计算行列式的常见方法

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#线性代数技巧行列式的计算方法

计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。

下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

1．利用行列式定义直接计算例1 计算行列式001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ijD a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i ia a =-，即 0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n nnnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n nn nnn a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a bbbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b bD a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba =+- 100[(1)]00b bb a b a n b a b a b-=+--- 1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

行列式的多种计算方法

例文一：行列式的计算方法介绍7种常用方法1 三角化方法：通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式. 例1 计算n+1阶行列式xa a a a a x a a a a x D nnn32121211=+2 把某一行（列）尽可能化为零例2 计算：yy x x D -+-+=222222222222222243 递归法（数学归纳法）：设法找出D n 和低级行列式间的关系，然后进行递归.例4 证明：βαβαβαβααββααββα--=++++=++1110000010001000n n n D例5 证明范德蒙行列式（n ≥2）∏≤<≤-----==nj i jin nn n n n nn x x x x x x x x x x x x x x V 111312112232221321)(11114 加边法：对行列式D n 添上一适当行和列，构成行列式D n+1，且D n+1=D n 例6 证明：)11(11111111111111111111121321∑=+=++++=ni in nn a a a a a a a a D5 拆分法：将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行（或列）元素均为两项和，则可拆分为两个行列式之和例7 设abcd=1,求证：011111111111122222222=++++ddd d c c c c b b b b a a a a6 利用行列式的乘积：为求一个行列式D 的值，有时可再乘上一个适当的行列式∆；或把D 拆分为两个行列式的积. 例8（1）1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1121332312322113121n n n n n n D αααααααααααααααααααααααα------------=（2）设S k =λ1k +λ2k +⋯+λn k (k =1,2…),求证：∏≤<≤-+-+--=nj i j in n n n n nn s s s s s s s s s s s s s s s n 1222111432321121)(λλ7 利用拉普拉斯定理求行列式的值.拉普拉斯定理是行列式按某一行（或列）展开定理的推广.定义(1) 在n 阶行列式D 中，任取k 行k 列(1≤k ≤n),位于这k 行k 列交叉处的k 2个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式S ，称为D 的一个k 阶子式.如：D=3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261在一个n 阶行列式中，任取k 行，由此产生的k 阶子式有C kn 个.(2) 设S 为D 的一个k 阶子式，划去S 所在的k 行k 列，余下的元素按原来的相对位置组成的n-k 阶行列式M 称为S 的余子式.又设S 的各行位于D 中的第i 1,i 2…i k 行，S 的各列位于D 中的第j 1,j 2…j k 列，称A=(-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)M.如：3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261M=3517为S 的2阶子式 M=（-1）（1+3）+（1+3）3517为S 的代数余子式.拉普拉斯定理:若在行列式D 中任取k 行 (1≤k ≤n-1)，则由这k 行所对应的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积等于D. 例9 计算2112100012100012100012=D 例10 块三角行列式的计算设：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A *0或 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A 0* 则：detA=(detB)(detC).特别地：若A=diag(A 1,A 2,…,A t ),则DetA=(detA 1)(detA 2)…(detA t ).例11 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D C B A 0，其中0为零阵，B 和D 可逆，求A -1.例12 计算nn b b b a a a D 101000102121=例13 设：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=C B A , BC T =0. 证明：|AA T|=|BB T||CC T |.例文2：行列式的多种计算方法行列式是线性代数的一个重要组成部分，行列式的计算方法多种多样，常见的几种行列式的方法有：定义法、三角化法、降阶法、升阶法、递推法、归纳法、利用范德蒙德行列式法、变换元素法、拆项法、分解乘积法等，可根据行列式选择相应的计算方法，从而减轻计算量.1定义法：n 阶行列式等于所有取自不同列的n 个元素的乘积的代数和．例1：nn n n n D ⨯-=000100002000010解：在n ！项中只有一项1n ),n 3,2(,11342312-=+-a a a a a a nn n n π且不为零 !n )1(n 1n 21)1()1(D 1n 1n 1123121n n ⋅-=⋅-⋅-=-=∴--+-- nn n n a a a a2 三角化法：通过变换将行列式变换成三角行列式，再利用形式求出行列式的值. 2.1特殊行列式n21nn n 21nn n 21nn n 210*00000000*0000000)1(λλλλλλλλλλλλ===⨯⨯⨯下三角行列式上三角行列式对角行列式n212)1(nn n 21nn n 21nn n n 21)1(000000000000000)2(λλλλλλλλλλλλλ-⨯⨯⨯-===n n 次下三角行列式次上三角行列式次对角行列式2.2 箭形行列式例2 nn n n D ⨯=001030100211111解：)11(!0000300002011111221,3,21∑∑==⨯=-=-=-nj nn nj C jC nj njn n j D j2.3 可化为箭形的行列式∏∑∏∑=∏===+===⨯--+=---+⨯------=------==≠=n 1i i i n1k 222n1k i iC C n,2j n 333222111n1i i i n 1133112211321r -r n 2,i n 321321321321)x ()1(10101)(x101-0101-0011-)(x x 00x 0x 0x 00x x x D :,,2,1,j11i a a x a a x a a x a a x a a a x a a x a a x a a x x a a a a a a a a a a ni a x x a a a a x a a a a x a a a a x D k k kkk n kk knn n n i i nn nn n n n解3 降阶法降阶法是利用行列式按其行（列）展开的性质，将高阶行列式转化为低阶行列式进行计算)!1()1(21)1(00000000000)1(00000000000000000000004111+-=-++-+=-++=n b a ba b b b b ab a a b a a a b b a b a b a D n n n n n按第一列展开例4 升阶法将原行列式增加一行一列，而保持原行列式值不变或与原行列式有某种巧妙的关系，且便于后面的计算)()1(00000001c c c c 010010011r r r r ,r r 00011n nax 112ax 11nn 1n 1312==-⋅-+=---+++---------=≠=-⨯---⨯n n nn ax a n n D a x a x ax naa x a x a x a a aa x a x a x a a a xa a a x aa a x aa a D a x xaa a a x a a a a x a a a a x D 时当时当5 递推法：利用行列式的性质，找出所求行列式与其相应的n-1,n ，2-阶行列式之间的递推关系，再根据次递推关系式求出所给行列式的值:,)()(:,)()(0000000)(000000000611111得由此递推下去得递推公式由此例----⨯-⨯⨯⨯⨯-+-=-+-=---+-=+-=+-+++==n n n n n nn n n n nn nn nn n a x a D a x D a x a D a x a aa x a a x a a x D a x a a a a a x a a a a x a a a a x a x a a a x a a a x a a a x a a x a a a x aa a x a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x D])1([)()()1()()(])())[((1111122a n x a x a x a n D a x a x a a x a D a x a x D n n n n n n n -+-=--+-=-+-+--=------6数学归纳法：先利用不完全归纳法寻找行列式之间的规律，得出一般性结论，再用数学归纳法证明其正确性，从而得出所给行列式的值)1(1n .)1)(11()11(1111)11(101111111111117111211121212121211112121∑∑∑-=--==+=-≥+=+⋅=++=+=+=≠+++=n i in n ni in n i in nn a a a a a D n a a a a D a a a a a D a a a D a a a a a a D的情形猜测正确，即设对假确的下面证明这一猜测是正于是可猜测解其中例1121121212111110000000011111111111111111111---+=+=+++++=n n n n n nn D a a a a D a a a a a a a a D于是又归纳假设得：)11()11(12111121121∑∑=-=--+=++=ni in n i i n n n n a a a a a a a a a a a a D故对一切自然数n 猜得正确，即1),11(121≥+=∑=n a a a a D ni in n7 利用范德蒙行列式的结果计算：是将原行列式利用性质化成范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算出原行列式例8nnn n nn nn n n n n x x x x x x x x x x x x D32122322213211111----=n 阶范德蒙行列式为∏≤<≤-----=nj i i jn nn n n nna aa a a a a a a a a a a a 111312112232221321)(1111解构造n+1阶范德蒙行列式=)(x f 1,11,11,221,21,1)1()1(123211213231222112132111111+++-+--+++⨯+----------+++=n n n n n n n n n n n n n n n n nnn n nn n n nn n n n n n n A x A x A x xA A x x xx x x x x x xx xx xx xx x x x∏≤<≤-⋅---=ni j j in x xx x x x x x 121)()())((1,1,++-==n n n n n A M D 由f(x)的表达式知，1-n x 的系数为∏∏≤<≤≤<≤+-+++=∴-+++-=ni j j in n ni j j in n n x xx x x D x xx x x A 1211211,)()()()(8 拆项法：当行列式中的元素有两数相加时将原行列式拆成n 个简单的行列式加以计算例9 设nnn na a a a D1111=nnn n n nn n n n x a x a x a x a x a x a D ++++++=221122221211212111解n nn n n nn n n n x a x a a x a x a a x a x a a D ++++++=221222221121211nnn n nn n n x a x a x x a x a x x a x a x +++++++2212222112121∑=+++++++=ni i nnn n n nn n n A x x a x a a x a x a a x a x a a 111221222221121211∑∑∑∑====+=+++==ni ij nj j ni i ni in n A x D A x A x D 1111119 变换元素法：变换所给行列式中元素的形式，再利用已知行列式的结果，最终得到所求行列式的结果例10211121112a a aa a a D n ------=解令a x -=1，由（拆项法例题结果）知∑∑==-++++=-++-+-+-+-++-+-+-+-++=ni nj ijn A a aa a a a aaa a a a a a a a D 11)1(10010001111010101110101011因为)]1()1[()1(0)1(11n a n a D j i j i a A n n n ij -+++=∴≠= ⎝⎛-=-- 10 分解乘积法：根据所给行列式的特点利用行列式的乘法公式，把所给行列式分解成两个易求解的行列式之积，通过对这两个行列式的计算，从而得到所给行列式之值例11nn nn n n n nn b a b a b a b a b a b a D ⨯++++++=212221212111解213))((0000001111001001001001122111321321==≥⎪⎩⎪⎨⎧--+=⋅=n n n b b a a b a b b b b a a a a D nn n例题。

线性代数行列式计算方法总结

线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学的一个重要分支，而行列式是线性代数中的一个重要概念。

行列式计算方法是线性代数的基础知识，掌握好行列式的计算方法对于深入理解线性代数具有重要的意义。

本文将对线性代数中行列式的计算方法进行总结，希望能够帮助读者更好地掌握这一知识点。

1. 行列式的定义。

在开始介绍行列式的计算方法之前，我们先来回顾一下行列式的定义。

对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|，定义为：|A| = Σ(−1)^σP1,1 P2,2 ... Pn,n。

其中，σ是1到n的一个排列，P1,1 P2,2 ... Pn,n是这个排列的乘积，Σ表示对所有可能的排列求和。

2. 行列式的计算方法。

接下来，我们将介绍几种常见的行列式计算方法。

2.1 余子式法。

余子式法是计算行列式的一种常用方法。

对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过递归的方式计算得到。

具体步骤如下：对于n阶方阵A，选择第i行（或第j列）展开，得到A的余子式Mij；计算Mij的行列式|Aij|，其中Aij是Mij的转置矩阵；根据公式|A| = ai1 |A1| + ai2 |A2| + ... + ain |An|，计算得到行列式|A|。

2.2 克拉默法则。

克拉默法则是一种用于求解n元线性方程组的方法，它也可以用来计算行列式。

对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过克拉默法则计算得到。

具体步骤如下：对于n元线性方程组Ax = b，其中A是系数矩阵，x是未知数向量，b是常数向量，如果A是非奇异矩阵（即|A| ≠ 0），则方程组有唯一解；解出方程组的每个未知数，可以得到方程组的解向量x；根据克拉默法则，方程组的解向量x的每个分量可以表示为xj = |Aj| / |A|，其中Aj是将系数矩阵A的第j列替换为常数向量b得到的矩阵的行列式。

2.3 对角线法则。

对角线法则是一种简单直观的计算行列式的方法。

对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过对角线法则计算得到。

行列式的几种计算方法

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，是一种用于描述矩阵特征的数学工具。

在数学和工程领域中，行列式的计算是非常重要的，它与矩阵的性质及相关运算具有密切的关系。

本文将介绍关于行列式的几种计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用行列式。

一、行列式的定义在了解行列式的计算方法之前，我们首先来了解行列式的定义。

行列式是一个用方括号表示的数学量，它是一个矩阵所代表的线性变换对“面积”或“体积”的伸缩因子。

对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其中n表示方阵的阶数。

行列式的计算方法有很多种，下面我们将介绍其中的几种常见方法。

二、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种常见的行列式计算方法。

在使用拉普拉斯展开法计算行列式时，首先需要选择一个行或列，然后将行列式展开成以该行或列元素为首元素的一系列代数余子式的和。

具体步骤如下：1. 选择一个行或列，我们以第一行为例；2. 对第一行的每个元素，计算它的代数余子式，代数余子式的计算方法是去掉对应行和列的元素后计算得到的行列式；3. 计算每个元素的代数余子式，然后与对应元素相乘再相加，得到最终的行列式值。

对于一个3阶矩阵A```a b cd e fg h i```使用拉普拉斯展开法，选择第一行进行展开，计算行列式的方法如下：```det(A) = a*det(A11) - b*det(A12) + c*det(A13)```其中A11、A12、A13分别为：A11 =```e fh i```A12 =```d fg i```A13 =```d eg h```通过计算A11、A12、A13的行列式值，再按照上述公式计算，即可得到矩阵A的行列式值。

三、性质法行列式的性质法是一种简单而有效的计算方法，它是通过一些行列式的基本性质来简化和计算行列式的值。

行列式的基本性质包括以下几条：1. 对调行或列，行列式变号；2. 行或列成比例，行列式为0；3. 行列式中有两行、两列相同，行列式为0；4. 两行或两列互换，行列式变号；5. 行列式中某一行或列乘以一个数，等于这个数与行列式的乘积。

行列式的几种计算方法7篇

行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。

下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。

一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。

以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。

但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。

二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。

计算行列式的方法总结

计算行列式的方法总结行列式（Determinant）是线性代数中的一个重要概念，它是一个与方阵相关的数值。

计算行列式可以帮助我们解决线性方程组、求解特征值等问题。

在数学和工程领域中，行列式经常被使用到。

本文将对计算行列式的几种常见方法进行总结和介绍。

1. 定义首先，我们需要了解行列式的定义。

对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|或det(A)。

行列式的值是根据方阵的元素通过一定的规则计算而得，可以表示为：|A| = a11 * a22 * ... * ann + a12*a23*...*ann*a21 + ... + ann*a1n*a2n*...*an-1n- a1n*a22*...*an-1n*a21 - ... - ann*a1n*a2n*...*a(n-1)(n-1)其中，a(ij)表示方阵A的第i行第j列的元素。

2. 公式法公式法是计算行列式的常见方法之一，它适用于二阶和三阶方阵。

对于二阶方阵A，其行列式计算公式为：|A| = a11*a22 - a12*a21对于三阶方阵A，其行列式计算公式为：|A| = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33通过这些行列式的公式，我们可以方便地计算二阶和三阶方阵的行列式。

3. 初等行变换初等行变换是通过对行进行一系列操作来变换方阵的形式从而简化行列式的计算。

我们常用的初等行变换操作有三种：交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的倍数。

例如，对于一个三阶方阵A，如果我们想计算其行列式但是发现有一个行是0，那么我们可以通过交换两行的操作，将该行移到最后一行。

这样，原方阵的行列式就等于新方阵的行列式。

同时，通过某一行乘以非零常数和某一行加上另一行的倍数的操作，可以将方阵变为上三角阵或下三角阵，进一步简化行列式的计算。

4. 拆线法拆线法是计算高阶方阵的行列式常用的方法，对于n阶方阵，其行列式可以通过n-1阶方阵的行列式来计算。

行列式的计算方法(常见)ppt

01
02
03
正确理解行列式的正负号规则，行列式中元素的排列顺序会影响符号
。
注意行列式中行和列的交换对符号的影响，行和列的交换会导致行列
式的符号发生变化。
正确处理行列式中元素的正负号，避免因为符号错误导致计算结果错
误。
理解行列式的几何意义
行列式可以表示一个n维向量的线性变换，理解这一几何意义有助于更好地理解行列式的计算方法。
征向量。
在求解过程中，行列式用于判断特征值是否存在，以及计算特
03
征值和特征向量的数值。
04
行列式计算的注意事项
避免计算错误
01 仔细核对行列式的元素，确保没有遗漏或错误。 02 使用行列式计算法则时，要确保每一步都符合规
则，避免出现计算错误。
03 多次检查计算过程，确保每一步都正确无误。
注意行列式的符号问题
通过几何意义可以直观地理解行列式的值，以及行列式在几何空间中的作用。
理解行列式的几何意义有助于更好地理解行列式在解决实际问题中的应用，例如线性方程组求解、向量空间等。
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THANKS
在矩阵计算中的应用
行列式在矩阵计算中主要用于计算矩阵的逆、行列式、转置等。
行列式在矩阵的初等变换中也有应用，例如通过行列式值不变的特性，可以判断矩阵是否可以通过初等行变换或初等列变换化为单位矩阵。
在特征值和特征向量计算中的应用
01
行列式在特征值和特征向量的计算中起到关键作用。
02
通过行列式与特征多项式的计算，可以求出矩阵的特征值和特
计算方法
根据行列式的性质和已知的行列式值，推导出更高阶行列式的递推关系式，然后逐步计算出高阶行列式的值。

线性代数行列式计算方法总结

线性代数行列式计算方法总结1. 引言行列式是线性代数中的重要概念，用于描述线性方程组的性质以及向量空间的基本性质。

在实际应用中，行列式计算是非常常见的操作。

本文将总结常用的线性代数行列式计算方法，并通过具体的例子进行说明。

2. 行列式的定义行列式是一个将矩阵映射为一个标量的函数。

设A为一个n阶方阵，则其行列式记作|A|，它由元素a_ij组成的n×n矩阵所决定。

行列式的计算方法有多种，下面将介绍其中几种常用的方法。

3. 基本行列变换法基本行列变换法是求解行列式值的一种常见方法。

它包括以下三种基本行列变换：3.1 行交换行交换是将两行互换位置的操作。

当行交换次数为偶数次时，行列式的值保持不变；当行交换次数为奇数次时，行列式的值取负。

例如，对于一个3×3矩阵 A：A = [a b c][d e f][g h i]如果我们交换第一行和第三行，得到矩阵 B：B = [g h i][d e f][a b c]则有 |A| = -|B|。

3.2 行倍加行倍加是将某一行乘以一个非零常数，并加到另一行上去的操作。

行倍加不改变行列式的值。

例如，对于一个3×3矩阵 A：A = [a b c][d e f][g h i]如果我们将第一行的2倍加到第二行上，得到矩阵 C：C = [a b c][2a+e 2b+f 2c+f][g h i]则有 |A| = |C|。

3.3 行倍乘行倍乘是将某一行乘以一个非零常数的操作。

行倍乘改变行列式的值。

例如，对于一个3×3矩阵 A：A = [a b c][d e f][g h i]如果我们将第三行乘以2，得到矩阵 D：D = [a b c][d e f][2g 2h 2i]则有 |A| = 2|D|。

4. Laplace展开法Laplace展开法是求解行列式值的另一种常用方法。

它基于以下原理：设A是一个n阶方阵，将A的第i行第j列的元素记为a_ij，则A的行列式可展开为a_ij 与其余元素构成的n-1阶矩阵的行列式的代数余子式之和。

计算行列式的方法

计算行列式的方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论和线性方程组的求解中起着至关重要的作用。

在实际应用中，我们经常需要计算行列式的值，因此掌握计算行列式的方法对于理解线性代数和解决实际问题至关重要。

本文将介绍几种常用的计算行列式的方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用行列式的概念。

首先，我们来介绍行列式的定义。

对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|，它是一个数值，可以通过一定的方法来计算。

行列式的计算方法有很多种，其中最常用的包括代数余子式法、拉普拉斯展开法和特征值法。

下面我们将分别介绍这三种方法的具体步骤。

首先是代数余子式法。

对于一个n阶方阵A，其行列式的计算公式为：|A| = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。

其中a11, a12, ..., a1n为矩阵A的元素，A11, A12, ...,A1n为对应元素的代数余子式。

代数余子式的计算方法是，对于矩阵A的每个元素aij，去掉第i行和第j列后得到的n-1阶子矩阵的行列式记作Mij，那么元素aij的代数余子式Aij就等于(-1)^(i+j)Mij。

最后，将每个元素的代数余子式与对应的元素相乘，再相加起来，就得到了行列式的值。

其次是拉普拉斯展开法。

这种方法适用于任意阶的方阵，其计算步骤是，选择矩阵A的任意一行（或一列），将该行（或列）的每个元素与其对应的代数余子式相乘，再按照正负号交替相加，最终得到行列式的值。

这种方法的优点是可以通过逐步简化矩阵来减少计算量，但是在高阶矩阵上计算比较复杂。

最后是特征值法。

对于一个n阶方阵A，如果能够求出其n个特征值λ1, λ2, ..., λn，那么矩阵A的行列式就等于其特征值的乘积，即|A| = λ1 λ2 ... λn。

这种方法的优点是可以通过特征值分解来简化矩阵的计算，适用于特征值已知的情况。

除了以上介绍的三种方法外，还有其他一些计算行列式的方法，如三角化法、对角化法等。

行列式计算方法

行列式计算方法1. 利用行列式的定义直接计算：适用于行列式中零比较多的情形．2. 化行列式为三角形行列式——初等变换法1）保留某行（列）不动，将其它的行（列）分别乘上常数加到这一行（列）上。

2）将某行（列）的倍数分别加到其它各行（列） 3）逐行（列）相加4）加边法——在原行列式的边上增加一行一列，使行列式级数增加1，但值不变。

例1 计算行列式121212nn n n a m a a a a m a D a a a m++=+3. 利用行列式展开定理。

适用于某行（列）有较多零的行列式．4. 其他方法（一）析因子法——利用多项式的性质例：计算221123122323152319x D x −=−解：由行列式定义知D 为x 的4次多项式．又，当1x =±时，1，2行相同，有0D =，1x ∴=±为D 的根．当2x =±时，3，4行相同，有0,2D x =∴=±为D 的根．故D 有4个一次因式，1,1,2,2x x x x +−+− 设 (1)(1)(2)(2),D a x x x x =+−+− 令0,x =则 112312231223152319D ==−，即，1(1)2(2)12.a ⋅⋅−⋅⋅−=− 3.a ∴=−3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=−+−+−（二）箭形行列式012111220000,0,1,2,3.00n n i n na b b b c a D c a a i n c a +=≠=解：把所有的第1i +列(1,2)i n = 的iic a −倍加到第1列，得：11201()ni in n i ib c D a a a a a +==−∑可转为箭形行列式的行列式：121111111)111na a a +++122)n a x x xa xx x a（第2至第n 行分别减去第1行，转为箭形行列式）（三）所有行（列）对应元素相加后相等的行列式()(1)1(1)11)(1)(1)1a b b a n b b b b bb a b a n b a b a ba nb b b a a n b b a b a+−+−==+−+−()111(1,2)00()(1)00i n b br r i n a b a b a n b a b −−=−=−+−−121231123123411341(1)2)211321132122211221nn n n n n n n n c c c n n n n n n n n n n n n −−++++−−−−−−−−−112211231*********(1)(1)11112201111111101111n n n n r r r r r r n nnnn n n n n n n n −−−−−−−−−++=−−−−11111(2,31)00(1)200i nr r i n n n n n n n −−=−−+−11211100(1)2n n nn n c c c n n−−++++−()(2)(1)3211(1)122(1)(1)(1)(1)(1)(1)()22n n n n n n nn nn n n n n n n τ−−+−+−−−−++=−−=−−−−(2)(#)(1)112122(1)(1)(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n −−−−−++=−−=−．（四）加边法（适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同，可转为箭形行列式的行列式——加边法是计算复杂行列式的方法，应多加体会）1）1121221212,0nnnn n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++≠+2）121212121200,00nn n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a ++++≠++解：1)12112122121100n n n n n nn a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++121121100(2,31)100100n i na a ab r r i n b b −−=+−−111211111(1).00(1,21)00ni ni ini n i i iina a ab ab b b bc b c i n b b =+=+=+++∑∑ 2)21121211111222122121111010(2,31)100100n n ni nn nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a r r i n D a a a a a a a a a a a a a a ++++−−−=+−−++−−++121211111122222212210000111101011120011020(3,42)112n n i nnnnnnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a c c i n a a a a a a ++−−−−−−−=−−−−−=+−−−−12(3,42)1(1,2)2i j jc c i n c c j n a +=+−= 11211211111122112200200000200002n i i ni ni n n a n a a a a a a a ==−−−−−−−−∑∑122112,1111122(2)(2)[(2)]1122n ni i nn in n ni j ji i n a a a a a a a n a n a =−==−=−=−−−−∑∑∑（五）三角型行列式——递推公式法1）95004950049000950049n D =解：1112150049594920,549nn n n n c D D D D −−−−−=−按展开即有 11254(5)n n n n D D D D −−−−=−,or 11245(4)n n n n D D D D −−−−=−于是有 2221232154(5)4(5)4n n n n n n D D D D D D −−−−−−=−==−= (6145)4,n −= 同理有 2221232145(4)5(4)5(6136)5n n n n n n n D D D D D D −−−−−−=−==−=−= 即 1111545445n n n n n n nn n D D D D D −++− −= ⇒=− −=（先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线性关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D 的值）00010001002.0000001n a b ab a b ab a b D a b ab a b +++=++）解：21211221c ()()()n nn n n n n n D a b D abD D aD b D aD b D aD −−−−−−+−−=−==− 1按展开同理 211221()().n n n n n D bD a D bD a D bD −−−−−=−==− 而 2221,D a ab b D a b =++=+22221();n n n n D aD b a ab b a ab b −−∴−=++−−=22221().n n n n D bD a a ab b a ab a −−−=++−−= 由以上两式解得11(1)n n n n a b a bD a bn a a b++ −≠=− +=（六）拆项法（主对角线上，下元素相同）121)n na x a a a a x aD aaa x ++=+解：111222110000000000n n n n n x a a x aa a x aa x aa a x a a a x a D x D x a a aa x a aa a−−++++=+=+1211n n n x x x a x D −−+ 11221212323.n n n n n n n D x x x a x D x x x a x D −−−−−−−=+=+ 继续下去，可得111221*********.n n n n n n n n n D x x a x x x ax x x x ax x x ax x x x x D −−−−−=+++++ （21212D ax ax x x =++）121211221323()n n n n n n x x x a x x x x x x x x x x x x x −−+++++1212110(1)nn n n i ix x x D x x x a x =≠=+∑当时, 1）也可以用加边法做：1111010010n n naaa a a x ax D a a x x +−==+−，111101,2,000ni ii nna aa x x i n D x x =+≠==∑当时, 2）n a b b b c a bb Dc c ab cc ca=解：1101()011n n nc bb b ac b b bb b b ca b ba b b a b bD c a c D ccab c a b cab c c c a c c ac c a −−=+=+−11000()000n nb b b a bc a c D c b a b c bc b a b −−+−−−−−− 11()()n n c a b a c D −−−+− ① 000n b b b b a b c a b b c a b bD c c a b c c a bc c c a c c c a−=+ 又11111()n c a b bb a b Dc c a b c c c a−+− 11()()n n b a c a b D −−−+− ②a b a c ×−×−①（）-②()，得 ()()n n n c b D c a b b a c −=−−−()．1[()()]/[(1)]()n n n n n c b D c a b b a c c b c b D a n b a b −≠=−−−−==+−−当时，当时，（七）数学归纳法（第一数学归纳法，第二数学归纳法）1）（用数学归纳法）证明：12121111111(1)111n n i na a D a a a a a ++==++∑证：当1n =时，111111(1)D a a a =+=+，结论成立．假设n k =时结论成立，即1211(1)kk n i iD a a a a ==+∑ ，对1n k =+，将1k D +按最后一列拆开，得112211111011111110111101111011111111111111k k k k a a a a D a a a +++++++++1211101100111011111k k k a a a D a ++ 121k k k a a a a D ++121121211111(1)(1)kkk k k k i i i ia a a a a a a a a a a a ++==+⋅+=+∑∑所以1n k =+时结论成立，故原命题得证．2）证明：cos 10012cos cos 2cos 112cos n D n ααααα=证： 1n =时，1cos .D α=，结论成立．假设n k ≤时，结论成立．当1n k =+时，1k D +按第1k +行展开得111cos 10012cos 2cos (1)2cos 2cos 112cos k kk k k k D D D D αααααα+++−=+−=−由归纳假设12cos cos cos(1)2cos cos cos k D k k k k αααααα+=−−=−2cos cos cos cos sin sin k k k αααααβ=−+ cos cos sin sin k k αααβ+cos(1)k α+于是1n k =+时结论亦成立，原命题得证．（八）范德蒙行列式1）12222122221212111nnn n n n nnn nnx x x x x x D x x x x x x −−−=解：考察1n +阶范德蒙行列式12222212121111112121111()()()()()n n n i j j i nn n n n nnn nnnx x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤−−−−==−−−−∏显然D 就是行列式()f x 中元素1n x −的余子式.1n n M +，即,1,1n n n n n D M A ++==− （,1n n A +为代数余子式）又由()f x 的表达式（及根与系数的关系）知，()f x 中1n x −的系数为121()().n i j j i nx x x x x ≤<≤−+++−∏即， ,1121()()n n n i j j i nA x x x x x +≤<≤=−+++−∏121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤∴=+++−∏2）2221212111nn n n nnx x x D x x x =解：考虑1n +级范德蒙行列式 12222212111112121111()n n n n n n n n n nn n x x x xx x x x g x x x x x x x x x −−−−=121()()()()n i j j i nx x x x x x x x ≤<≤=−−−−∏ 显然n D 就是行列式()g x 中元素的余子式2,1n M +，即32,12,1(1)n n n n D M A +++−，由()f x 的表达式知，x 的系数为23121211()()n n n i j j i nx x x x x x x x x x x −≤<≤−+++−∏即2,123121211()()()n n n n i j j i nA f x x x x x x x x x x x x x +−≤<≤−++++−∏2312121(1)()()n n n n n i j j i nD x x x x x x x x x x x ≤<≤∴=−+++−∏。

行列式的几种计算方法

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，它是一个方阵所具有的一个标量值。

计算行列式的过程中，可以使用几种不同的方法。

一种常见的计算行列式的方法是拉普拉斯展开法。

该方法通过选择一个行或列，将原始矩阵划分为较小的子矩阵，并依次计算这些子矩阵的行列式，然后将它们乘以适当的符号和系数进行求和。

该方法可以分为横向展开和纵向展开两种方式。

对于一个3阶矩阵，横向展开可以选择第一行进行展开，计算公式为：detA = a11 * det(A11) - a12 * det(A12) + a13 * det(A13)其中det(A11)、det(A12)和det(A13)分别表示A11、A12和A13的行列式，也是较小子矩阵的行列式。

另一种常见的计算行列式的方法是行变换。

行变换可以通过对矩阵进行一系列的操作来简化计算。

常见的行变换包括交换两行、将某一行乘以一个非零常数、将某一行的倍数加到另一行上。

通过行变换可以将矩阵转换为上三角矩阵，从而简化计算行列式的过程。

对于一个n阶矩阵，行变换的过程可以表示为：其中s表示进行了多少次行交换。

还可以使用行列式的性质和定义来计算行列式。

行列式的定义是一个递归的过程，对于一个2阶矩阵，它的行列式公式为：对于一个n阶矩阵，可以使用行列式的性质，如行列式的相加性和相差性、行列式的倍数以及行列式的性质和定义来计算行列式。

这种方法适用于较小的矩阵，对于较大的矩阵可能计算量较大。

还存在其他一些特殊的方法来计算特定类型的矩阵的行列式，如对称矩阵的特征值法、三对角矩阵的递推法等，这些方法在特定情况下可以更加高效地计算行列式。

计算行列式的方法有拉普拉斯展开法、行变换、行列式的性质和定义，以及特定类型矩阵的特殊方法，根据实际需求选择合适的计算方法可以更加高效地计算行列式。

行列式的计算方法

行列式的计算方法1 引言行列式的计算是《线性代数》和《高等代数》的一个重要内容．同时也是工程应用中具有很高价值的数学工具，本文针对几种常见的类型给出了计算行列式的几种典型的方法．2 一般行列式的计算方法2.1 三角化法利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式，那么，上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积．例 1 计算行列式12311212332125113311231 ------=n n n n n nn n n n D对这个行列式的计算可以用三角化方法将第1行乘以(-1)加到第2,3,n 行，得0001002000200010001231 ---=n n n n D再将其第1,2,1, -n n 列通过相邻两列互换依次调为第n ,,2,1 列，则得102001321)1(2)1(--=-n n D n n=)!1()1(2)1(---n n n2.2 加边法有时为了便于计算行列式，特意把行列式加边升阶进行计算，这种方法称之为升阶法．它的一般方法是：nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D 321333323122322211131211==nnn n n n na a ab a a a b a a a b 212222121121110001(n b b b ,,21任意数)例如下面的例题：例2 计算行列式nn a a a a D ++++=11111111111111111111321现将行列式n D 加边升阶，得na a a D +++=111011101110111121第1行乘以(-1)加到第1,3,2+n 行，得na a a D10001001001111121----=第2列乘以11a 加到第1列，第3列乘以21a 加到第1列，依次下去直到第1+n 列乘以n a 1加到第1列，得)11(00011111121211∑∑==+=+=ni in nni ia a a a a a a a D2.3 降阶法利用按一行(列)展开定理或Laplace 展开定理将n 阶行列式降为阶较小且容易计算的行列式来计算行列式的方法称为降阶法．例 3 计算nD 222232222222221=解首先我们应考虑D 能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以(-2)加到第n ,3,2 行，数字反而复杂了，要使行列式出现更多的“0”，将D 的第一行乘以(-1)加到第第n ,3,2 行，得2001010100012221-=n D这样仍然不是上（下）三角行列式，我们注意到，第二行除了第一项是1，后面的项全是0，这样我们按第二行展开，降阶得到：201222)1(21--=+n D)!2(2--=n2.4 对于所谓二条线的行列式，可直接展开降阶，再利用三角或次三角行列式的结果直接计算. 例4 计算行列式nnn n n a b b a b a b a D 112211--=解按第1列展开，得11221111221)1(--+---+=n n n n nn n n b a b ab b a b a b a a Dn n n b b b a a a 21121)1(+-+=2.5 递推法通过降阶等途径，建立所求n 阶行列式n D 和比它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系，并求得n D 的方法叫递推法．当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用递推法．例 5 计算n 级行列式 2112000002100012100012------=n D 对于形如这样的三角或次三角行列式，按第1行(列)或第n 行(列)展开得到两项的递推关系式，再利用变形递推的技巧求解．解按第1行展开，得210120000012000011)1)(1(2211-------+=+-n n D D212---=n n D D 直接递推不易得到结果，变形得1221121232211=---=-==-=-=------D D D D D D D D n n n n n n于是 1)1(2)1(21121+=-+=-+==+=+=--n n n D D D D n n n例6 计算n 2级行列式nnn n n n nnn d c d c d c b a b a b a D 111111112----=对于形如这样的所谓两条线行列式,可直接展开得到递推公式．解按第1行展开，得)1(1111111121111111112nn n n n nn n n n n nn c d c d c b a b a b d c d c b a b a a D ----+-----+=1111111111111111---------=n n n n nn n n n n nn d c d c b a b a c b d c d c b a b a d a)1(2)(--=n n n n n D c b d a)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D)2(21111))((-------=n n n n n n n n n D c b d a c b d a)())((11111111c b d a c b d a c b d a n n n n n n n n ---=----2.6 连加法例 7 计算mx x x x m x x x x m x D n n n n ---=212121这种行列式的特点是：各行元素之和都相等.先把第2列到第n 列元素同时加到第1列，并提出公因式，得mx x x m x x x m x D n n n ni i n ---=∑=2221111)(然后将第1行乘以(-1)加到第n ,3,2行，得mm x x m x D n ni i n ---=∑=001)(21)()(11m x m ni i n --=∑=-2.7 乘积法根据拉普拉斯定理,所得行列式乘法运算规则如下：nnn nnn n n nn n n c c c c b b b b a a a a 111111111111=⋅ (其中tj ni it ij b a c ∑==1)两个行列式的乘积可以像矩阵的乘法一样来计算,假若两个行列式的阶数不同，只要把它们的阶数化为相同就可以应用上面的公式了．这种方法的关键是寻找有特殊结构的已知行列式去乘原行列式，从而简化原行列式的计算,这也是较为常用的方法．例 8 计算行列式 ab c db a dc cd a bd c b aD =解取行列式 1111111111111111------=H显然 0≠H ,由行列式的乘法规则：=DH ⋅ab c d ba d c c d a bd c b a 1111111111111111------ H d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a ))()()()((+---+--++--++++=等式两边消去,H 得=D ))()()()((d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a +---+--++--++++2.8 对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法．例 9 计算n 阶行列式βαβααββααββα++++=1010001000 n D解按第1行展开，得21)(---+=n n n D D D αββα即 )(211----=-n n n n D D D D αβα由此递推，即得 nn n D D βα=--1因为n D 中αβ与对称，又有 nn n D D αβ=--1当 βα≠ 时，从上两式中消去1-n D ，得 11n n n D αβαβ++-=-当 βα= 时，1-+=n nn D D ββ)(21--++=n n n D ββββ 222-+=n n D ββ11)1(D n n n-+-=ββ )()1(1βαββ++-=-n n nnn β)1(+= 2.9 数学归纳法当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用数学归纳法．例 10 计算n 级行列式ααααcos 2100cos 210001cos 210001cos =n D解当2=n 时，ααcos 211cos 2=D αα2cos 1cos 22=-=结论成立，假设对级数小于n 的行列式结论成立，则n D 按第n 行展开，得21cos 2---=n n n D D D α由假设αααααααsin )1sin(cos )1cos(])1cos[()2cos(2-+-=--=-=-n n n n D n代入前一式，得]sin )1sin(cos )1[cos()1cos(cos 2αααααα-+---=n n n D nαααααn n n cos sin )1sin(cos )1cos(=---=故对一切自然数n ，结论成立．2.10 拆项法这是计算行列式常用的方法．一般地，当行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有规律地表示为两项或多项和的形式，就可以考虑用拆为和的方法来进行计算．例 11 在平面上，以点),(),(),(233332332232222221311211x x x x M x x x x M x x x x M ------，，为顶点的三角形面积D S =，其中11121323233322222321212131x x x x x x x x x x x x D ------= )1()1()1()1()1()1(11121323222121332211------=x x x x x x x x x x x x )1()1()1()1()1()1()1()1()1(21323222121332211332211------+--+--+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x解第1行拆为)1()1()1(11111121111)1)(1)(1(21332211321321232221321321------+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D32112132332121))()()(1)(1)(1(21x x x x x x x x x x x x +-------=232221321111x x x x x x )]1)(1)(1([))()((21321321121323----⋅---=x x x x x x x x x x x x 3 分块矩阵行列式的计算方法我们学习了矩阵的分块，知道一个矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00通过分块若能转化成对角矩阵或上（下）三角矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C A 0，那么行列式B A B C A B A ⋅==000，其中B A ，分别是r s ，阶可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，0是n s ⨯阶矩阵．可以看出，这样可以把r s +阶行列式的计算问题通过矩阵分块转化为较低阶的s 阶和r 阶行列式计算问题，下面先根据上面的途径给出计算公式．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B C D A b b c c b b c c d d a a d d a a G rr r rsr r s sr s ss s r s 1111111111111111其中B A ，分别是s 阶和r 阶的可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，D 是r s ⨯阶矩阵，则有下面公式成立． C DB A B BCD A G 1--⋅==或C DA B A BCD A G 1--⋅==下面推导公式，事实上，当0≠A 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D BCA D A B C D A E CA E 1100 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---B C C DB A B C D A E DB E 0011 上面两式两边同取行列式即可得出上面的公式．例 12 计算 8710650143102101=D这道题的常规解法是将其化为上三角行列式进行计算，若用前面介绍的公式则可以直接得出结果．令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=8765B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001C ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321D 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001'A ，由公式(1) 知原行列式D CA B A BCD A 1--⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=43211001100187651001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=432187651 4444==0这个题还有个特点，那就是C A =，如果我们把公式变形，即D CA B A BCD A 1--⋅=D ACA AB D CA B A 11)(---=-=当C A =时，D ACA AB 1--CD AB D CAA AB -=-=-1，所以当C A =时，我们有CD AB BCD A -=，这样例题就可以直接写出答案了．参考文献:[1] 北京大学数学系，高等代数[M] (第三版)．北京：高等教育出版社，2003，9．[2] 张禾瑞，高等代数[M] (第四版)．北京：高等教育出版社，1997．[3] 丘维生，高等代数[M]．北京:高等教育出版社，1996，12．[4] 杨子胥，高等代数[M]．山东：山东科学技术出版社，2001，9．[5] 王萼芳，高等代数题解[M]．北京：北京大学出版社，1983，10．[6] Gelfand I M, Kapranov M M and Celvinskij A V. Discriminaants, redultants,and multidimensional determinants[M].Mathematics: Theory&Applications,Birkhauser Verlag,1994.[7] 徐仲，陆全等．高等代数导教·导学·导考.西安:：西北工业大学出版社,2004．[8] 陈黎钦．福建：福建商业高等专科学校学报，2007年2月第1期．11。

关于行列式的计算方法

关于行列式的计算方法行列式是线性代数中非常重要的一个概念，它在矩阵和线性方程组的求解中都有广泛的应用。

本文将介绍关于行列式的定义、计算方法及其性质，以及一些常用的行列式计算技巧。

一、行列式的定义行列式是一个方阵（只有行数和列数相等的矩阵才有行列式）所具有的一个确定的数值。

对于一个n阶的方阵，其行列式记作det(A)，其中A 表示矩阵。

行列式的计算方法主要有三种：代数余子式法、按行（列）展开法和逆序数法。

二、代数余子式法对于一个n阶方阵A，它的第i行第j列元素的代数余子式表示为Mij，定义为：将A的第i行和第j列元素划去，然后找出剩余元素所形成的n-1阶方阵的行列式。

即：Mij = det(Aij)其中Aij表示由第i行和第j列元素删去后所得到的(n-1)阶方阵。

根据代数余子式的定义，行列式的计算可以通过以下公式进行求解：det(A) = a11M11 - a12M12 + a13M13 - ... + (-1)^(i+j)aijMij + ...其中a11,a12,a13,...是第一行元素，M11,M12,M13,...是它们对应的代数余子式。

三、按行（列）展开法按行（列）展开法是行列式计算中最常用的一种方法。

对于一个n阶方阵A，选择其中任意一行或者一列，然后按照一定规律展开计算。

以按第一行展开为例，按照以下规律进行展开：det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + ... + a1nC1n其中Cij表示第一行第j列元素aij的余子式，定义为：将A的第一行和第j列元素划去，然后找出剩余元素所形成的(n-1)阶方阵的行列式。

将Cij的计算公式中的行列式再按行（列）展开，可以得到更小阶的余子式，直到降阶为2阶方阵时，余子式的计算直接是两个元素之差。

四、逆序数法逆序数法是行列式计算中的另一种方法。

对于一个n阶方阵A，按照以下步骤进行计算：1.首先，将方阵A展开至最小的单位（1阶方阵）。

计算行列式常用的7种方法

计算行列式常用的7种方法行列式是线性代数中的重要概念，用于描述线性方程组的性质和解的情况。

在计算行列式时，有多种方法可供选择，下面将介绍行列式的常用计算方法。

1.代数余子式展开法代数余子式展开法是计算行列式的最常用方法之一、对于n阶行列式，可以选择其中的任意一行或一列展开。

选择一行展开时，可以使用代数余子式，即将每一元素乘以其代数余子式后再求和。

例如，对于3阶行列式\(\begin{bmatrix}a & b & c\\ d & e & f\\ g & h &i\end{bmatrix}\)选择第一行展开，计算行列式的值为\(aA_{11} - bA_{12} +cA_{13}\)，其中\(A_{ij}\)表示第i行第j列元素的代数余子式。

类似地，可以选择列展开，使用代数余子式计算行列式的值。

2.初等变换法初等变换法是计算行列式的另一种常用方法。

通过一系列的行变换或列变换，将行列式转化为三角形矩阵或对角矩阵。

对于三角形矩阵，行列式的值即为对角线上元素的乘积；对于对角矩阵，行列式的值即为对角线上元素的乘积。

初等变换包括行交换、行缩放和行加减，可以有效地简化行列式的计算过程。

3.拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是计算行列式的一种常用方法，适用于任意阶的行列式。

选择其中的一行或一列展开，将行列式拆解为一系列子行列式的乘积。

每个子行列式的阶数比原行列式小1，可以继续进行递归的计算。

拉普拉斯展开法可以使用代数余子式进行计算，也可以利用构造矩阵的方式计算。

4.三对角矩阵法三对角矩阵法适用于计算特殊形式的行列式，即矩阵中除了对角线和相邻对角线上的元素外，其他元素都为0的情况。

计算三对角矩阵的行列式可以通过逐步化简为二阶或一阶行列式进行计算。

这种方法可以加速计算过程，特别适用于较大阶数的行列式。

5.特殊行列式法对于特殊形式的行列式，例如范德蒙行列式、希尔伯特行列式等，可以利用其特殊性质进行计算。

各种行列式的计算方法

各种行列式的计算方法宝子们，今天咱们来唠唠行列式的计算方法呀。

一、定义法。

这就像是最基础的招式啦。

按照行列式的定义，把所有可能的排列组合算出来。

不过呢，这个方法可有点费时间，就像你要一个一个数小珠子一样，要是行列式的阶数大一点，那可就累得够呛。

比如说二阶行列式，按照定义算起来还比较轻松，就是主对角线元素相乘减去副对角线元素相乘。

但是三阶或者更高阶的，那可就复杂得多喽。

二、三角形行列式法。

这个方法可就比较巧妙啦。

我们想办法把行列式通过行变换或者列变换变成上三角或者下三角行列式。

为啥呢？因为三角形行列式的值就等于主对角线元素的乘积呀，多方便。

就像把一堆乱乱的东西整理得整整齐齐的，然后一下子就能算出结果。

比如说给你一个行列式，你就观察一下，哪行或者哪列加上或者减去其他行或者列的倍数，能让它慢慢变成三角形的样子。

三、按行（列）展开法。

这个方法就像是拆积木一样。

你可以按照行列式的某一行或者某一列展开。

比如说按第一行展开，那这个行列式的值就等于这一行的每个元素乘以它对应的代数余子式然后相加。

代数余子式呢，就像是这个元素的小跟班，有自己的计算方法。

这个方法在行列式里有很多零元素的时候特别好用，就像走捷径一样，直接找那些简单的部分来计算。

四、行列式的性质法。

行列式有好多有趣的性质呢。

比如说两行（列）交换，行列式的值就变成原来的相反数；某一行（列）乘以一个数加到另一行（列），行列式的值不变。

我们就可以利用这些性质，把行列式变得简单一些再去计算。

就像给行列式做个小整容，让它变得更可爱（好计算）。

宝子们，行列式的计算方法就这么些啦，多做做练习，就会发现其实也没有那么难啦。

加油哦！。

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３例3
用化上(下)三角形行列式计算计算
x
a1
a2
a1 x a 2 D n 1 a1 a 2 x a 3 a n . a1 a 2 a 3 a 4 x
a3 an a3 an
解将第2,3,, n 1列都加到第一列，得
x ai x ai
i 1 n i 1 n i 1 n
n
a1 a 2 a n x a2 an x an x
Dn1 x ai a2
i 1

x ai a2 a3
提取第一列的公因子，得
a1 a 2 a n x a2 an n D n 1 ( x a i ) 1 a 2 x a n . i 1 1 1 1 a2 a3 x
将第1列的( a 1)倍加到第2列，将第1列的 ( a２)倍加到第3列， , 将第1列的( a n )倍加到最后一列，得
1 0 0 1 x a1 0 n D n 1 ( x a i ) 1 a 2 a1 x a 2 i 1 1 a 2 a1 a 3 a 2
２
利用范德蒙行列式计算
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
例2
计算
1
1
Hale Waihona Puke 12 n 2 2 2 3 32 3n . Dn
n
n
2
nn
解 D n 中各行元素分别是一个数的不同方幂, 方幂
D n n! ( xi x j)
n i j 1
n! ( 2 1)( 3 1)( n 1) ( 3 2)( 4 2)( n 2)[n ( n 1)] n! ( n 1)! ( n 2)! 2!1!.
评注本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式．

0 0
0 x an
( x a i ) ( x a i ).
i 1 i 1
n
n
评注本题利用行列式的性质，采用“化零” 的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式．化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的．
1
0
0 bc ,
d c ad
cd bc ad 按第1行展开，得 ad D４ (a b c d )(a b c d ) bc
(a b c d )(a b c d ) [(a d ) (b c ) ]
2 2
bc ad
４例4
用降阶法计算计算
a
b
c d a b
d c . b a
b a D4 c d d c
解将 D 4的第2、、行都加到第行，并从第行中 34 1 1
提取公因子a b c d，得
1
1
1 1
b a d c , D4 ( a b c d ) c d a b d c b a
5
递推法
a a b c c d d b
例5 计算2n阶行列式
D2n
其中未写出的元素为0.
解把 D2n 中的第2n行依次与第2n-1行, …第2行
对调(作2n-2次相邻),再把第2n列依次与第2n-1 列,…第2列对调,得
a b c d 0 0 D2 n (1)
2(2 n 2)
(a b c d )(a b c d ) (a b c d )(a b c d )
评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．
0 0 a
a c b d
0 0 b
0
0 c
d
D2 n D2 D2( n 1) (ad bc) D2( n 1) (ad bc) 2 D2( n 2) (ad bc) n 1 D2 =(ad bc)n
思考题
1t a11a22a33a44 x 3 , 1t 1234 a11a22a34a43 2 x 3
故 x 的系数为 1.
3
再将第2、、列都减去第列，得 34 1
1
0
0
0
b ab d b cb , D4 ( a b c d ) c d c ac bc d cd bd ad
按第1行展开，得
ab d b
cb bc. ad
D4 ( a b c d ) d c a c cd bd
次数自左至右按递升次序排列，但不是从变到 0 n 1, 而是由1递升至n.若提取各行的公因子，则方幂次数便从0增至n 1，于是得到 1 1 1
1 2 n 1 3 . n
n 1 n 1
1 Dn n! 1 1
2 3 n
2 2 3 n
2
2

上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知
x
已知
1
1
2
1 f x 3 1
3
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
思考题解答
解含 x 3 的项有两项,即
x 1 f x 3 1
对应于
t
1
1
2
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
1 a11a22a33a44 1t 1234 a11a22a34a43
计算行列式的常见方法
１例1 用定义计算用行列式定义计算
0 a12 a 21 a 22 D5 a 31 a 32 0 a 42 0 a 52 a13 a 23 a 33 a 43 a 53 0 0 a 24 a 25 a 34 a 35 0 0 0 0
评注本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法．
中提取公因子a b c d，得
把上面右端行列式第行加到第行，再从第行 2 1 1
D４ (a b c d )( a b c d ) 1 d c cd 1 ac bd 0 bc, ad
再将第2列减去第1列，得 D 4 (a b c d )( a b c d )