工程流体力学 第四章相似原理及量纲分析

第一节 流动的力学相似
二 运动相似（时间相似）
定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相 等，即它们的速度场（加速度场）相似。
图4-2速度场相似
第一节 流动的力学相似
运动相似的两个流动系统中，对应流体质点位
移对应距离所需的时间间隔成比例：
时间比例尺:
Ct
相似三定理回答了模型试验中必须解决的问 题，归纳如下：
（1）由模型和原形的相似准则数相等，确定模型 系统的特征长度、特征速度，流动介质等。
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（2）模型试验中，应测定各相似准则中所包的 一切物理量，并把它们整理成相似准则。
（3）将实验所得到的各相似准则之间的关系整 理成关系公式（曲线），以便应用到原形 流动中去。
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第一节 流动的力学相似
表征
流动
按性 质分
过程
的物
理量
描述几何形状的
如长度、面积、体积等
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量等
描述动力特征的
如质量力、表面力、动量等
几何
相似 流 应运动动满 足相似相
的 条
动力 似 件
相似
第一节 流动的力学相似
一. 几何相似（空间相似）
定义： 模型和原型的全部对应线形长度的 比值为一定常数 。
t '1 t1
t '2 t2
t '3 t3
（4-4）
速度比例尺:
l'
Cv
v' v
t' l t
Cl Ct
加速度比例尺:
v'
Ca
a' a
t' v
t
Cv Ct
Cv2 Cl
注：长度比例尺和速度比例尺 确定所有运动学量的比例尺。
（4-5） （4-6）
第一节 流动的力学相似
体积流量比例尺:
CqVqq'VV
在对应点上，同名力的方向相同， 大小成比例
图4-3 动力场相似
第一节 流动的力学相似
图4-3 动力场相似
力的比例尺：
CF
Fp' Fp
F't Ft
W' FI' W FI
（4-9）
又由牛顿定律可知：
'l'3 v'
CF
t' l3 vCCl2Cv2
t
（4-10）
其中： C
'
为流体的密度比例尺。
动力相似包括运动相似，而运动相
St相等表示现象的周期性相似，与周期性 有关的非定常流动由St来决定，例如卡门涡街 引起的振动，螺旋桨的性能等等。
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第二节 动力相似准则
以上给出的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉 数、柯西数、马赫数、韦伯数、斯特劳哈尔数均称 为相似准则数。
如果已经有了某种流动的运动微分方程，可由该 方程直接导出有关的相似准则和相似准则数，方法是 令方程中的有关力与惯性力相比。
相似理论 1.相似性第一定理（正定理）
彼此相似的流动现象必定具有数值相同的相似 准则。
2. 相似性第二定理（逆定理）
若流动现象的相似准则在数值上相等，则这 些现象必定相似。
３．相似性第三定理（Π定理）
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结论
1. 两流动现象相似，相似准则相等，其准则方程 式相同。
2. 若将模型流动结果整理成准则方程式，则该方程 式可以应用到原形流动中去。
L' L
l' l
h' h
Cl
（4-1）
以上标“ ＇”表 示模型的有关量
C l :长度比例尺（相似比例常数）
第一节 流动的力学相似
面积比例尺:
CA
A' l'2 A l2
Cl2
（4-2）
体积比例尺:
CV
V' V
l'3 l3
Cl3
（4-3）
满足上述条件，流 动才能几何相似
图4-1 几何相似
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l'3 t'
l3 t
Cl3 Ct
Cl2CV
（4-7）
运动粘度比例尺:
Cv
v'
l'2
t'
v l2
t
Cl2 Ct
ClCv
（4-8）
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第一节 流动的力学相似
三. 动力相似（时间相似）
定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对应 瞬时作用在两相似几何微团上的力，作用方向一 致、大小互成比例，即它们的动力场相似。
工程流体力学
第四章 相似原理与量纲分析
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问题的提出： 进行实验研究，需要解决什么问题？
1.实验条件如何安排？（设计实验模型的根据） 2.试验数据如何整理？ 3.试验结果如何换算？（试验结果与实际流动之间 服从什么关系）
解决上述三个问题，是进行流体力学试验研究 的基本问题。 本章主要介绍流体力学中的相似原理， 模型实验方法以及量纲分析法。
力的比值。
当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数必定相等， 即 W'eWe；反之亦然。这就是表面张力相似准则（韦伯准则）。
六、非定常性相似准则
将惯性力之比 C FF F 'IItt 'V V ' v vx 'x tt'C C l3C vC t 1带入式(4-15)得：
Cl 1 C vC t
或:
四、弹性力相似准则（马赫准则）
若流场中的流体为气体，由于 K c 2（ c 为声速） 则弹性力之比 CF Cc2CCl2 带入式(4-15)得：
Cv Cc
1
（4-32）
或:
v' v c' c
（4-33）
M a称为马赫数，它 是惯性力与弹性力 的比值。
令:
v Ma （4-34）
c
当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，反之亦
当压强用压差代替：
欧拉数:
Eu p v 2
欧拉相似准则: p' p
'v'2 v2
（4-27） （4-28）
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四、弹性力相似准则（柯西准则）
将弹性力之比 C FF F 'eed d'A p p 'A K K 'A 'd d A'V V V'C kC l2带入式(4-15)得：
l' l v't' vt
令:
l Sr vt
（4-38） （4-39） （4-40）
Sr 称为斯特劳哈尔数， 它是当地惯性力与迁移惯 性力的比值。
当模型与原型的非定常流动相似，则其斯特劳哈尔数必定相等， 即 S；r'反Sr之亦然。这就是非定常相似准则（斯特劳哈尔准则）。
反应流体非定常运动的相似, St相等表示现 象的周期性相似
（4-17）
当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等， 即 Ne'N；e 反之亦然。这就是牛顿相似准则。
第二节 动力相似准则应用于模型实验
流场中有各种性质的力，但不论是哪种力，只 要两个流场动力相似，它们都要服从牛顿相似准 则。
一、重力相似准则（弗劳德准则）
二、粘性力相似准则（雷诺准则）
三、压力相似准则（欧拉准则）
C Cv2 Ck 1 （4-29）
或: 'v'2 v2 （4-30）
K' K
C 称a 为柯西数，它是 惯性力与弹性力的 比值。
令:
v 2 Ca （4-31）
K
当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数必定相等， 即C'aC；a 反之亦然。这就是弹性力相似准则（柯西准则）。
音速，指声波在介质中的传播速度，通常用符号c表示 。从本质上讲,声速是介质中微弱压强扰动的传播速度，计 算公式为： c=sqrt(K/ρ)
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第三节 流动相似条件
流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量都成比例。
相似流动必然满足以下条件：
• 1．任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应 点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述；
• 2．相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即 流动满足单值条件；
CCvCl C 1
或: 'v'l' vl
'
CvCl Cv 1 （4-21） v'l ' vl （4-22） '
R e 称为雷诺数， 它是惯性力与粘 性力的比值。
令:
vl vl Re
（4-23）
当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦 然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。
模型与原型用同一种流体时， C C 1 ，则：
它是惯性力与重力 的比值。
令:
v Fr
gl
1 2
（4-20）
当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，反之亦
然。这就是重力相似准则（弗劳德准则）。
重力场中
g' g,
Cg 1
， ： 则
Cv
Cl
1 2
（a）
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二、粘性力相似准则
将粘性力之比 CF CClCv 带入式(4-15)得：
四、弹性力相似准则(柯西准则)
五、表面张力相似准则（韦伯准则）
六、非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则）
一、重力相似准则
将重力比 CFW W ''V V'gg 'CCl3Cg带入式(4-15)得：
Cv 1 1
ClCg 2
（4-18）
Fr称为弗劳德数，
或: v' v
g'l'12 gl12
（4-19）
动力粘度比例尺:
' ν ' ' Cν CC C lC vC
（4-14）
有了模型与原型的密度比例尺，长度比例尺和速度比例尺， 就可由它们确定所有动力学量的比例尺。
两流动现象中，若几何相似，运动相似，动力 相似，则两流动现象相似。
例如原型流动与模型流动满足几何相似，运动 相似，动力相似，则两流动现象相似。
s）
由雷诺数相等可得模型内液体的运动粘度为
v'
v'd
'
v
1
3
2 v 7.5105
6.70810（6 m2
s）
vd 5
11.18
油池的最小油深为
hm in
h'm in Cl
5 50
250（mm）
【例 4-2】密度和动力粘度相等的两种液体从几何相似的喷 嘴中喷出。一种液体的表面张力为 0.04409N/m，出口流束直径 为 7.5cm，流速为 12.5m/s，在离喷嘴 10m 处破裂成雾滴；另一 液体的表面张力为 0.07348N/m。如果二流动相似，另一液体的 出口流束直径、流速、破裂成雾滴的距离应多大？
Cv
1 Cl
（b）
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三、压力相似准则
将压力比 CF F F' pp'AA' CpCl2带入式(4-15)得：
或:
Cp 1
C
C
2 v
p' p
'v'2 v 2
令:
p v 2
Eu
（4-24） （4-25） （4-26）
Eu称为欧拉数，它 是总压力与惯性力 的比值。
当模型与原型的压力相似，则其欧拉数必定相等，反之亦然。 这就是压力相似准则（欧拉准则）。
即然。M这'aM 就是a；弹反性之力亦相然似。准这则就（是马弹赫性准力则）相。似准则（马赫准则）。
五、表面张力相似准则
将表面张力之比
CF
F' F
'l' l
CCl
带入式(4-15)得:
CCl Cv2 C 1 （4-35）
或:
'v'2 l' v2l '
（4-36）
令:
v2l We
（4-37）
We称为韦伯数，它 是惯性力与表面张
图4-4 油池模型
【解】按长度比例尺得模型输出管内径
d'
Cl d
250 5
5（0 mm）
在重力场中 g' g ，由弗劳德数相等可得模型内液体的流速
和流量为
v'
h'
1
2
v
1
1
2
v
h
5
q'V
4
d
'2
v'
4
d 5
2
1 5
1
2 v 1 5 5
2
qV
0.14 0.002（5 m3 55.9
似又包括几何相似。
第一节 流动的力学相似
力矩（功，能）比例尺:
C MM M 'F F 'l' lC F C l C l3C v2C
压强（应力）比例尺:
Fp '
Cp
p' p
A' Fp
CF CA
Cv2C
A
功率比例尺:
C PP P 'F F 'v'v C FC vC l2C v3C
（4-11） （4-12） （4-13）
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第二节 动力相似准则
定义：在几何相似的条件下，两种物理现 象保证相似的条件或准则 。
由式 (4-10) 得: 牛顿第二定律
CF
C
C
2 l
C
2 v
1
（4-15）
Ne称为牛顿数，
或:
F' F
'l'2 v'2 l2v2
（4-16）
它是作用力与惯 性力的比值。
令:
F Ne l2v2
• 3．由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动 相似也必须满足的条件。
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【例 4-1】 如图 4-4 所示，为防止当通过油池底部的管道向外输油时， 因池内油深太小，形成油面的旋涡将空气吸入输油管。需要通过模型 实 验 确 定 油 面 开 始 出 现 旋 涡 的 最 小 油 深 hmin 。 已 知 输 油 管 内 径 d=250mm，油的流量 qv=0.14m3/s，运动粘度 7.510 5 m2 s 。倘若选 取的长度比例尺 C1 1 5 ，为了保证流动相似，模型输出管的内径、模 型内液体的流量和运动粘度应等于多少？在模型上测得 h'min 50mm ， 油池的最小油深 hmin 应等于多少？
式中ρ为介质的密度；K=dp/(dρ/ρ),称为体积弹性模量，dp 、dρ分别为压强和密度的微小变化。对于液体和固体，K 和ρ随温度和压强的变化很小,主要是随介质不同而异，所 以在同一介质中，声速基本上是一个常数。对于气体，K和 ρ随压强和温度的变化很大,故按体积弹性模量的定义.
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