伯努利方程推导过程

3.7.2 伯努利方程的物理概念ຫໍສະໝຸດ Baidu理解
根据功能原理，外力所作的总功等于机械能增量，故ΔE=W 1/2ρ V (v2)² + ρ V gh2- 1/2 ρ V (v1)² - ρ V gh1= p1s1 v1Δt - p2s2v2Δt 说明：右端的s1 v1Δt v1Δt就是速度乘以时间 等于长度 推出 s1 v1Δt=s1 Δ L s1 Δ L就是面积乘以长度就是体积V 1 同理s2v2Δt也就等于V2 根据连续性原理 V=V1=V2 所以 右端=（p1-p2）V 经过整理 左右端每项都有 V 约去 最后得到 1/2ρ V (v2)² + ρ V gh2- 1/2 ρ V (v1)² - ρ V gh1= （p1-p2）V p1 + 1/2 ρ (v1)² + ρgh1=p2 + 1/2ρ (v2)² + ρgh2 此式称为伯努利方程，它说明：对于不可压缩的理想流 体做稳定流动，在同一流管内任意一处，每单位体积流 体的动能，势能以及该处的压强之和是一恒量。
3.7.2 伯努利方程的物理概念与理解
对于理想的液体，由于无粘滞性，不会产生平行于流管壁的切应力，流管外的 流体对这部分流体的压力必垂直两处端面力，作用于a1表面上的外力为p1s1 说明：P=F/S 压强等于压力除以面积 ，推出F=P*S （S是面积）
a1处流体的位移为 v1Δt=ΔL 说明：速度乘以时间的变化量，也就是说多长时间 得到长度，得到液体移动的长度。或者说位移量。 那么在a1截面移动到b1截面做的功为=p1s1 v1Δt 说明：W=F×ΔL（有的是用S表示距离） 物体运动 做功等于作用于物体上的力乘以物体移动的距离，在 这里是液体，需要注意理解。 其中p1s1是压力.v1Δt是移动的距离.也就是Δs或者ΔL 同理，a2处液体做的功=p2s2v2Δt 则在Δt时间里，外力对这段流管内流体所 做的功为： W= p1s1 v1Δt - p2s2v2Δt
p=?
p gz
V 2
2
c
伯努利方程
沿流线、定常、无粘、不可压
Bernoulli(1700~1782)
3.7.2 伯努利方程的物理概念与理解
1.首先要知道机械能就等于动能加重力势能。 2.则a1截面的动能Ed=1/2m（v1）² 3.则a1截面的重力势能Ez=mgh1 4.需要指出上述两个公式需要查一下高中物理书本， 不理解的请查书。 5.则a1截面的机械能E1=1/2m（v1）² +mgh1 注：上一图中高度是 z1 右图是h1 7.同理，a2截面的机械能E2=1/2m(v2)²+ mgh2 8.整段流体在Δ时间内机械能增量为ΔE=E2-E1， 是外力对a1b1间的流体做功的结果。 9.则机械能ΔE=E2-E1 = 1/2m(v2)²+ mgh2- 1/2m(v1)²- mgh1 10.m=ρ（密度）×V（体积）则上式转化为 ΔE= 1/2ρ V (v2)² + ρ V gh2- 1/2 ρ V (v1)² - ρ V gh1 注意 大V 是体积 小v是速度
本节课小结
• 重点：伯努利方程及其物理意义。 • 难点：（1）物理概念的理解；（2）适用条件。 • 思考 —— 动量方程与伯努利方程的关系
课后思考题
① 尝试使用伯努利方程求解水池进排水问题。 ② 如图，杯子里的水喷出打在一个足够大的圆盘上，求 圆盘受到的总作用力，和盘子中心点处的压力。 1
h
2
V2
dp gdz VdV 0
压力项
沿流线积分
p2, z2,V2
重力项
动量变化项
p1, z1,V1
p 2 p1 1 2 2 (V 2 V 1 ) g ( z 2 z1) 0 2 p1
2 2 V 1 p2 V2 g z1 g z2 c 2 2
课程名称：工程流体力学
伯努利方程
主讲人：张伦
2013年5月8日
基本概念回顾：
流体的运动与受力
流速变化与水深有关
压力与流速变化有关 压力—表面力
伯努利方程：
描述流体的运动速度、重力和压力三者之间关系的方程。
流速变化与受力有关 重力—体积力
3.7.1 伯努利(Bernoulli)方程的推导
回顾：微分形式的动量方程 (一维、定常、无粘)