i ) ( x a i ).
i 1 i 1
n
n
评注 本题利用行列式的性质，采用“化零” 的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式． 化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多 的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零 的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数 化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则 应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到 化为三角形行列式之目的．
x
已知
1
1
2
1 f x 3 1
3
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
思考题解答
解 含 x 3 的项有两项,即
x 1 f x 3 1
对应于
t
1
1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
1 a11a22a33a44 1t 1234 a11a22a34a43
计算行列式的常见方法
１ 例1 用定义计算 用行列式定义计算
0 a12 a 21 a 22 D5 a 31 a 32 0 a 42 0 a 52 a13 a 23 a 33 a 43 a 53 0 0 a 24 a 25 a 34 a 35 0 0 0 0
评注 本例是从一般项入手，将行标按标准 顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注 意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般 方法．
３ 例3
用化上(下)三角形行列式计算 计算
x
a1
a2
a1 x a 2 D n 1 a1 a 2 x a 3 a n . a1 a 2 a 3 a 4 x
a3 an a3 an
解 将第2,3,, n 1列都加到第一列，得
x ai x ai